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文档简介

第三 四讲极限概念 内容提要 一 数列的极限二 函数的极限三 极限的性质四 无穷小与无穷大 极限 图示法 公式法 无穷小的比较 如果 你是春天 我只能是步你后尘的秋季 当你的光彩有意在夏日的身后一片消瘦 我不想在陌生的四野漫无目的地逃逸 还是将我深深幽裹在冬风里 犹如你的忧伤 会立即在雪舞中超凡脱俗 人人要结来生缘 侬只今生结目前 一十二时不离别 郎行郎坐只随肩 返回 极限的历史 一尺之槌 日取其半 万世不竭 庄子 一 数列的极限 例如 第二讲极限概念 注意 2 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 1 数列实际上是自变量取整数的函数 一尺之槌 日取其半 万世不竭 庄子 引例1 引例2 数列极限的定义 数列极限的本质 数 常用的数列极限公式 数列极限的运算法则 定理 设 则 推论 例 求下列极限 解 二 函数的极限 无穷远处的极限 常用的极限公式 思考 以上三种极限之间的关系怎样 定理 常用的极限公式 二 函数的极限 函数在某一点的极限的定义 思考 函数在某点的函数值是否影响在该点的极限值 请看下面的问题 解 这个结果说明了什么 引例 常用极限公式 单侧极限 左极限和右极限 注 以上三种极限之间的关系怎样 注 例 解 函数在x 0的左右两侧的表达式不同 故必须分别求左右极限 左右极限存在但不相等 例 证 三 极限的性质 1 唯一性 一 数列极限的性质 2 有界性 3 极限的局部保号性 定理 保号性 2 有界性 1 唯一性 二 函数极限的性质 定理 保号性 3 极限的局部保号性 四 无穷小与无穷大 如果函数f x 在某个极限过程中的极限为零 那么就称f x 是此极限过程的无穷小 量 简而言之 以零为极限的函数称为无穷小 无穷小 无穷小与自变量的变化过程有关 如时是无穷小 但时 则不是无穷小 例如 所以在时是无穷小 例如 因为 所以 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小 无穷小的性质 重点可用来求极限 推论 1 有限个无穷小之和仍是无穷小 2 常数与无穷小的乘积是无穷小 3 有限个无穷小的乘积仍是无穷小 两个无穷小的和或差 仍是无穷小 两个无穷小的积 仍是无穷小 可由后面的极限运算法则推出理解就行不要死记 无穷小的性质 注意 无限个无穷小的和不一定是无穷小 无穷大 考察函数y lnx 注意 无穷大是指的函数 不是很大的数 我们就称这样的函数 为无穷大量 注意 只表示函数在时是一个无穷大量 但极限并不存在 正无穷大 负无穷大 不定号无穷大 无穷大 无穷大的性质 可理解为 可理解为 可理解为 定理在自变量的同一变化过程中 如果f x 为无穷大 则为无穷小 反
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