第三章 气体分子动理论.ppt

第三章气体分子动理论 物质是由大量做永不停息无规则热运动的微观粒子 原子和分子构成的 两种描述方法 1 宏观量 热运动 大量微观粒子永恒的杂乱无章的运动 2 微观量 微观量与宏观量有一定的内在联系 描述系统内微观粒子的物理量 如分子的质量 直径 速度 动量 能量等 微观量实验上不可测量 为表征单个分子的物理量 大量分子的集体表现 从整体上描述系统的状态量 一般可以直接测量 如压强P 体积V 温度T等 宏观量是微观量的统计平均值 3 1 气体分子动理论的基本概念 一 物质的微观结构 1 宏观物质是由大量不连续的微观粒子 分子 或原子 组成的多粒子体系 2 分子都在作永不停息的无规则热运动 其剧烈程度和温度有关 3 分子间存在相互作用力 分子力 扩散运动 在教室中吃早餐 满教室味道 布朗运动 英国植物学家 他从显微镜中观察到悬浮在静止液体中的花粉在作无规则的杂乱无章的运动 这其中的机理足足使科学界研究了50年 最后由科学家德尔索给予了正确解释 分子之间有空隙 水在4000个大气压下体积减为原来的1 3 例如 标况下 1cm3空气中含有2 7 1019个空气分子 排成一行约2 7 109m 可沿赤道绕地球一周 分子力 平衡位置 斥力起主要作用 引力起主要作用 R 分子力有效作用半径 引力 斥力 二 气体动理论的统计规律性 2 研究一些量的统计平均值 1 统计规律性定义 Statisticalregularity 大量偶然性从整体上所体现出来的规律性 例如 伽尔顿实验 扔硬币 成绩分布 身高分布 人的寿命 2 统计规律性的特点 1 只对大量偶然的事件才有意义 2 它是不同于个体规律的整体规律 3 统计规律性的内容 1 研究一些量的分布规律 某个量对大量偶然事件的分布规律 伽尔顿实验 分布图 以伽尔顿板实验为例 有阴影的矩形面积为 表明落入位置在x x x的狭槽内沙子的个数 统计分布图 算术平均值 对某一物理量M进行测量 统计平均值 出现测量值Mi的几率 概率 M的统计平均值 归一化条件 M的平方统计平均值 4 涨落现象 当宏观系统处于平衡状态时 任一给定时刻或者局部范围内观测到的宏观量的实际值不一定等于统计平均值 这种现象称为涨落 牛顿力学的决定性和统计力学的概率性的统一 布朗运动是可观测的涨落现象之一 处在平衡态的系统的宏观量 如压强p 不随时间改变 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样 分子数越多 涨落就越小 箱子假想分成两相同体积的部分 达到平衡时 两侧粒子有的穿越界线 但两侧粒子数相同 粒子数是宏观量 平衡态 equilibriumstate 在无外界影响下 系统的宏观性质将趋于处处均匀且不随时间改变 指出 是一种动态平衡 热 力学 化学平衡 平衡态 阿伏加德罗定律 设气体分子的质量为m 分子的摩尔质量为 M质量气体所含的分子数为N NAm M Nm n 分子数密度 k 玻尔兹曼常量 3 2理想气体的压强 理想气体模型 气体分子的大小和气体分子间的平均距离相比可以忽略不计 质点假设 分子间的平均距离相当大 因此除了碰撞以外 分子间的相互作用力可以忽略不计 同时由于分子的平均动能远大于分子的重力势能 所以忽略重力的影响 分子所受作用假设 分子间以及分子与器壁间的碰撞是完全弹性碰撞 完全弹性碰撞假设 运动规律 分子运动遵守经典力学规律 同种类气体分子性质相同 质量相同 从气体动理论的观点 理想气体可看成是由大量的不断作无规则运动的 本身可略去不计的 彼此间相互作用不予考虑的弹性小球所组成 这是一个理想的模型 只是真实气体在压强较小时的近似模型 气体在平衡态时 对大量气体分子来说 分子沿各个方向运动的机会是均等的 任何一个方向的运动并不比其他方向更占优势 因此 气体在各个方向的各种统计平均值都相等 注意 不考虑分子之间的碰撞 因为分子之间的碰撞不影响分子向各个方向运动的的几率和速度在各个方向分量的平均值 统计性假设 统计假设举例 a 沿各方向运动的分子数相等 b 分子速度在各个方向的分量的各种平均值相等 理想气体压强公式的推导 1 压强的产生 器壁单位面积上所受的正压力 压力由分子碰撞器壁产生 2 压强公式的推导 S A1 l2l3 设容器内有N个分子 考虑任意一个分子i的质量为m 速度为 则器壁受到分子i的冲量 a 分子i与容器器壁A1碰撞 是完全弹性碰撞 在Y Z方向上的速度分量不变化 碰撞一次 在X方向上速度分量将变为 ix 分子动量的改变量即分子所受冲量 b 对器壁A1每碰撞一次所需时间 c 器壁A1单位时间内受到气体分子的冲量 单位时间内此分子与器壁A1碰撞次数是 单位时间内器壁受到分子i的冲量 d N个分子对器壁A1单位时间的总冲量 e 压强 气体分子平均平动动能 压强公式 压强公式的讨论 压强的物理实质 压强的微观解释 宏观量 微观量 1 压强方程建立了宏观量和微观量的关系 2 说明了压强的微观本质 3 3温度的微观本质 一 理想气体的能量方程 温度是气体分子平均平动动能大小的量度 3 零点能量 1 能量方程从分子运动论的角度给温度以定义 2 温度是大量分子热运动的集体表现 微观本质 例 1 在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体 如果压缩气体并对它加热 使它的温度从270C升到1770C 这时气体分子的平均平动动能变化多少 解 道尔顿分压定律 设有多种相互不发生化学反应的气体在一容器中混合 达到平衡态 则混合气体压强 一 自由度i Degreeoffreedom 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目 1 质点的自由度 在空间自由运动的质点 在曲面上运动的质点 沿直线或曲线运动 i 1 i 3 i 2 3 4能量按自由度均分定理 1 单原子分子 1 分子平均平动动能 2 单原子分子的平均总能量 2 刚性双原子分子 1 分子的平均平动动能 2 分子的平均转动动能 3 刚性双原子分子的平均总能量 分子平均振动能量 分子平均平动动能 非刚性双原子分子平均能量 非刚性双原子分子 分子平均转动动能 分子的自由度i 单原子分子 平动自由度t 3 转动自由度r 0 振动自由度v 0 双原子分子 刚性双原子分子 平动自由度t 3 转动自由度r 2 振动自由度v 0 非刚性双原子分子 平动自由度t 3 转动自由度r 2 振动自由度v 2 刚性多原子分子 平动自由度t 3 转动自由度r 3 振动自由度v 0 分子能量中独立的速度和坐标的二次方项数目叫做分子能量自由度的数目 能量 按自由度 均分定理 玻尔兹曼假设 气体分子沿X Y Z三个方向运动的平均平动动能完全相等 可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上 在热平衡条件下 物质 气体 液体 固体 分子的任何一个自由度的平均能量都相等 都是 理想气体的内能 内能 把系统内与热现象有关的能量叫做内能 包括分子的热运动动能和分子间相互作用势能 一般气体的内能 E EK T EP r 分子间的相互作用力 保守力 理想气体内能 E EK T 理想气体的内能只与温度有关 每个分子的平均总动能 平动 转动 振动动能 1mol理想气体的内能 M 摩尔理想气体的内能 例 一容器内储有氧气 其压强为一个标准大气压 其温度为27 求 1 单位体积内的分子数 2 氧气的密度 3 氧分子的质量 4 分子的平均平动动能 5 分子的平均总动能 1 由可得单位体积内的分子数为 解 氧气为双原子分子 自由度i 5 2 3 氧气分子的质量 4 分子的平均平动动能 5 分子的平均总动能 麦克斯韦 出生于1831年 是19世纪伟大的英国物理学家 在经典电磁学方面的贡献尤为突出 在分子运动论的功绩也是不可磨灭的 在1859年他的论文 气体分子运动论的例证 中首次利用统计方法 几率观点 得出了气体分子的速度分布定律 称麦克斯韦速度分布律 他推算出了气体分子的平均自由程等 他还研究过土星的光环和视觉理论 创立了定量色度学等 他负责建立的卡文迪什实验室 后来发展成闻名世界的学术中心之一 3 5麦克斯韦速率分布定律 一 速率分布函数 设平衡态下分子总数为N 速率在 d 区间内的分子数为dN dN N为在此区间内的分子数占总分子数的比率 dN N 与速率区间大小成正比 与速率大小有关 速率分布函数 速率分布函数的含义 处于平衡态时 分子分布在速率 附近的单位速率区间内的概率 概率密度 分子在速率区间 d 内的概率 归一化条件 麦克斯韦速率分布律 在热平衡条件下 气体分子间相互作用力可以忽略时 Maxwell导出f 的表达式 T 温度m 气体分子质量k 玻尔兹曼常数 麦克斯韦速率分布定律 d 1 2 气体分子的速率在速率区间 d 的概率 气体分子的速率分布曲线 气体分子速率分布在速率区间 1 2内的概率 气体分子速率分布在全部速率区间内的概率 d 1 2 气体分子的速率在速率区间 d 的分子数 气体分子的速率分布曲线 气体分子速率分布在速率区间 1 2内的分子数 总的气体分子数 1 最可几速率 与分布函数f 的极大值相对应的速率 极值条件 2 平均速率 大量分子的速率的算术平均值 三 分子速率的三个统计值 对于连续分布 3 方均根速率 大量分子速率平方的平均值的平方根 同一种气体分子在一定温度时速率分布图 温度越高 速率大的分子数越多 温度越高 分布曲线中的最可几速率vp增大 但归一化条件要求曲线下总面积不变 因此分布曲线变平坦 高度降低 例如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线 从图上数据求出氢气和氧气的三个统计速率 例 求温度为127 C时氢分子和氧气分子的平均速率 方均根速率及最概然速率 解 例 有N个分子质量为m的同种气体分子 它们的速率分布如图 1 说明曲线与横坐标所包围面积的含义 2 3 求在速率间隔内的分子数 4 求分子的平均平动动能 玻尔兹曼 玻尔兹曼 奥地利物理学家 统计物理的奠基人之一 1844年出生于维也纳 1866年博士毕业 发展了麦克斯韦的分子运动学说 证明了有势的引力场中处于热平衡状态的分子速度分布定律 1872年发表了玻尔兹曼方程 他是哲学上的唯物论者 3 6玻尔兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布 速率分布球 1 麦克斯韦速率分布律 一 玻尔兹曼分布律 2 麦克斯韦速度分布律 在麦克斯韦速度分布律中 考虑分子速度方向 则速度分布在 x x d x y y d y z z d z内的概率为 Maxwell速率分布律 按速度分布的概率密度 Maxwell速度分布函数 麦克斯韦速度分布律 3 气体分子在重力场中的分布率 选取从高度h h dh间一段空气柱 以理想气体为例 平衡态下气体温度处处相等 设地面大气压强为p0 距离地面高为h处的压强为P 高度h处的分子数密度n 重力场中分子数密度按照高度的分布规律 等温压强公式 一般保守力场中分子数密度按照势能 位置 的分布律 重力场中大气按高度的分布规律 高度测量 4 气体分子在位置空间 x x dx y y dy z z dz 的分子数 位置空间 x x dx y y dy z z dz 的分子按照速度的分布律 同时处于位置空间 x x dx y y dy z z dz 和速度空间 x x d x y y d y z z d z的分子数dN 5 Boltzmann分布律 玻尔兹曼按能量分布律 其中n0为零势面处的分子数密度 氮气分子在270C时的平均速率为476m s 1 矛盾 气体分子热运动平均速率高 但气体扩散过程进行得相当慢 3 7气体分子平均碰撞频率和平均自由程 在相同的 t时间内 分子由A到B的位移比它的路程小得多 碰撞频率Z 自由程 气体分子在连续两次碰撞之间自由通过的路程 在单位时间内分子与其他分子碰撞的次数 大量分子频繁碰撞的定量描述 平均碰撞频率 一个分子在单位时间内与其他分子碰撞的平均次数 平均自由程 一个气体分子在连续两次碰撞之间所通过的自由程的平均值 假设 把分子看成直径为d的弹性小球 分子的处理 碰撞 完全弹性碰撞 研究对象 任选气体分子A 以算术平均速率运动 分子A运动 其余分子固定 一次碰撞 运动方向上 以d为半径的圆柱体内的分子都将与分子A碰撞 一秒钟内 分子A经过路程为 相应圆柱体体积为 圆柱体内分子数N 一切分子都在运动 平均自由程 假定与事实是否一致 由于所有分子都在运动 因此只假定分子A运动其余分子不动是不严格的 分子间的碰撞取决于相对运动还是绝对运动 用平均相对运动速率代替平均速率 例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率 取分子的有效直径d 3 5 10 10m 已知空气的平均分子量为29 解 已知 空气摩尔质量为29 10 3kg mol 空气分子在标准状态下的平均速率 在标准状态下 几种气体分子的平均自由程 3 8范德瓦耳斯方程 理想气体模型 气体分子的大小和气体分子间的平均距离相比可以忽略不计 质点假设 分子间的平均距离相当大 因此除了碰撞以外 分子间的相互作用力可以忽略不计 同时由于分子的平均动能远大于分子的重力势能 所以忽略重力的影响 分子所受作用假设 分子间以及分子与器壁间的碰撞是完全弹性碰撞 完全弹性碰撞假设 理想气体模型的修正 质点模型 把气体分子看成具有固定体积的刚性小球 分子间相互作用力忽略不计 考虑分子间的相互作用力 此处主要是分子间的引力 把气体分子看成是相互间具有引力的刚性小球 1mol实际气体的物态方程 刚性小球 分子间的引力 1摩尔实际气体的范德瓦耳斯方程 摩尔实际气体的范德瓦耳斯方程 3 9气体的迁移现象 一 非平衡态下气体内的迁移现象 输运过程 当系统各部分的宏观物理性质不均匀时 系统就处于非平衡态 在不受外界干扰时 系统总要从非平衡态自发地向平衡态过渡 气体内将有能量 质量或者动量从一部分向另一部分定向