浙江省杭州高级中学高考数学模拟试卷 理（含解析）.doc

2015年浙江省杭州高级中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若函数f（x）=cos2x，g（x）=sin2x，则“x”是“f（x）g（x）”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件2若椭圆c1： +=1与双曲线c2：=1（b0）的四个交点恰好是一个正方形的四个顶点，则双曲线c2的离心率是（）abcd33已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）abcd4设函数f（x）=sinxcos2x图象的一个对称轴是（）abx=0cd5已知数列an的通项an=，nn*，若a1+a2+a31，则实数x可能等于（）abcd6已知异面直线a，b成60角，a为空间中一点，则过a与a，b都成45角的平面（）a有且只有一个b有且只有两个c有且只有三个d有且只有四个7若过点p（1，0），q（2，0），r（4，0），s（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于（）abcd8设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）xa2（a，br，a0）在3，4上至少有一个零点，则a2+b2的最小值是（）a1b2c10d二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）9已知x，且sin（2x）=，则cos2x=，sinx=，tanx=10已知p为椭圆上一点，f1，f2是椭圆的两个焦点，f1pf2=60，则f1pf2的面积s=11已知函数f（x）=ln（mex+nex）+m为偶函数，且其最小值为2+ln4，则mn=，x|f（x）f（m+n）=12已知向量，的夹角为，|=|=5，向量，的夹角为，|=2，则与的夹角正弦值为，|=13数列（n=1，2，），则数列中的最大项为14已知a=（x，y）|ax+by=1，b=（x，y）|x0，y1，x+y2，若ab恒成立，则2a+3b的取值范围是15已知线段ab是半径为2的球o的直径，c，d两点在球o的球面上，cd=2，abcd，45aoc135，则四面体abcd的体积的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且满足+=4cosc（）求的值；（）若tana=2tanb，求sina的值17如图，已知矩形abcd是圆柱o1o2的轴截面，n在上底面的圆周o2上，ac，bd相交于点m（）求证：平面adn平面can；（）已知圆锥mo1和圆锥mo2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线bc与平面can所成角的正切值为，求cdn的度数18设函数f（x）=，xr且x1，（）就m的取值情况，讨论关于x的方程f（x）x=m在x0，1上的解；（）若可变动的实数x1，x2满足f（3x1）+f（3x2）=1，求f（x1+x2）的最小值19已知a是抛物线y2=4x上的一点，以点a和点b（2，0）为直径的圆c交直线x=1于m，n两点直线l与ab平行，且直线l交抛物线于p，q两点（）求线段mn的长；（）若=3，且直线pq与圆c相交所得弦长与|mn|相等，求直线l的方程20设数列an定义为a1=a，an+1=1+，n1（）证明：存在正实数a，使得a1，a2，a3成等差数列；（）求实数a的取值范围，使得当n2时，0an12015年浙江省杭州高级中学高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若函数f（x）=cos2x，g（x）=sin2x，则“x”是“f（x）g（x）”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】由x，可得f（x）g（x）；反之不成立，例如取x=【解答】解：x，cos2xsin2x，即f（x）g（x）；反之不成立，例如取x=满足f（x）g（x）因此“x”是“f（x）g（x）”的充分不必要条件故选：a【点评】本题考查了正弦函数余弦函数的单调性、充分必要条件的判定方法，属于基础题2若椭圆c1： +=1与双曲线c2：=1（b0）的四个交点恰好是一个正方形的四个顶点，则双曲线c2的离心率是（）abcd3【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设正方形的一个顶点为（m，m），代入椭圆、双曲线方程，可得m2=，b2=12，即可求出双曲线c2的离心率【解答】解：设正方形的一个顶点为（m，m），则椭圆c1： +=1与双曲线c2：=1（b0）的四个交点恰好是一个正方形的四个顶点，m2=，b2=12，双曲线c2的离心率是=故选：c【点评】本题考查椭圆、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础3已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）abcd【考点】简单空间图形的三视图【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中锥体的正视图和侧视图，可得锥体的高为，结合锥体的体积为，可得其底面积为2，进而可得答案【解答】解：锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，a中图形的面积为4，不满足要求；b中图形的面积为，不满足要求；c中图形的面积为2，满足要求；d中图形的面积为，不满足要求；故选：c【点评】本题考查的知识点是简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题4设函数f（x）=sinxcos2x图象的一个对称轴是（）abx=0cd【考点】余弦函数的对称性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】利用函数的对称性对a、b、c、d四个选项逐一判断即可【解答】解：f（x）=sinxcos2x，f（）=sin（）cos2（）=1f（0）=0，函数f（x）=sinxcos2x图象不关于x=对称，排除a；f（x）=sin（x）cos2（x）=sinxcos2x=f（x），f（x）=sinxcos2x为奇函数，不是偶函数，故不关于直线x=0对称，排除b；又f（）=sincos（2）=1f（0）=0，故函数f（x）=sinxcos2x图象不关于x=对称，排除c；又f（x）=sin（x）cos2（x）=sinxcos2x=f（x）f（x）关于直线x=对称，故d正确故选d【点评】本题考查三角函数的对称性，考查排除法在选择题中的应用，属于中档题5已知数列an的通项an=，nn*，若a1+a2+a31，则实数x可能等于（）abcd【考点】数列递推式【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】由数列的递推公式可得a1+a2+a3=+，解关于x的不等式结合选项可得【解答】解：数列an的通项an=，a1+a2+a3=+=，a1+a2+a31，1，10，通分整理可得0，（x+1）（2x+1）（3x+1）0，解得x或1x，故选：c【点评】本题考查数列的递推公式，涉及分式不等式的解集，属中档题6已知异面直线a，b成60角，a为空间中一点，则过a与a，b都成45角的平面（）a有且只有一个b有且只有两个c有且只有三个d有且只有四个【考点】平面与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】已知平面过a，再知道它的方向，就可以确定该平面了，因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系，于是原题简化为：已知两条相交直线a，b成60角，求空间与a，b都成45角的直线【解答】解：已知平面过a，再知道它的方向，就可以确定该平面了，涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系，原题简化为：已知两条相交直线a，b成60角，求空间与a，b都成45角的直线过p作aa，bb，设直线a、b确定的平面为，异面直线a、b成60角，直线a、b确所成锐角为60当直线l在平面内时，若直线l平分直线a、b确所成的钝角，则直线l与a、b都成60角，不成立；当直线l与平面斜交时，若它在平面内的射影恰好落在直线a、b确所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等此时l与a、b所成角的范围为30，90，适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成45角，这样的直线l有两条综上所述，过点p与a、b确都成45角的直线，可以作2条过a与a，b都成45角的平面有且只有2个故选：b【点评】本题考查满足条件的平面个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用7若过点p（1，0），q（2，0），r（4，0），s（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于（）abcd【考点】正弦定理【专题】数形结合；三角函数的求值【分析】根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积【解答】解：如果过点p（1，0），q（2，0），r（4，0），s（8，0）作四条直线构成一个正方形，过p点的必须和过q，r，s的其中一条直线平行和另外两条垂直，假设过p点和q点的直线相互平行时，如图，设直线pc与x轴正方向的夹角为，再过q作它的平行线qd，过r、s作它们的垂线rb、sc，过点a作x轴的平行线分别角pc、sc于点m、n，则ab=amsin=pqsin=sin，ad=ancos=rscos=4cos，因为ab=ad，所以sin=4cos，则tan=4，所以正方形abcd的面积s=abad=4sincos=，同理可求，当直线pc和过r的直线平行时正方形abcd的面积s为，当直线pc和过s点的直线平行时正方形abcd的面积s为，故选：c【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，以及数形结合思想，属于中档题8设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）xa2（a，br，a0）在3，4上至少有一个零点，则a2+b2的最小值是（）a1b2c10d【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】把等式看成关于a，b的直线方程：（x21）a+2xb+x2=0，根据直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，得一不等式，对式子进行恰当变形后，利用函数的单调性可求得a2+b2的最小值【解答】解：把等式看成关于a，b的直线方程：（x21）a+2xb+x2=0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即，a2+b2=，因为x2+在x3，4是减函数，上述式子在x=3，a=，b=时取等号，故a2+b2的最小值为【点评】本题考查二次函数的性质、函数的单调性及不等式知识，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，能力要求较高二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）9已知x，且sin（2x）=，则cos2x=，sinx=，tanx=【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值【专题】三角函数的求值【分析】已知等式利用诱导公式化简求出cos2x的值，根据二倍角的余弦函数公式求出sinx的值，进而求出cosx的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanx的值即可【解答】解：x，sin（2x）=cos2x=，2x，cos2x=，cos2x=1sin2x=，即sin2x=，解得：sinx=，cosx=，则tanx=故答案为：；【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键10已知p为椭圆上一点，f1，f2是椭圆的两个焦点，f1pf2=60，则f1pf2的面积s=【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】由椭圆的标准方程可得：c=4，设|pf1|=t1，|pf2|=t2，根据椭圆的定义可得：t1+t2=10，再根据余弦定理可得：t12+t22t1t2=64，再联立两个方程求出t1t2=12，进而结合三角形的面积公式求出三角形的面积【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a=5，b=3，c=4，设|pf1|=t1，|pf2|=t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2=10，在f1pf2中，f1pf2=60，所以根据余弦定理可得：|pf1|2+|pf2|22|pf1|pf2|cos60=|f1f2|2=（2c）2=64，整理可得：t12+t22t1t2=64，把两边平方得t12+t22+2t1t2=100，所以得t1t2=12，f1pf2=3故答案为：3【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的几何性质与椭圆的定义，此题考查解三角形的有关知识点，以及考查学生的基本运算能力与运算技巧，此题属于中档题11已知函数f（x）=ln（mex+nex）+m为偶函数，且其最小值为2+ln4，则mn=0，x|f（x）f（m+n）=x|4x4【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据f（x）为偶函数，便有f（x）=f（x），这样便可得出m=n，从而得出mn=0从而得到，根据基本不等式及对数函数的单调性即可得出f（x）的最小值为ln2m+m，而已知最小值为2+ln4，从而得到m=2，n=2，这便可得出f（x）解析式，通过求导数，便可判断f（x）的单调性，从而根据f（x）的单调性即可解出f（x）f（4），从而得出x|f（x）f（m+n）【解答】解：f（x）为偶函数；f（x）=f（x）；即ln（mex+nex）+m=ln（mex+nex）+m；m=n；mn=0；ln2m+m；f（x）的最小值为ln2m+m=2+ln4；m=2，n=2；f（x）=ln2（）+2，；x0时，f（x）0，x0时，f（x）0；即f（x）在（，0）上单调递减，在0，+）上单调递增；x|f（x）f（m+n）=x|f（x）f（4）=x|4x4故答案为：0，x|4x4【点评】考查偶函数的定义，基本不等式用于求最小值，根据导数符号判断函数的单调下，而根据函数单调性解不等式的方法12已知向量，的夹角为，|=|=5，向量，的夹角为，|=2，则与的夹角正弦值为，|=4+或【考点】平面向量数量积的运算【专题】解三角形；平面向量及应用【分析】作=， =， =，则=，向量=，=，运用四点共圆的知识和解三角形的正弦、余弦定理，即可得到所求【解答】解：作=， =， =，则=，向量=，=，由题意可得oab为边长为5的等边三角形，向量，的夹角为，可得acb=120，由aob+acb=180，可得四点o，a，b，c共圆，在abc中，ca=2，ab=5，acb=120，由正弦定理可得sincba=，在oac中，oa=5，ac=2，oca=60，由余弦定理可得52=oc2+122oc2，解得oc=4+当c在oab中，同理可得sincba=，oc=故答案为：，4+或【点评】本题考查向量的三角形法则和向量夹角的概念，同时考查解三角形的正弦、余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题13数列（n=1，2，），则数列中的最大项为【考点】数列的函数特性【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】根据数列最大项条件，建立不等式即可【解答】解：设an=，设第n项最大，则满足，即，即，即，即，即1+n2+，nn，n=3或4，a3=，a4=1，数列中的最大项为a3=故答案为：【点评】本题考查数列的最值问题，利用做差或做商比较法判断数列的单调性是求数列最值的常用方式14已知a=（x，y）|ax+by=1，b=（x，y）|x0，y1，x+y2，若ab恒成立，则2a+3b的取值范围是【考点】交集及其运算【专题】数形结合；不等式的解法及应用；集合【分析】由题意画出集合b所表示的图形，结合ab=得到a，b所满足的不等式组，由线性规划知识结合补集思想求得2a+3b的取值范围【解答】解：由题意画出集合b所表示的图形如图，若ab=，则或令z=2a+3b作出可行域如图，化z=2a+3b为，由图可知，当直线过（0，1）时，z的值为3；当直线过（）时，z的值为由补集思想可得：若ab恒成立，则2a+3b的取值范围是故答案为：【点评】本题考查交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，难度较大15已知线段ab是半径为2的球o的直径，c，d两点在球o的球面上，cd=2，abcd，45aoc135，则四面体abcd的体积的取值范围是【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积【专题】空间位置关系与距离【分析】判断棱锥体积取得最值的位置，求出四面体abcd的体积的最值，即可得到范围【解答】解：线段ab是半径为2的球o的直径，c，d两点在球o的球面上，cd=2，abcd，45aoc135，则四面体abcd的体积的最小值是aoc=45或135时，经过cd与ab垂直的截面面积最小，如图（1）中三角形ecd，f为cd的中点，ec=ocsin45=，of=，ef=secd=cdef=1棱锥体积的最小值为：4=当aoc=90时，经过cd与ab垂直的截面面积最大，如图（2），截面三角形ocd是正三角形，边长为2棱锥体积的最大值为： =四面体abcd的体积的取值范围是：故答案为：【点评】本题考查球的内接体，几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且满足+=4cosc（）求的值；（）若tana=2tanb，求sina的值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】三角函数的求值；解三角形【分析】（）根据余弦定理和正弦定理化简已知的式子，即可求出式子的值；（）利用商的关系化简tana=2tanb，再根据余弦定理和正弦定理化简得到等式，联立（1）的结论求出a、b、c的关系，利用余弦定理求出cosa，再由内角的范围和平方关系求出sina的值【解答】解：（）已知等式整理得： =4cosc，即=2abcosc，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosc=a2+b2=，即=2，利用正弦定理化简得： =2；（）tana=2tanb，则sinacosb=2sinbcosa，a=2b，化简得，3a23b2=c2，联立a2+b2=2c2得，a、，由余弦定理得，cosa=，由0a得，sina=【点评】本题考查正弦、余弦定理，以及平方关系，考查化简、计算的能力，注意内角的范围，属于中档题17如图，已知矩形abcd是圆柱o1o2的轴截面，n在上底面的圆周o2上，ac，bd相交于点m（）求证：平面adn平面can；（）已知圆锥mo1和圆锥mo2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线bc与平面can所成角的正切值为，求cdn的度数【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（）证明cn垂直平面adn，推出直线与平面垂直利用平面垂直的判定定理证明，平面adn平面can；（）通过圆锥mo1和圆锥mo2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，求出圆柱的高与底面半径的关系直线bc与平面can所成角的正切值为，转化三角形cdn的边长关系，然后求cdn的度数【解答】证明：（）已知矩形abcd是圆柱o1o2的轴截面，n在上底面的圆周o2上，可知ad上底面圆o2，adcn，又cndn，addn=d，可得cn平面adn，cn平面can，平面adn平面can；（）由已知可知m为o1o2的中点，圆锥mo1和圆锥mo2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，两个圆锥相同，圆锥mo1和圆锥mo2的侧面展开图都是半圆，ab=am，ab=am，ad=2mo1=2ab=ab=cd直线bc与平面can所成角的正切值为，即ad与平面can所成角的正切值为，可得tandan=，nd=ad=cd=，coscdn=cdn的度数为60【点评】本题考查空间几何体的位置关系，直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面生产基地应用，考查空间想象能力以及计算能力18设函数f（x）=，xr且x1，（）就m的取值情况，讨论关于x的方程f（x）x=m在x0，1上的解；（）若可变动的实数x1，x2满足f（3x1）+f（3x2）=1，求f（x1+x2）的最小值【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的最值及其几何意义【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（）令y=x，从而求导y=，从而确定函数的单调性，从而确定解的个数；（）由题意可得+=3，从而由基本不等式可得32，从而可得x1+x22（当且仅当x1=x2=1时，等号成立）；从而求最小值【解答】解：（）令y=x，则y=，故y=x在0，1）上是增函数，在（1，1上是减函数；y|x=0=1，y|x=sqrt21=22，y|x=1=1，故当m1或m22时，方程f（x）x=m在x0，1上无解；当m=22时，方程f（x）x=m在x0，1上有一个解；当m22时，方程f（x）x=m在x0，1上有两个解（）f（3x1）+f（3x2）=1，1+1=1，即+=1，即+=3，又+2，32，解得，9，故x1+x22（当且仅当x1=x2=1时，等号成立）；且函数f（x）=在（1，+）上是增函数，故f（x1+x2）的最小值为f（2）=【点评】本题考查了导数的综合应用及基本不等式的综合应用，属于难题19已知a是抛物线y2=4x上的一点，以点a和点b（2，0）为直径的圆c交直线x=1于m，n两点直线l与ab平行，且直线l交抛物线于p，q两点（）求线段mn的长；（）若=3，且直线pq与圆c相交所得弦长与|mn|相等，求直线l的方程【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）c的方程为（x2）（x+y（yy0）=0，令x=1，得y2y0y+1=0，利用韦达定理及弦长公式求线段mn的长；（）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程，利用=