初三相似三角形之一线三等角专题

精品文库相似三角形“一线三等角型”一、 知识梳理：一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形 （图1） （图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,ADE=B，那么一定存在的相似三角形有 ；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,DEF=B，那么一定存在的相似三角形有 .二、【例题解析】【例1】如图，等边ABC中，边长为4，D是BC上动点，EDF=60，（1）求证：BDECFD； （2）当BD=1，FC=时，求BE.【变式1】在边长为4的等边中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：BED=DEF. 【变式2】在边长为4的等边中，若BD=1时，当DEF与AEF相似，求BE的值. 【变式3】如图，已知边长为3的等边，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 【例2】在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q（不与点B,C重合），已知AP=2，求CQ.【变式1】 如图，在ABC中，是边上的一个动点，点在边上，且(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；(3) 当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由 【变式2】在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点（与A，C不重合），与射线BC相交于点F.(1) 如图1，当点D是边AB的中点时，求证：;(2) 如图2，当，求的值. 【例3】已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2，P为AD上的一点，满足BPCA 求证；ABPDPC； 求AP的长【变式1】如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长【变式2】在梯形中，点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结（1）求证：；（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；（3）若，求的长 【作业】1、如图，在中，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点设，的面积为（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果以、为顶点的三角形与相似，求的面积. 2、如图，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，连结DE，并作，射线EF交线段AC于F（1）求证：DBEECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果DEF与DBE相似，求FC的长 3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点 （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于