河北省清河县高三数学《离散型随机变量的均值与方差、正态分布》课件.ppt

第九节离散型随机变量的均值与方差 正态分布 1 理解取有限个值的离散型随机变量均值 方差的概念 2 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些实际问题 3 利用实际问题的直方图 了解正态分布的特点及曲线所表示的意义 1 离散型随机变量的均值与方差 1 均值若离散型随机变量 的概率分布为 则 的数学期望 或平均数 均值 简称期望 为e x1p1 x2p2 xnpn 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 方差如果离散型随机变量 所有可能取的值是x1 x2 xn 且取这些值的概率分别是p1 p2 pn 那么d x1 e 2 p1 x2 e 2 p2 xn e 2 pn 叫做 的方差 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 标准差与随机变量本身有相同的单位 3 若 服从二项分布 即 b n p 则e np d np 1 p 两点分布 则e p d p 1 p 2 均值 方差的性质及应用 1 ec c c为常数 2 e a b ae b a b为常数 3 d a b a2d 3 正态分布 1 函数 2 正态总体几乎总取值于区间 3 3 之内 而在此区间以外取值的概率只有0 0026 通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 1 设随机变量 b n p 且e 1 6 d 1 28 则 a n 8 p 0 2b n 4 p 0 4c n 5 p 0 32d n 7 p 0 45 答案 a 2 如果 是离散型随机变量 3 2 那么 a e 3e 2 d 9d b e 3e d 3d 2c e 3e 2 d 9e 4d e 3e 4 d 3d 2答案 a 解析 e 2 e 2 1 2e 1 5 答案 d 4 一个均匀小正方体的六个面中 三个面上标以数0 两个面上标以数1 一个面上标以数2 将这个小正方体抛掷2次 则向上的数之积的数学期望 热点之一求离散型随机变量的期望与方差求离散型随机变量x的均值与方差的步骤 1 理解x的意义 写出y的所有可能取值 2 求x取每个值的概率 3 写出x的分布列 4 由均值的定义求ex 5 由方差的定义求dx 例1 袋中有20个大小相同的球 其中记上0号的有10个 记上n号的有n个 n 1 2 3 4 现从袋中任取一个 表示所取球的标号 1 求 的分布列 期望和方差 2 若 a b e 1 d 11 试求a b的值 2 由d a2d 得a2 2 75 11 即a 2 又e ae b 当a 2时 由1 2 1 5 b 得b 2 当a 2时 由1 2 1 5 b 得b 4 思维拓展 在计算离散型随机变量的期望与方差时 首先要弄清其分布特征 正确求出分布列 这是求均值和方差的前提 然后准确应用公式 特别是充分利用期望和方差的性质解题 善于使用公式e ax b aex b d ax b a2dx 能避免繁琐的运算过程 提高运算速度和准确度 即时训练某商场举行抽奖促销活动 抽奖规则是 从装有9个白球 1个红球的箱子中每次随机地摸出1个球 记下颜色后放回 摸出1个红球可获得奖金10元 摸出2个红球可获得奖金50元 现有甲 乙两位顾客 规定 甲摸一次 乙摸两次 令x表示甲 乙摸球后获得的奖金总额 求 1 x的概率分布 2 x的数学期望 解 摸球的情形有以下5种 甲1白 乙2白 0元 甲1红 乙2白或甲1白 乙1红1白 10元 甲1红 乙1红1白 20元 甲1白 乙2红 50元 甲1红 乙2红 60元 1 x的所有可能的取值为0 10 20 50 60 热点之二期望与方差的性质及应用利用均值和方差的性质 可以避免复杂的运算 常用性质有 1 ec c c为常数 2 e ax b aex b a b为常数 3 e x1 x2 ex1 ex2 e ax1 bx2 ae x1 be x2 思维拓展 1 要掌握简单的方差与期望计算 2 公式运用要严密准确 即时训练如果x是离散型随机变量 ex 6 dx 0 5 x1 2x 5 那么ex1和dx1分别是 a 12 1b 7 1c 12 2d 7 2解析 因为e ax b aex b d ax b a2dx 由已知可得ex1 7 dx1 2 应选d 答案 d 热点之三与二项分布有关的期望与方差当随机变量x服从两点分布或二项分布时 可不用列出分布列 直接由公式求出ex和dx 思路探究 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验 答对问题的个数 服从二项分布 求 的期望与方差可通过 与 的线性关系间接求出 思维拓展 1 当求随机变量 的期望与方差时 可首先分析 是否服从二项分布 如果服从 则用公式求解 可大大减少运算量 2 注意利用e a b ae b及d a b a2d 求期望与方差 即时训练某运动员投篮命中率为p 0 6 1 求一次投篮时命中次数x的期望与方差 2 求重复5次投篮时 命中次数 的期望与方差 2 要记住正态变量的取值位于三个区间内的概率值 在求解实际问题时 先求出正态分布的两个重要参数 和 的值 然后结合三个区间对应的概率值进行解答 即时训练把一正态曲线c1沿着横轴方向向右移动2个单位 得到一条新的曲线c2 下列说法不正确的是 a 曲线c2仍是正态曲线b 曲线c1 c2的最高点的纵坐标相等c 以曲线c2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线c1为概率密度曲线的总体的方差大2d 以曲线c2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线c1为概率密度曲线的总体的期望大2 答案 c 本节是理科高考中的重点内容之一 题型以解答题为主 考查随机变量的概率 分布列 期望和方差等 大多以实际问题为背景 涉及排列组合 互斥事件的概率 相互独立事件的概率 条件概率等 考查利用所学知识解决实际问题的能力 例5 2010 全国 如图 由m到n的电路中有4个元件 分别标为t1 t2 t3 t4 电流能通过t1 t2 t3的概率都是p 电流能通过t4的概率是0 9 电流能否通过各元件相互独立 已知t1 t2 t3中至少有一个能通过电流的概率为0 999 1 求p 2 求电流能在m与n之间通过的概率 3 表示t1 t2 t3 t4中能通过电流的元件个数 求 的期望 解 记ai表示事件 电流能通过ti i 1 2 3 4 a表示事件 t1 t2 t3中至少有一个能通过电流 b表示事件 电流能在m与n之间通过 0 9 0 1 0 9 0 9 0 1 0 1 0 9 0 9 0 9891 3 由于电流能通过各元件的概率都是0 9 且电流能否通过各元件相互独立 b 4 0 9 e 4 0 9 3 6 1 2010 课标全国 某种种子每粒发芽的概率都为0 9 现播种了1000粒 对于没