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文档简介

1连续函数的概念 一 函数在一点的连续性 三 区间上的连续函数 二 间断点的分类 返回 定义1 由定义1知 我们是通过函数的极限来定义连续 一 函数在一点的连续性 性的 换句话说连续就是指 例如 这是因为 又如 函数 极限 由极限的定义 定义1可以叙述为 对于任意正数e 这是因为 存在d 0 连续性的另外一种表达形式 对任意的存在当时 应的函数 在y0处 的增量 为狄利克雷函数 证 注意 上述极限式绝不能写成 例1 由上面的定义和例题应该可以看出 函数在点x0 类似于左 右极限 下面引进左 右连续的概念 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值 极限存在是函数连续的一个必要条件 而且还 x0连续 那么它在点x0必须要有极限 这就是说 有极限与在点x0连续是有区别的 首先f x 在点 定义3 很明显 由左 右极限与极限的关系以及连续函数 有定义 若 的定义可得 例2讨论函数 解因为 点击上图动画演示 综上所述 所以 二 间断点的分类 定义4 定义 若f在点x0无定义 或者在点x0有定义但却 由此 根据函数极限与连续之间的联系 如果f在 点x0不连续 则必出现下面两种情况之一 或不连续点 在该点不连续 那么称点x0为函数的一个间断点 等于f x0 根据上面的分析 我们对间断点进行如下分类 1 可去间断点 若 一个可去间断点 注x0是f的跳跃间断点与函数f在点x0是否有定 点 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 义无关 有一个不存在 例3 所以 并且是的一个可去间断点 例4讨论函数 在x 0处是否连续 若不连续 则是什么类型的 2 若点x0是的可去间断点 那么只要重新定 x0连续 间断点 所以f x 在x 0处右连续而不左连续 从而不 断点是跳跃间断点 连续 既然它的左 右极限都存在 那么这个间 例5 解因为由归结原理可知 均不存在 点 三 区间上的连续函数 若函数f在区间I上的每一点都连续 则称f为I 别指右连续和左连续 数在该点连续是指相应的左连续或右连续 上的连续函数 对于闭区间或半闭区间的端点 函 如果函数f在 a b 上的不连续点都是第一类的 复习思考题 能要添加或改变某些分段点处的值 是由若干个小区间上的连续曲线合并而成 当然可 一个按段连续函数 从几何上看 按段连续曲线就 并且不连续点只
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