矩阵理论讲义ppt第二章 矩阵的标准型.ppt

工科研究生数学 矩阵论第2章矩阵的标准形 王新赠 山东科技大学信息学院 wangelxz 2 1一元多项式 定义 设n是一个非负整数 表达式 2 3 则称f x 与g x 相等 记作f x g x 若其同次项的系数都相等 即 定义 4 多项式加法 为了方便起见 设 5 运算规律 6 数乘多项式 运算规律 7 多项式乘法 其中k次项的系数是 8 运算规律 9 定理2 1 1 带余除法 设f x 和g x 是数域F上的多项式 并且q x 和r x 是唯一的 带余除法 且g x 0 则必存在多项式q x 和r x 使得 若r x 0 则称g x 是f x 的因式 f x 是g x 的倍式 也称g x 能整除f x 并记作g x f x 10 例2 1 1设f x 和g x 是有理数域F上的两个多项式 11 12 2 2因式分解定理 若h x 既是f x 的因式 又是g x 的因式 则称h x 为f x 与g x 的一个公因式 定义 若h x 既是f x 的倍式 又是g x 的倍式 则称h x 为f x 与g x 的一个公倍式 则称d x 为f x 和g x 的一个最大公因式 则称d x 为f x 和g x 的一个最小公倍式 并且满足 并且满足 14 使得d x 是f x 和g x 的一个最大公因式 定理2 2 1 15 不可约多项式 定义 设 若在数域F上只有平凡因式 则称为域F上的不可约多项式 否则 称为域F上的可约多项式 注意 1 一次多项式总是不可约多项式 2 多项式的不可约性与其所在系数域密切相关 例如 16 因式分解唯一性定理 定理 数域F上任一个次数不小于1的多项式f x 都可以 唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积 其唯一性是指 若有两个分解式 则s t 并且经过对因式的适当排序后有 其中为非零常数 17 称为标准分解式 分解式 其中a是f x 的首项系数 是首项系数为 的 不可约多项式 而是正整数 18 复系数多项式的因式分解定理 因式分解定理 次数不小于1的复系数多项式在复数域上 可唯一地分解成一次因式的乘积 标准分解式为 其中是正整数 且 19 实系数多项式的因式分解定理 次数不小于1的实系数多项式在实数域上 可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式的乘积 标准分解式为 其中和是正整数 且 的标准分解式 例求 在实数域上的标准分解式 在复数域上的标准分解式 21 2 3矩阵化简 文件在计算机中存储方式 二进制代码 特别地 图像在电脑中存储方式 除了文件头等 黑白 0 1矩阵 如分辨率为1024 980的一张黑白照片 占用空间为1024 980 1 8 122 5kb 彩色 三基色 红 绿 蓝 理论 每一种颜色分级为0 255 一个像素占用1 3个字节 全为0表示黑色 全为255表示白色 如分辨率为1024 980的一张彩色照片 占用空间为1024 980 8 3 8 2940kb 问题 存储空间有限 文件如何化简 22 将存储空间的0 1看成一个矩阵 进行矩阵的化简 矩阵化简的种类 矩阵合同 对n阶方阵A和B 如果存在可逆矩阵C满足B CTAC 就称矩阵A和B合同 矩阵等价 对矩阵A和B 如果矩阵B可以经过一系列初等变换化为A 就称矩阵A和B合等价 矩阵相似 n阶方阵A和B 如果存在可逆矩阵C满足B C 1AC 就称矩阵A和B相似 矩阵的相似是利用最多的一种方式 一个矩阵相似于对角矩阵的充要条件是矩阵有n 原矩阵阶数 个线性无关的特征向量 不是所有的矩阵相似于对角矩阵 如 问题 不能相似于对角矩阵的方阵相似最简单情况是什么 24 2 4l阵的标准形 定义 元素是l的多项式的矩阵称为l矩阵 记作A l 例如 定义 设l矩阵A l B l 满足 称A l 为可逆的l矩阵 且B l 为A l 的逆 显然 A l 可逆 说明 l矩阵可逆与数字矩阵可逆的区别与联系 向下兼容性 26 定义 l矩阵的初等变换 27 定义 若l矩阵A l 经过若干次初等变换变为B l l矩阵的等价 则称A l 与B l 等价 记作 28 引理 设为n阶l矩阵 若A l 中存在一个元素不能被整除 则必存在与A l 等价的矩阵 满足 A l 可经过若干次初等变换变成一个l矩阵 其 1 1 元素是其余所有元素的公因式 29 情形1 不能被整除 情形2 不能被整除 证明过程与情形1类似 30 此时已化成情形2 31 定理 设A l 为m n阶l矩阵 则A l 等价于分块对角阵 称为A l 等价标准形 其中 并且首项系数为1 l矩阵的等价标准形 例 求l矩阵的等价标准形 32 33 34 l矩阵的秩 定义 l矩阵A l 的不恒为零的子式的最高阶数 显然 等价的l矩阵有相同的秩 称为A l 的秩 事实上 l矩阵的初等变换不会改变其子式恒为零与否 的状态 也就不会改变其不恒为零子式最高阶数 的秩为n 行列式因子 定义 l矩阵A l 的所有k阶子式的最大公因式 定理 等价的l矩阵有相同的各阶行列式因子 事实上 初等变换不会改变A l 各阶子式的最大公因式 也就不会改变其各阶行列式因子 称为A l 的k阶行列式因子 记作 性质 37 求A l 的各阶行列式因子方法 依行列式因子的定义 例 求l矩阵的各阶行列式因子 例 求l矩阵的各阶行列式因子 42 不变因子 定义 设为l矩阵A l 的k阶行列式因子 定理 等价的l矩阵有相同的各阶不变因子 称为A l 的k阶不变因子 43 定理 l矩阵的等价标准形是唯一的 注意到 A l 的等价标准形中D l 的对角元是A l 的 各阶不变因子 例 45 定义 设A l 的各阶不变因子在复数域的标准分解式 初等因子 称指数为A l 的初等因子 初等因子定义等价论述 设A l 的每一个次数大于零的不变因子分解成互不相同一次因式方幂的乘积 所有这些一次因式的方幂 相同的必须按照出现的次数计算 称为矩阵A l 初等因子 定理 等价的l矩阵有相同的初等因子 9个 则其初等因子有7个 它们是 48 例2设 求矩阵lE A的行列式因子 不变因子 和初等因子 解 2 5矩阵相似的条件 定理 数字方阵A相似于B的充分必要条件是lE A等价于lE B 定理 方阵A相似于B的充分必要条件是lE A与lE B有相同的 1 行列式因子组 2 不变因子组 3 初等因子组 定义 数字矩阵 数字矩阵的行列式因子 不变因子 初等因子 引理 设2阶l矩阵 其中 56 定理设A l 为分块对角阵 则每个子块的初等因子都是A l 的初等因子 并且A l 的每个初等因子必是某个子块的初等因子 定理在应用中把问题变得比较简单 例如 59 例2设 求矩阵lE A 也就是矩阵A 的行列式因子 不变因子 和初等因子 解 62 求矩阵lE A的行列式因子 不变因子和初等因子 例3设 lE A的行列式因子 lE A的初等因子 lE A的不变因子 简称 A的初等因子 简称 A的不变因子 简称 A的行列式因子 结论1 若两个同级数字矩阵有相同的不变因子 则它们就有相同的初等因子 反之 若它们有相同的初等因子 则它们就有 结论2 两个同级数字矩阵相似 可见 初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量 相同的不变因子 它们有相同的初等因子 2 6矩阵的若当标准形 Jordan块 形如 的ni阶矩阵称为ni阶Jordan块 若当块完全由两个因素决定 一是阶数 二是对角线元素 Jordan块的等价形式 的初等因子 分块对角阵 称为A的Jordan标准形 J的初等因子 定理 设矩阵A的初等因子是 则存在Jordan标准形 使得 推论 n阶矩阵A相似于对角阵的充要条件是 A的初等因子都是l的一次多项式 72 例设 求矩阵A的Jordan标准形 73 初等因子组 74 例设 求矩阵A的Jordan标准形 75 初等因子组 76 定义 设A为n阶方阵 若