历年初中数学竞赛试题精选.doc

初中数学竞赛专项训练 1 一个六位数 如果它的前三位数码与后三位数码完全相同 顺序也相同 由此六位 数可以被 整除 A 111B 1000C 1001D 1111 解 依题意设六位数为 则abcabc a 105 b 104 c 103 a 102 b 10 c a 102 103 1 abcabc b 10 103 1 c 103 1 a 103 b 10 c 103 1 1001 a 103 b 10 c 而 a 103 b 10 c 是整数 所以能被 1001 整除 故选 C 方法二 代入法 2 若 则 S 的整数部分是 2001 1 1981 1 1980 1 1 S 解 因 1981 1982 2001 均大于 1980 所以 又90 22 1980 1980 1 22 1 S 1980 1981 2000 均小于 2001 所以 从而知 22 21 90 22 2001 2001 1 22 1 S S 的整数部分为 90 3 设有编号为 1 2 3 100 的 100 盏电灯 各有接线开关控制着 开始时 它们 都是关闭状态 现有 100 个学生 第 1 个学生进来时 凡号码是 1 的倍数的开关拉 了一下 接着第二个学生进来 由号码是 2 的倍数的开关拉一下 第 n 个 n 100 学生进来 凡号码是 n 的倍数的开关拉一下 如此下去 最后一个学生进来 把编号 能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下 这样做过之后 请问哪些灯还亮着 解 首先 电灯编号有几个正约数 它的开关就会被拉几次 由于一开始电灯是关的 所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的 因为只有平方数才有奇数个约数 所以 那些编号为 1 22 32 42 52 62 72 82 92 102共 10 盏灯是亮的 4 某商店经销一批衬衣 进价为每件 m 元 零售价比进价高 a 后因市场的变化 该店把零售价调整为原来零售价的 b 出售 那么调价后每件衬衣的零售价是 A m 1 a 1 b 元B m a 1 b 元 C m 1 a b 元D m 1 a b 元 解 根据题意 这批衬衣的零售价为每件 m 1 a 元 因调整后的零售价为原零售 价的 b 所以调价后每件衬衣的零售价为 m 1 a b 元 应选 C 5 如果 a b c 是非零实数 且 a b c 0 那么的所有可 abc abc c c b b a a 能的值为 A 0B 1 或 1C 2 或 2D 0 或 2 解 由已知 a b c 为两正一负或两负一正 当 a b c 为两正一负时 0 1 1 abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以 当 a b c 为两负一正时 0 1 1 abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以 由 知所有可能的值为 0 abc abc c c b b a a 应选 A 6 在 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 的对边 若 B 60 则的 bc a ba c 值为 A B 2 1 2 2 C 1D 2 解 过 A 点作 AD CD 于 D 在 Rt BDA 中 则于 B 60 所以 DB AD 2 C 在 Rt ADC 中 DC2 AC2 AD2 所以有 a 2 b2 C2 整理C 2 3 2 C 4 3 得 a2 c2 b2 ac 从而有 c A BC a b 1 2 2222 bbcabac bcabca bcba abacbc bc a ba c 应选 C 7 设 a b 0 a2 b2 4ab 则的值为 ba ba A B C 2D 336 解 因为 a b 2 6ab a b 2 2ab 由于 a b 0 得 故 abbaabba26 3 ba ba 应选 A 8 已知 a 1999x 2000 b 1999x 2001 c 1999x 2002 则多项式 a2 b2 c2 ab bc ca 的值为 A 0B 1C 2D 3 3 2 1 1 2 1 211 2 1 222 222222 原式 又 解 accbba accbbacabcabcba 9 已知 abc 0 且 a b c 0 则代数式的值是 ab c ca b bc a 222 A 3B 2C 1D 0 3 c c b b a a b c a c c b a b c a b a ab cba ac bca bc acb 解 原式 10 某商品的标价比成本高 p 当该商品降价出售时 为了不亏损成本 售价的折扣 即降价的百分数 不得超过 d 则 d 可用 p 表示为 解 设该商品的成本为 a 则有 a 1 p 1 d a 解得 p100 p100 d 11 已知实数 z y z 满足 x y 5 及 z2 xy y 9 则 x 2y 3z 解 由已知条件知 x 1 y 6 x 1 y z2 9 所以 x 1 y 是 t2 6t z2 9 0 的两个实根 方程有实数解 则 6 2 4 z2 9 4z2 0 从而知 z 0 解方程得 x 1 3 y 3 所以 x 2y 3z 8 12 气象爱好者孔宗明同学在 x x 为正整数 天中观察到 有 7 个是雨天 有 5 个 下午是晴天 有 6 个上午是晴天 当下午下雨时上午是晴天 则 x 等于 A 7B 8C 9D 10 选 C 设全天下雨 a 天 上午晴下午雨 b 天 上午雨下午晴 c 天 全天晴 d 天 由题可 得关系式 a 0 b d 6 c d 5 a b c 7 得 2d a 4 即 d 2 故 b 4 c 3 于 x a b c d 9 13 有编号为 的四条赛艇 其速度依次为每小时 千米 1 v 2 v 3 v 4 v 且满足 0 其中 为河流的水流速度 千米 小时 它们在河 1 v 2 v 3 v 4 v 水 v 流中进行追逐赛规则如下 1 四条艇在同一起跑线上 同时出发 是 逆流而上 号艇顺流而下 2 经过 1 小时 同时掉头 追赶 号艇 谁先追上 号艇谁为冠军 问冠军为几号 解 出发 1 小时后 号艇与 号艇的距离分别为 44 1 vvvvvvS iii 水 水 各艇追上 号艇的时间为 4 4 4 4 4 4 2 1 vv v vv vv vvvv vv t ii i i i i 水 水 对 有 即 号艇追上 号艇用的时间最小 号是冠 1 v 2 v 3 v 4 v 321 ttt 军 14 有一水池 池底有泉水不断涌出 要将满池的水抽干 用 12 台水泵需 5 小时 用 10 台水泵需 7 小时 若要在 2 小时内抽干 至少需水泵几台 解 设开始抽水时满池水的量为 泉水每小时涌出的水量为 水泵每小时抽水量为xy 2 小时抽干满池水需 n 台水泵 则z nzyx zyx zyx 22 1077 1255 由 得 代入 得 zy zx 5 35 nzzz21035 故 n 的最小整数值为 23 2 1 22 n 答 要在 2 小时内抽干满池水 至少需要水泵 23 台 15 某宾馆一层客房比二层客房少 5 间 某旅游团 48 人 若全安排在第一层 每间 4 人 房间不够 每间 5 人 则有房间住不满 若全安排在第二层 每 3 人 房间不够 每间住 4 人 则有房间住不满 该宾馆一层有客房多少间 解 设第一层有客房间 则第二层有间 由题可得x 5 x 5 448 5 3 5484 xx xx 由 得 即 x x 548 484 12 5 3 9 x 由 得 即 5 448 48 5 3 x x 117 x 原不等式组的解集为11 5 3 9 x 整数的值为 x10 x 答 一层有客房 10 间 16 某生产小组开展劳动竞赛后 每人一天多做 10 个零件 这样 8 个人一天做的零件 超过 200 个 后来改进技术 每人一天又多做 27 个零件 这样他们 4 个人一天所做零 件就超过劳动竞赛中 8 个人做的零件 问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几 倍 解 设劳动竞赛前每人一天做个零件x 由题意 10 8 2710 4 200 10 8 xx x 解得1715 x 是整数 16xx 16 37 16 3 3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的 3 3 倍 初中数学竞赛专项训练 5 方程应用 一 选择题 1 甲乙两人同时从同一地点出发 相背而行 1 小时后他们分别到达各自的终点 A 与 B 若仍从原地出发 互换彼此的目的地 则甲在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B 甲 乙的速度之比为 A 3 5B 4 3C 4 5D 3 4 2 某种产品按质量分为 10 个档次 生产最低档次产品 每件获利润 8 元 每提高一 个档次 每件产品利润增加 2 元 用同样工时 最低档次产品每天可生产 60 件 提 高一个档次将减少 3 件 如果获利润最大的产品是第 R 档次 最低档次为第一档次 档次依次随质量增加 那么 R 等于 A 5B 7C 9D 10 3 某商店出售某种商品每件可获利 m 元 利润为 20 利润 若这种商 售价进价 进价 品的进价提高 25 而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元 则提价后 的利润率为 A 25 B 20 C 16 D 12 5 4 某项工程 甲单独需 a 天完成 在甲做了 c cb 若两个三角形的最小内角相等 则的值等于 b a A B C D 2 13 2 15 2 23 2 25 7 在凸 10 边形的所有内角中 锐角的个数最多是 A 0B 1C 3D 5 8 若函数与函数的图象相交于 A C 两点 AB 垂直 x 轴于 B 0 kkxy x y 1 则 ABC 的面积为 A 1B 2C kD k2 二 填空题 1 若四边形的一组对边中点的连线的长为 d 另一组对边的长分别为 a b 则 d 与 的大小关系是 2 ba 2 如图 8 5 AA BB 分别是 EAB DBC 的平分线 若 AA BB AB 则 BAC 的度数为 3 已知五条线段长度分别是 3 5 7 9 11 将其中 不同的三个数组成三数组 比如 3 5 7 5 9 11 问有多少组中的三个 数恰好构成一个三角形的三条边的长 4 如图 8 6 P 是矩形 ABCD 内一点 若 PA 3 PB 4 PC 5 则 PD 图 8 6 A B D C P A B B D C 图 8 5 E A 5 如图 8 7 甲楼楼高 16 米 乙楼座落在甲楼的正 北面 已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面 的夹角为 30 此时求 如果两楼相距 20 米 那 么甲楼的影子落在乙楼上有多高 如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上 那么两楼的距离应当是 米 6 如图 8 8 在 ABC 中 ABC 60 点 P 是 ABC 内的一 点 使得 APB BPC CPA 且 PA 8 PC 6 则 PB 16 米 20 米 A B C D 甲乙 图 8 7 图 8 8 B A C P 三 解答题 1 如图 8 9 AD 是 ABC 中 BC 边上的中线 求证 AD AB AC 2 1 2 已知一个三角形的周长为 P 问这个三角形的最 大边长度在哪个范围内变化 3 如图 8 10 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD 是 角平分线 DE BC 交 AC 于点 E DF AC 交 BC 于点 F 求证 四边形 CEDF 是正方形 CD2 2AE BF 4 从 1 2 3 4 2004 中任选 k 个数 使所选的 k 个数中一定可以找到能构成 三角形边长的三个数 这里要求三角形三边长互不相等 试问满足条件的 k 的最小 值是多少 数学竞赛专项训练 8 参考答案 A B D C 图 8 9 A C F B D E 图 8 10 一 选择题 1 如图过 C 作 CE AD 于 E 过 D 作 DF PB 于 F 过 D 作 DG CE 于 G 显然 DG EF AB 5 CD DG 当 P 为 AB 中点时 有 CD DG 5 所以 CD 2 1 长度的最小值是 5 2 如图延长 AB DC 相交于 E 在 Rt ADE 中 可求得 AE 16 DE 8 于是 BE AE AB 9 在 Rt BEC 中 3 可求得 BC 3 CE 6 于是 CD DE CE 2 BC CD 5 3333 3 由已知 AD AE EF FD EF EB BC CF AD AE FD EB BC CF 11 2 1 CDBCABAD EF BC EF AD FC DF EB AE 设 k FC DF EB AE 1 4 11 6 1 k k CD k k DF k k AB k k AE AD AE FD 3 解得 k 4 1 313 1 4 1 6 k k k k k k 11 1 313 k k 作 AH CD AH 交 BC 于 H 交 EF 于 G 则 GF HC AD 3 BH BC CH 9 3 6 5 4 AB AE BH EG 5 24 5 4 BHEG 5 39 3 5 24 GFEGEF 4 假设 三个角都是锐角 即 90 90 90 也就是 A B 90 B C 90 C A 90 2 A B C 270 A B C 135 与 A B C D PE F G 60 A B C D E AD CB EF H G A B C 180 矛盾 故 不可能都是锐角 假设 中有两个锐角 不妨设 是锐角 那么有 A B 90 C A 90 A A B C b 故 A 是 ABC 的最小角 设 A Q 则以 b b a 为三边之三角形的最小角亦为 Q 从而它与 ABC 全等 所以 DC b ACD Q 因有公共底角 B 所以有等腰 ADC 等腰 CBD 从而得 即 令 即得方程 BC BD AB BC b ba a b b a x 解得 选 B 01 2 xx 2 15 b a x 7 C 由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360 故外角中钝角的个数不能超过 3 个 又因为内角与外角互补 因此 内角中锐角最多不能超过 3 个 实际上 容易 构造出内角中有三个锐角的凸 10 边形 Q A B C D 8 A 设点 A 的坐标为 则 故 ABO 的面积为 又因为 yx 1 xy 2 1 2 1 xy ABO 与 CBO 同底等高 因此 ABC 的面积 2 ABO 的面积 1 二 填空题 1 如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别 为 M N MN d 另一组对边是 AD 和 BC 其长度 分别为 a b 连结 BD 设 P 是 BD 的中点 连结 MP PN 则 MP NP 显然恒有 当 AD BC 由平行线等 2 a 2 b 2 ba d 分线段定理知 M N P 三点共线 此时有 所以与的大小关系 2 ba d d 2 ba 是 2 2 d baba d 或 2 12 设 BAC 的度数为 x AB BB B BD 2x CBD 4x AB AA AA B AB A CBD 4x A AB 180 2 1 x 于是可解出 x 12 18044 180 2 1 xxx 3 以 3 5 7 9 11 构成的三数组不难列举出共有 10 组 它们是 3 5 7 3 5 9 3 5 11 3 7 9 3 7 11 3 9 11 5 7 9 5 7 11 5 9 11 7 9 11 由 3 5 9 3 5 11 3 7 11 可 以判定 3 5 9 3 5 11 3 7 11 这三组不能构成三角形的边长 因 此共有 7 个数组构成三角形三边长 4 过 P 作 AB 的平行线分别交 DA BC 于 E F 过 P 作 BC 的平行线分别交 AB CD 于 G H A B D C P M N 设 AG DH a BG CH b AE BF c DE CF d 则 222222 222222 DPadcbBP dbCPcaAP 于是 故 2222 DPBPCPAP 18453 2222222 BPCPAPDP DP 32 5 设冬天太阳最低时 甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处 那么图中 CD 的 长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度 设 CE AB 于点 E 那么在 AEC 中 AEC 90 ACE 30 EC 20 米 所以 AE EC 米 6 11 3 3 2030tan20tan ACE CD EB AB AE 16 11 6 4 4 米 设点 A 的影子落到地面上某一点 C 则在 ABC 中 ACB 30 AB 16 米 所以 米 所 7 27316cot ACBABBC 以要使甲楼的影子不影响乙楼 那么乙楼距离甲楼至少要 27 7 米 6 提示 由题意 APB BPC CPA 120 设 PBC ABC 60 则 ABP 60 BAP PBC ABP BPC BP2 AP PC PC BP BP AP A B D C P E F GH a a b b cd 16 米 20 米 A B C D 甲乙E A B D C E 3448 PCAPBP 三 解答题 1 证明 如图延长 AD 至 E 使 AD DE 连结 BE BD DC AD DE ADC EDB ACD EBD AC BE 在 ABE 中 AE AB BE 即 2AD AB AC AD AB AC 2 1 2 答案提示 在 ABC 中 不妨设 a b c a b ca b c 2c 即 p 2cc 2 p 另一方面 c a 且 c b2c a b 3c 3 p cpcba 因此 23 p c p 3 证明 ACB 90 DE BC DF AC DE AC DE BC 从而 ECF DEC DFC 90 CD 是角平分线 DE DF 即知四边形 CEDF 是正方形 在 Rt AED 和 Rt DFB 中 DE BC ADE B Rt AED Rt DFB 即 DE DF AE BF CD DE DF BF DE DF AE 22 BFAEDFDEDFDECD 2222 2 4 解 这一问题等价于在 1 2 3 2004 中选 k 1 个数 使其中任意三个数 都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长 试问满足这一条件的 k 的最大值 是多少 符合上述条件的数组 当 k 4 时 最小的三个数就是 1 2 3 由此可 不断扩大该数组 只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和 所以 为使 k 达到最大 可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和 这样得 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 共 16 个数 对符合上述条件的任数组 a1 a2 an显然总有 ai大于等于 中的 第 i 个数 所以 n 16 k 1 从而知 k 的最小值为 17 初中数学竞赛专项训练 9 面积及等积变换 一 选择题 1 如图 9 1 在梯形 ABCD 中 AB CD AC 与 BD 交于 O 点 P 在 AB 的延长线上 且 BP CD 则图形中面积相等的三角形有 A 3 对B 4 对 C 5 对D 6 对 2 如图 9 2 点 E F 分别是矩形 ABCD 的边 AB BC 的中点 连 AF CE 设 AF CE 交于点 G 则等于 ABCD AGCD S S 矩形 四边形 PA D C B O 图 9 1 A B CD E FG 图 9 2 A B C D 6 5 5 4 4 3 3 2 3 设 ABC 的面积为 1 D 是边 AB 上一点 且 若在边 AC 上取一点 E 使 AB AD 3 1 四边形 DECB 的面积为 则的值为 4 3 EA CE A B C D 2 1 3 1 4 1 5 1 4 如图 9 3 在 ABC 中 ACB 90 分别以 AC AB 为边 在 ABC 外作正方形 ACEF 和正方形 AGHB 作 CK AB 分别 交 AB 和 GH 于 D 和 K 则正方形 ACEF 的面积 S1与矩形 AGKD 的面积 S2的大小关 系是 A S1 S2B S1 S2 C S1 S2D 不能确定 与的大小有关 AB AC 5 如图 9 4 四边形 ABCD 中 A 60 B D 90 AD 8 AB 7 则 BC CD 等于 A B 5C 4D 336333 6 如图 9 5 若将左边正方形剪成四块 恰能拼成右边的矩 形 设 a 1 则正方形的面积为 A B 2 53 C D 2 537 2 15 2 21 A B C D HGK F E 图 9 3 A B C D 图 9 4 a b a a b b 图 9 5 a b 7 如图 9 6 矩形 ABCD 中 AB a BC b M 是 BC 的中点 DE AM E 为垂足 则 DE A B 22 4 2 ba ab 22 4ba ab C D 22 4 2 ba ab 22 4ba ab 8 O 为 ABC 内一点 AO BO CO 及其延长线把 ABC 分成六个 小三角形 它们的面积如图 9 7 所示 则 S ABC A 292B 315 C 322D 357 二 填空题 1 如图 9 8 梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a 高为 h 则图中阴 影部分的面积为 2 如图 9 9 若等腰三角形的底边上的高等于 18cm 腰 上的中线等于 15cm 则这个等腰三角形的面积等于 3 如图 9 10 在 ABC 中 CE EB 1 2 DE AC 若 ABC 的面 积为 S 则 ADE 的面积为 4 如图 9 11 已知 D E 分别是 ABC 的边 BC CA 上的点 且 BD 4 DC 1 AE 5 EC 2 连结 AD 和 BE 它们相交于点 P 过点 P 分别作 PQ CA PR CB 它们分别与边 AB 交于点 Q R 则 PQR 的面积与 ABC 的面积之比为 A B C D E M 图 9 6 A BC D E F O 84 x y y40 y 30 y 35 y 图 9 7 图 9 8 A E D C F B A M C D B G 图 9 9 A C E B D 图 9 10 A B QR D C E P 图 9 11 A BC D G F E 图 9 12 5 如图 9 12 梯形 ABCD 中 AD BC AD BC 2 5 AF FD 1 1 BE EC 2 3 EF CD 延长线交于 G 用最简单的整数比来表示 S GFD S FED S DEC 6 如图 9 13 P 是矩形 ABCD 内一点 若 PA 3 PB 4 PC 5 则 PD 三 解答题 1 如图 9 14 在矩形 ABCD 中 E 是 BC 上的点 F 是 CD 上的点 S ABE S ADF S矩形 ABCD 3 1 求 的值 CEF AEF S S 2 一条直线截 ABC 的边 BC CA AB 或它们的延长线 于点 D E F 求证 1 FB AF EA CE DC BD A BC D P 图 9 13 A D F C EB 图 9 14 A BC D E F 图 9 15 3 如图 9 16 在 ABCD 中 P1 P2 P3 Pn 1是 BD 的 n 等分点 连结 AP2 并 延长交 BC 于点 E 连结 APn 2并延长交 CD 于点 F 求证 EF BD 设 ABCD 的面积是 S 若 S AEF S 求 n 的值 8 3 4 如图 9 17 ABC 是等腰三角形 C 90 O 是 ABC 内一点 点 O 到 ABC 各 边的距离等于 1 将 ABC 绕点 O 顺时针旋转 45 得到 A1B1C1 两三角形的公共部 分为多边形 KLMNPQ 证明 AKL BMN CPQ 都是等腰直角三角形 求证 ABC 与 A1B1C1公共部分的面积 D B A C E F P1 P2 Pn 2 Pn 1 图 9 16 图 9 17 A B C C1 A1 B1 L M K N Q P O 数学竞赛专项训练 9 参考答案 一 选择题 1 C ACDBCPBCDBCPBCDACDBOCAODABDABC SSSSSSSSSS 2 D 连结 AC 有 则3 1 ABCAGC SS ABCDABCDABCDACDAGCAGCD 3 2 2 1 2 1 3 1 S 矩形矩形矩形四边形 SSSSS 3 B 如图联结 BE ADE S 4 1 4 3 1 设 则x AC CE x ABE 1S 4 1 4 1 3 1 S x x ADE 3 1 EA CE 4 A 解 因为 AGADSACS 2 2 1 ACBRtADCRt 所以 即 又因为 AB AG AB AC AC AD ABADAC 2 所以 所以应选 A 2 2 1 SAGADACS 5 B 解 如图延长 AD BC 相交于 E 在 Rt ABE 中 可求得 AE 14 于是 DE AE AD 6 又 BE 在 Rt CDE 中 可求得 CD 2 CE 433 于是 BC BE CE BC CD 5 333 6 A 解 由右图与左图的面积相等 得 已知 所以有 2 bababb 1 a 即 解得 从而正方形 2 1 12 bbb01 2 bb 2 51 b A E D BC A B C D E 60 的面积为 2 537 2 53 1 22 b 7 A 解 由 ADE ABM 得 DE 22 224 2 2 1 ba ab ba ab AM ABAD 8 B 即 CDO ACO BDO ABO S S DO AO S S 30 35 40 84xy 又 即 CEO BCO BDE ABO S S OE BO S S 35 7084 x y 解之得 842 11234 yx yx 56 70 y x S ABC 84 40 30 35 70 56 315 二 填空题 1 解 延长 AF 交 DC 的延长线于 M 则 ABF MCF ahS 2 1 阴影 AF FM S ABF S CMF S阴影 S DFM AF FM S ADF S MDF ABCD S 2 1 梯形阴影 SahS ABCD 梯形 ahS 2 1 阴影 2 144 解 作 MN BC 于 N AM MC MN AD DN NC 在 Rt BMN 中 BM 15 MN 9 BN 12 而9 2 1 ADMN BD DC 2DN 3DN 12 DN 4 BC 16 S ABC AD BC 18 16 144 2 1 2 1 3 S ADE S 解 CE EB 1 2 设 CE k 则 EB 2k DE AC 9 2 而 BE BC 2k 3k 2 3 S BDE S 2 3 2 s S BDE 9 4 DE AC 则 S ADE S BDE S 2 1 BE CE BD AD 2 1 BD AD S S BDE ADE 2 1 9 2 4 解 过点 E 作 EF AD 且交 BC 于点 F 则 所以 1089 400 5 2 EA CE FD CF 因为 PQ CA 所以 7 5 25 5 CDFD 33 28 7 5 4 4 BF BD BE BP EA PQ 于是 因为 PQ CA PR CB 所以 QPR ACB 33 140 PQ 因为 PQR CAB 故 1089 400 33 20 22 CA PQ S S CAB PQR 5 1 2 6 解 设 AD 2 则 BC 5 FD 1 EC 3 GF GE FD EC 1 3 GF FE 1 2 S GFD S FED GF FE 1 2 显然有 S EFD S CED FD EC 1 3 S GFD S FED S CED 1 2 6 6 3 解 过点 P 作 AB 的平行线分别交 DA BC 于 E F 过 P 作 BC 的平行线2 分别交 AB CD 于 G H 设 AG DH a BG CH b AE BF c DE CF d 则 222222222222 CPadDPcbBPdbcaAP 于是 故 2222 DPBPCPAP 18453 2222222 BPCPAPDP DP 3 2 三 解答题 1 设 BC a CD b 由 得 BE a ABCD 3 1 矩形 SS ABE ab 3 1 BEb 2 1 3 2 则 EC a 同理 FC b 3 1 3 1 abba 18 1 3 1 3 1 2 1 S CEF abCDADECS AECD 3 2 2 1 梯形 ababaabSS AEF 18 5 3 1 18 1 3 2 SS ADFCEFAECD 梯形 1 5 18 1 18 5 ab ab S S CEF AEF 2 答案提示 连结 BE AD 并把线段之比转化为两三角形面积之比 再约分 3 解 因 AD BC AB DC 所以DAPBEPABPFDP nn2222 从而有 2 2AP 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n BP DP EP n DP BP FP AP n n n n 即 所以 EF BD FP AP FP AP n n 2 2 2 2 由 可知 所以 同理可证 2 2 nAB DF S n S AFD 2 1 S n S ABE 2 1 显然 所以 2 2 nDC DF 2 4 1 n n DC DF DC DFDC DC FC 从而知 已知所以有S n n S ECF 2 2 4 2 1 8 3 SS AEF 即S n n S n SS 2 2 4 2 1 2 1 2 8 3 8 3 2 2 4 2 2 1 2 2 n n n 解方程得 n 6 4 证明 连结 OC OC1 分别交 PQ NP 于点 D E 根据题意得 COC1 45 点 O 到 AC 和 BC 的距离都等于 1 OC 是 ACB 的平分线 ACB 90 OCE OCQ 45 同理 OC1D OC1N 45 OEC ODC1 90 CQP CPQ C1PN C1NP 45 CPQ 和 C1NP 都是等腰直角三角形 BNM C1NP 45 A1QK CQP 45 B 45 A1 45 BMN 和 A1KQ 都是等腰直角三角形 B1ML BMN 90 AKL A1KQ 90 B1 45 A 45 B1ML 和 AKL 也都是等腰直角三角形 在 Rt ODC1和 Rt OEC 中 OD OE 1 COC1 45 OC OC1 CD C1E 122 PQ NP 2 1 2 2 CQ CP C1P C1N 1 2 2222 2 223 22 2 1 2 CPQ S 延长 CO 交 AB 于 H CO 平分 ACB 且 AC BC CH AB CH CO OH 12 AC BC A1C1 B1C1 1 2 222 223 22 2 1 2 ABC S A1Q BN 2 2 2 2 2222 KQ MN 2 2 2 1 2 2 1 2 BMN S AK 2 2 2222 1 2 2 1 2 AKL S 224 11 223 223 S S S S AKLBMNCPQABCKLMNPQ 多边形 S 初中数学竞赛专项训练 10 三角形的四心及性质 平移 旋转 覆盖 一 填空题 1 G 是 ABC 的重心 连结 AG 并延长交边 BC 于 D 若 ABC 的面 积为 6cm2 则 BGD 的面积为 A C B E 图 10 1 A 2cm2B 3 cm2 C 1 cm2D cm2 2 3 2 如图 10 1 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 C 的平分线与 B 的外角的平分 线交于 E 点 则 AEB 是 A 50 B 45 C 40 D 35 3 在 ABC 中 ACB 90 A 20 如图 10 2 将 ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角 到 A C B 的位置 其 中 A B 分别是 A B 的对应点 B 在 A B 上 CA 交 AB 于 D 则 BDC 的度数为 A 40 B 45 C 50 D 60 4 设 G 是 ABC 的垂心 且 AG 6 BG 8 CG 10 则三角形的面积为 A 58B 66C 72D 84 5 如图 10 3 有一块矩形纸片 ABCD AB 8 AD 6 将纸片折叠 使 AD 边落在 AB 边上 折痕为 AE 再将 AED 沿 DE 向右翻折 AE 与 BC 的交点为 F CEF 的 面积为 A 2B 4C 6D 8 A B C D A B 图 10 2 A B CD D A E B C A D E B C F 图 10 3 6 在 ABC 中 A 45 BC a 高 BE CF 交于点 H 则 AH A B C aD a 2 1 a 2 2 a2 7 已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心 A1 B1 C1分别是点 I 关于 BC CA AB 的 对称点 若点 B 在 A1B1C1的外接圆上 则 ABC 等于 A 30 B 45 C 60 D 90 8 已知 AD BE CF 是锐角 ABC 三条高线 垂心为 H 则其图中直角三角形的个数 是 A 6B 8C 10D 12 二 填空题 1 如图 10 4 I 是 ABC 的内心 A 40 则 CIB 2 在凸四边形 ABCD 中 已知 AB BC CD DA 2 2 3 1 且 ABC 90 则 DAB 的度数是 3 如图 10 5 在矩形 ABCD 中 AB 5 BC 12 将矩形 ABCD 沿对角线对折 然后放在桌面上 折叠后所成的图形 A C I B D 图 10 4 A BC D E D 图 10 5 覆盖桌面的面积是 4 在一个圆形时钟的表面 OA 表示秒针 OB 表示分针 O 为两针的旋转中心 若现 在时间恰好是 12 点整 则经过 秒钟后 OAB 的面积第一次达到最大 5 已知等腰三角形顶角为 36 则底与腰的比值等于 6 已知 AM 是 ABC 中 BC 边上的中线 P 是 ABC 的重心 过 P 作 EF EF BC 分 别交 AB AC 于 E F 则 AF CF AE BE 三 解答题 1 如图 10 6 在正方形 ABCD 的对角线 OB 上任取一点 E 过 D 作 AE 的垂线与 OA 交于 F 求证 OE OF 2 在 ABC 中 D 为 AB 的中点 分别延长 CA CB 到点 E F 使 DE DF 过 E F 分别作 CA CB 的垂线相交于 P 设线段 PA PB 的中点分别为 M N 求证 DEM DFN PAE PBF A E C B F D P M N 图 10 7 3 如图 10 8 在 ABC 中 AB AC 底角 B 的三等分线交高线 AD 于 M N 边 CN 并延长交 AB 于 E 求证 EM BN A BC N M E D 图 10 8 4 如图 10 9 半径不等的两圆相交于 A B 两点 线段 CD 经过点 A 且分别交两于 C D 两点 连结 BC CD 设 P Q K 分别是 BC BD CD 中点 M N 分别是 弧 BC 和弧 BD 的中点 求证 QB NQ PM BP KPM NQK A B CD M N K P Q 图 10 9 数学竞赛专项训练 10 参考答案 一 选择题 1 解 选 C 1 2 1 3 1 3 1 2 cmSSS ABCABDBGD 2 解 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 则 ABC 60 因为 EB 是 B 的外角的 平分线 所以 ABE 60 因为 E 是 C 的平分线与 B 的平分线的交点 所以 E 点 到 CB 的距离等于 E 到 AB 的距离 也等于 E 点到 CA 的距离 从而 AE 是 A 的外 角的平分线 所以 AEB 180 60 75 45 应选 B 75 2 150 BAE 3 解 依题意在等腰三角形 B CB 中 有 B CB B 90 20 70 所以 180 2 70 40 即 DCA 40 从而 BDC DCA A 40 20 60 应选 D 4 解 设 AD 为中线 则 DG AG 3 延长 GD 到 G DG DG 3 2 1 应选 C 7232468 2 1 GBCABCCGGGBC SSSS 5 解 由折叠过程知 DE AD 6 DAE CEF 45 所以 CEF 是等腰直角三角 形 且 EC 8 6 2 所以 S CEF 2 故选 A 6 解 取 ABC 的外心及 BC 中点 M 连 OB OC OM 由于 A 45 故 BOC 90 OM a 由于 AH 2OM AH a 应选 C 2 1 7 解 因为