第一节中值定理

第四章中值定理与导数应用 本章以中值定理作为理论基础讨论下列问题 求极限 单调性 最优化问题 函数作图 第一节中值定理 罗尔中值定理 设函数 满足下面条件 在闭区间 在开区间 在区间两个端点处的函数值 上连续 内可导 相等 即 则至少存在一点 使得 定理4 1 几何意义 证 因 在 上连续 故 在 上一定有最大值 和最小值 所以 从而 所以对于 内任一点都可取作 故命题成立 时 由 时 由 所以 端点处的函数值 与 至少有一个不等于区间两个 不妨设 则在 内至少存在一点 使得 下证 在开区间 内可导 由 所以 注 三个条件缺一不可 1 4 3 2 例1 验证函数 在区间 上满足罗尔定理全部条件 并求 解 在闭区间 在开区间 在区间两个端点处的函数值 上连续 内可导 相等 初等函数性质 导数性质或 存在 在 故至少存在一点 使得 又 故 题型一验证罗尔定理成立 判断连续性 二 分段函数 分界点用定义 一 初等函数 判断可导性 1 性质 2 导函数有定义 二 分段函数 分界点用定义 一 初等函数 有定义区间上连续 例2 证明方程 至多有一个实根 其中 为任意常数 证 反证法 假设方程有两个不同的实根 显然 在 上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点 使得 设 即 矛盾 故命题成立 题型二判断方程的根 例3 不求导数 判断函数 的导函数有几个实根 以及所在的范围 解 在 满足罗尔定理条件 因此 存在 使得 又 为三次函数 则 为二次函数 故 在 和 内各有一个实根 有且仅有两个实根 题型三证明带 的等式 例4 设 在 在 上连续 内可导 则在 内至少存在一点 使得 证 设 显然 在 上连续 在 内可导 且 在 上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点 使得 即 即 即 常见辅助函数 例5 设 在 在 上连续 内可导 且 试证 在 存在一点 使得 证 设 显然 在 上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点 使得 即 故命题成立 内至少 亦 例6 证 例7 设 在 在 上连续 内存在二 阶导数 若 内至少存在一点 使得 则在 与过点 的直线有交点 最好有 满足罗尔定理 分析 在区间 上满足罗尔定理吗 证 由条件知 在 上分别 满足拉格朗日定理 故存在 使 因点 的连线上 在点 故 在区间 上满足罗尔定理 从而 故有 使 设函数 在闭区间 在开区间 上连续 内可导 又 当 时 则至少存在一点 使得 例8 提示 令 例9 则 在 在 上连续 内可导 试证 使得 且 证 令 至少存在一点 设 与 在 上同号 且 不妨设 则 则有 使 则有 使 即 即 例10 证 作辅助函数 且满足罗尔定理 则 故存在 使得 其它条件 拉格朗日中值定理 设函数 满足下面条件 在闭区间 在开区间 上连续 内可导 则至少存在一点 使得 证 设 显然 在 上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点 使得 即 定理4 2 几何意义 等价形式 分析课本中辅助函数的令法 令 直线AB 曲线AB 思路 切线 直线AB 切线斜率 直线斜率 切线斜率 直线的切线斜率 故选 证 设 显然 在 上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点 使得 即 即 上连续 在 内可导 且 即 在 注 1 注 2 由 两端同乘以 得 即拉格朗日定理中无论先写左端点还是先写右端点结论都成立 推论1 如果函数 在区间 内任一点 的导数 都等于零 则函数 在 内 是一个常数 证 任取 在 上满足拉格朗日定理条件 因此至少存在一点 使得 所以 故命题成立 推论2 如果函数 在区间 都相等 则 在 内至多相差一个常数 内 任一点的导数 与 证 因 所以 即 由推论1知 故命题成立 题型一验证拉格朗日定理成立 题型二证明不等式 例11 证明不等式 证 时 不等式显然成立 时 在 上满足拉格朗日条件 因此至少存在一点 使得 故 例12 试证 证 不妨设 在 上满足拉格朗日定理 所以 至少存在一个 使得 即 故 同理可证 题型三证明带 的等式 例13 设 在 在 上连续 内可导 则在 内至少存在一点 使得 证 设 显然 满足拉格朗日定理条件 因此至少存在一点 使得 故命题成立 例14 试证明 证 因 题型四证常数 所以 且 在 上连续 则 令 得 题型一验证拉格朗日定理成立 题型二证明不等式 题型四证常数 题型三证明带 的等式 题型一验证罗尔定理成立 题型二判断方程的根 题型三证明带 的等式 罗尔定理 总结 拉格朗日定理 2001考研题 已知 在 内可导 且 求常数 解 对 在 上应用拉格郎日定理 有 于是 由题设知 故 注意综合的特点 例15 设 在 在 上连续 内可导 且 试证 在 内至少存在两点 使得 分析 由条件知 在 定理的条件 故存在 使 上满足拉格朗日 再有另外一点 满足上述等式 二式相加 不就行啦 可能吗 有可能 不过 就是有这样的点也求不出来呀 不同的区间 那就只有把 0 1 分成两个小区间啦 试一试 这里有两个导数值 是 在不同的区间上用 中值定理得到的吗 使 得 证 由 在 上由拉格朗日定理有 因此至少存在一点 使得 及 介值定理 例16 设 在 在 上连续 内可导 且 试证 在 内至少存在两点 使得 证 由设 在 上由拉格朗日定理有 因此至少存在一点 使得 及 使得 得 例17 设 在 在 上连续 内可导 则在 内至少存在一点 使得 证 设 显然 上满足拉格朗日 因此至少存在一点 使得 在 定理条件 例18 设 在 在 上连续 内存在二 阶导数 若 存在一点 使得 则在 点 在 内存在一 内至少 分析 证 由条件知 在 上分别 满足拉格朗日定理 故存在 使 在区间 上满足拉格朗日定理 而 故有 使 柯西中值定理 设函数 满足下面条件 在闭区间 在开区间 上连续 内可导 当 时 则至少存在一点 使得 定理4 3 证 用拉格朗日定理 相除即可 分析 欲证 只需 令 证 作辅助函数 显然 在 在 上连续 内可导 且 即 在 上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点 使得 而 即 即 证法二 仿照 证明拉格朗日定理时 作辅助函数的方法去证明 证明 设 显然 在 上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点 使得 即 亦 证明 设 显然 在 上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点 使得 即 亦 辅助函数 题型二证明带 的等式 题型一验证柯西定理成立 题型三双介值问题 小结 Rolle定理 Lagrange中值定理 Cauchy中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系 注意定理成立的条件 证明含函数值不等式 题型四 题型一 判断方程的根 题型三 双介值问题 将 用罗尔定理 题型二证明带 的等式 用罗尔定理 用拉格朗日定理 用柯西定理 含两个函数 若等式中含二阶导数需反复利用中值定理或对函 数的导数用中值定理 分别用中值定理 分开 对不同的函数 例19 设 在 上可导 且 试证 在 内至少存在一点 使得 证明 设 则 在 上满足柯西定理 因此至少存在一点 使得 即 双介值问题 例20 设 在 在 上连续 内可导 试证 存在 使得 且 证 用拉格朗日定理 和 用柯西定理 相除即可 双介值问题处理思路 1 将 和 分开 2 涉及一个函数导数用拉格朗日定理 涉及两个函数导数的商用柯西定理 3 拉 拉 柯 柯 柯 拉 题型二证明带 的等式 题型一验证柯西定理成立 题型三双介值问题 题型一验证拉格朗日定理成立 题型二证明不等式 题型四证常数 题型三证明带 的等式 题型一验证罗尔定理成立 题型二判断方程的根 题型三证明带 的等式 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 题型五双介值问题 总结 例21 设 在 在 上连续 内可导 试证 存在 使得 且 证 用拉格朗日定理 和 用柯西定理 相除即可 令 例22 设 在 上存在二 若 存在一点 使得 在 在 内 内至少 与 试证 使得 点 若在 内存在一 证 反证法 且 阶导数 所以 在 上分别 满足罗尔定理 故存在 使 在区间 上满足罗尔定理 而 故有 使 与 矛盾 故在 内 作辅助函数 显然 在 上满足 因此至少存在一点 使得 罗尔定理条件 而 由 得 例23 在 在 上连续 内可导 试证 存在 使得 且 设 对任意的实数 必存在 使得