福建省莆田市高三数学毕业班教学质量检查试卷 理（含解析）.doc

2015年福建省莆田市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡相应位置1下列函数中，为奇函数的是（）ay=x+1by=x2cy=2xdy=x|x|2已知ar，复数z=（a2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为m，则“a=0”是“点m在第四象限”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3若a0，b0，a+b=1，则y=+的最小值是（）a2b3c4d54函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴方程为（）ax=bx=cx=dx=5某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）abc1d6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的的值等于126，则判断框中的可以是（）ai4？bi5？ci6？di7？7若直线y=kxk交抛物线y2=4x于a，b两点，且线段ab中点到y轴的距离为3，则|ab|=（）a12b10c8d68学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（）a20种b24种c26种d30种9常用以下方法求函数y=f（x）g（x）的导数：先两边同取以e为底的对数（e2.71828，为自然对数的底数）得lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导，得y=g（x）lnf（x）+g（x）lnf（x），即y=f（x）g（x）g（x）lnf（x）+g（x）lnf（x）运用此方法可以求函数h（x）=xx（x0）的导函数据此可以判断下列各函数值中最小的是（）ah（）bh（）ch（）dh（）10如图，abc所在平面上的点pn（nn*）均满足pnab与pnac的面积比为3；1， =（2xn+1）（其中，xn是首项为1的正项数列），则x5等于（）a65b63c33d31二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填写在答题卡的相应位置11集合a=x|1x3，b=x|x1，则ab=12某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的统计资料如表：x681012y2356根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程=0.7x+，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为万元13向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为14已知圆o：x2+y2=1和双曲线c：=1（a0，b0）若对双曲线c上任意一点a（点a在圆o外），均存在与圆o外切且顶点都在双曲线c上的菱形abcd，则=15定义：x（xr）表示不超过x的最大整数例如1.5=1，0.5=1给出下列结论：函数y=sinx是奇函数；函数y=sinx是周期为2的周期函数；函数y=sinxcosx不存在零点；函数y=sinx+cosx的值域是2，1，0，1其中正确的是（填上所有正确命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤把答案填在答题卡相应位置16已知数列an的首项为1，前n项和sn满足=+1（n2）（）求sn与数列an的通项公式；（）设bn=（nn*），求使不等式b1+b2+bn成立的最小正整数n17已知函数f（x）=sinxcosxcos2x+（0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xf（x）01010（）请直接写出处应填的值，并求函数f（x）在区间，上的值域；（）abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知f（a+）=1，b+c=4，a=，求abc的面积18甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）：甲8381937978848894乙8789897774788898（）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（）本次竞赛设置a、b两问题，规定：问题a的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题b的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题选手答题问题a，b成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（i）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由19如图，边长为2的正方形abcd绕ab边所在直线旋转一定的角度（小于180）到abef的位置（）求证：ce平面adf；（）若k为线段be上异于b，e的点，ce=2设直线ak与平面bdf所成角为，当3045时，求bk的取值范围20如图，椭圆c： +=1（ab0）的离心率e=，且椭圆c的短轴长为2（）求椭圆c的方程；（）设p，m，n椭圆c上的三个动点（i）若直线mn过点d（0，），且p点是椭圆c的上顶点，求pmn面积的最大值；（ii）试探究：是否存在pmn是以o为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=lnx+ax2+b（a，br）（）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=1，求函数f（x）的单调区间；（）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（m，+）上不单调；（）若点a（x1，y1），b（x2，y2）（x2x10）是曲线f（x）上的两点，试探究：当a0时，是否存在实数x0（x1，x2），使直线ab的斜率等于f（x0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由2015年福建省莆田市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡相应位置1下列函数中，为奇函数的是（）ay=x+1by=x2cy=2xdy=x|x|【考点】函数奇偶性的判断【专题】函数的性质及应用【分析】逐一判断各个选项中函数的奇偶性，可得结论【解答】解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除a；由于y=x2为偶函数，故排除b；由于y=2x为非奇非偶函数，故排除c；由于y=x|x|是奇函数，满足条件，故选：d【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题2已知ar，复数z=（a2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为m，则“a=0”是“点m在第四象限”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a=0，则z=2i（1+i）=22i，点m在第四象限，是充分条件，若点m在第四象限，则z=（a+2）+（a2）i，推出2a2，推不出a=0，不是必要条件；故选：a【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题3若a0，b0，a+b=1，则y=+的最小值是（）a2b3c4d5【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：a0，b0，a+b=1，y=+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号y=+的最小值是4故选：c【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题4函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴方程为（）ax=bx=cx=dx=【考点】正弦函数的对称性【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，求出y=sin（2x+）图象的一条对称轴方程【解答】解：对于函数y=sin（2x+），令2x+=k+，kz，求得x=，可得它的图象的对称轴方程为x=，kz，故选：a【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题5某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）abc1d【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，进而可得其侧视图的面积【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：b【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的的值等于126，则判断框中的可以是（）ai4？bi5？ci6？di7？【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算s的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，i=1s=2，i=2不满足条件，s=2+4=6，i=3不满足条件，s=6+8=14，i=4不满足条件，s=14+16=30，i=5不满足条件，s=30+32=62，i=6不满足条件，s=62+64=126，i=7由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出s的值为126，故判断框中的可以是i6？故选：c【点评】本小题主要考查循环结构、数列等基础知识根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基本知识的考查7若直线y=kxk交抛物线y2=4x于a，b两点，且线段ab中点到y轴的距离为3，则|ab|=（）a12b10c8d6【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出a，b的中点横坐标，求出线段ab的中点到y轴的距离【解答】解：直线y=kxk恒过（1，0），恰好是抛物线y2=4x的焦点坐标，设a（x1，y1） b（x2，y2） 抛物y2=4x的线准线x=1，线段ab中点到y轴的距离为3，x1+x2=6，|ab|=|af|+|bf|=x1+x2+2=8，故选：c【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离8学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（）a20种b24种c26种d30种【考点】计数原理的应用【专题】应用题；排列组合【分析】利用甲班级分配2、3、4、5个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额即可得出结论【解答】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，故选：a【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想9常用以下方法求函数y=f（x）g（x）的导数：先两边同取以e为底的对数（e2.71828，为自然对数的底数）得lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导，得y=g（x）lnf（x）+g（x）lnf（x），即y=f（x）g（x）g（x）lnf（x）+g（x）lnf（x）运用此方法可以求函数h（x）=xx（x0）的导函数据此可以判断下列各函数值中最小的是（）ah（）bh（）ch（）dh（）【考点】导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】根据定义，先求原函数的导数，分别令导数大于0，小于0，解不等式求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值【解答】解：（h（x）=xxxlnx+x（lnx）=xx（lnx+1），令h（x）0，解得：x，令h（x）0，解得：0x，h（x）在（0，）递减，在（，+）递增，h（）最小，故选：b【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查10如图，abc所在平面上的点pn（nn*）均满足pnab与pnac的面积比为3；1， =（2xn+1）（其中，xn是首项为1的正项数列），则x5等于（）a65b63c33d31【考点】数列递推式；向量的三角形法则【专题】等差数列与等比数列；平面向量及应用【分析】由=（2xn+1）可得+（2xn+1）=，画出图形后利用三角形面积的关系得到数列递推式，然后构造等比数列得答案【解答】解：由=（2xn+1），得+（2xn+1）=，设，以线段pna、pnd作出图形如图，则，则，即xn+1=2xn+1，xn+1+1=2（xn+1），则xn+1构成以2为首项，以2为公比的等比数列，x5+1=224=32，则x5=31故选：d【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填写在答题卡的相应位置11集合a=x|1x3，b=x|x1，则ab=x|1x1【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】根据集合的交集运算进行求解即可【解答】解：a=x|1x3，b=x|x1，ab=x|1x1，故答案为：x|1x1【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础12某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的统计资料如表：x681012y2356根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程=0.7x+，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为7.5万元【考点】线性回归方程【专题】应用题；概率与统计【分析】根据所给的数据求出这组数据的横标和纵标的平均数，即这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，把样本中心点代入求出a的值，写出线性回归方程，代入x的值，预报出结果【解答】解：由表格可知=9， =4，这组数据的样本中心点是（9，4），根据样本中心点在线性回归直线=0.7x+上，4=0.79+，=2.3，这组数据对应的线性回归方程是=0.7x2.3，x=14，=7.5，故答案为：7.5【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错13向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为【考点】定积分在求面积中的应用；简单线性规划的应用；几何概型【专题】不等式的解法及应用；概率与统计【分析】画出约束条件的可行域，利用定积分分别确定区域的面积与坐标原点与该点的连线的斜率小于1时区域的面积，即可求得概率【解答】解：不等式组的可行域为：由题意，a（1，1），区域的面积为=（x3）=，由，可得可行域的面积为：1=，坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与与坐标原点连线的斜率大于1的概率为： =故答案为：【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积14已知圆o：x2+y2=1和双曲线c：=1（a0，b0）若对双曲线c上任意一点a（点a在圆o外），均存在与圆o外切且顶点都在双曲线c上的菱形abcd，则=1【考点】圆与圆锥曲线的综合【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可通过特殊点，取a（1，t），则b（1，t），c（1，t），d（1，t），由直线和圆相切的条件：d=r，求得t=1，代入双曲线方程，即可得到所求值【解答】解：若对双曲线c上任意一点a（点a在圆o外），均存在与圆o外切且顶点都在双曲线c上的菱形abcd，可通过特殊点，取a（1，t），则b（1，t），c（1，t），d（1，t），由直线和圆相切的条件可得，t=1将a（1，1）代入双曲线方程，可得=1故答案为：1【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题15定义：x（xr）表示不超过x的最大整数例如1.5=1，0.5=1给出下列结论：函数y=sinx是奇函数；函数y=sinx是周期为2的周期函数；函数y=sinxcosx不存在零点；函数y=sinx+cosx的值域是2，1，0，1其中正确的是（填上所有正确命题的编号）【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；新定义；推理和证明【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：函数y=sinx是非奇非偶函数；函数y=sinx的周期与y=sinx的周期相同，故是周期为2的周期函数；函数y=sinx的取值是1，0，1，故y=sinxcosx不存在零点；函数数y=sinx、y=cosx的取值是1，0，1，故y=sinx+cosx的值域是2，1，0，1故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义，正确理解新定义是关键三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤把答案填在答题卡相应位置16已知数列an的首项为1，前n项和sn满足=+1（n2）（）求sn与数列an的通项公式；（）设bn=（nn*），求使不等式b1+b2+bn成立的最小正整数n【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（）通过数列的递推关系式，判断是等比数列，求出通项公式，然后求sn与数列an的通项公式；（）化简bn=（nn*），通过裂项法求使不等式b1+b2+bn，然后解不等式，即可求出不等式成立的最小正整数n【解答】解：（）因为=+1（n2），所以是首项为1，公差为1的等差数列，则=1+（n1）1=n，从而sn=n2当n=1时，a1=s1=1，当n1时，an=snsn1=n2（n1）2=2n1因为a1=1也符合上式，所以an=2n1（）由（）知bn=，所以b1+b2+bn=，由，解得n12所以使不等式成立的最小正整数为13【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想17已知函数f（x）=sinxcosxcos2x+（0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xf（x）01010（）请直接写出处应填的值，并求函数f（x）在区间，上的值域；（）abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知f（a+）=1，b+c=4，a=，求abc的面积【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦【专题】解三角形【分析】（）处应填入利用倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性周期性即可得出；（ii）利用三角函数的单调性、特殊角的三角函数值可得a，再利用余弦定理、三角形的面积计算公式即可得出【解答】解：（）处应填入=t=，即，从而得到f（x）的值域为（），又0a，得，由余弦定理得a2=b2+c22bccosa=（b+c）23bc，即，bc=3abc的面积【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题18甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）：甲8381937978848894乙8789897774788898（）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（）本次竞赛设置a、b两问题，规定：问题a的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题b的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题选手答题问题a，b成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（i）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，求出甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩以及方差；然后得到结论（）记事件c表示为“甲回答问题a成功”，事件d表示为“甲回答问题b成功”，则p（c）=，p（d）=，且事件c与事件d相互独立记甲按ab顺序获得奖品价值为，的分布列，甲按ba顺序获得奖品价值为，推出的分布列，分别求解期望，即可判断获得的奖品价值更高的选手【解答】解：（i）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为、，方差分别为、，因为，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加（ii）记事件c表示为“甲回答问题a成功”，事件d表示为“甲回答问题b成功”，则p（c）=，p（d）=，且事件c与事件d相互独立 记甲按ab顺序获得奖品价值为，则的可能取值为0，100，400p（=0）=p（）=，p（=100）=p（）=，p（=400）=p（cd）=即的分布列为：0100400p所以甲按ab顺序获得奖品价值的数学期望记甲按ba顺序获得奖品价值为，则的可能取值为0，300，400p（=0）=p（）=，p（=300）=p（）=，p（=400）=p（dc）=，即的分布列为：0300400p所以甲按ba顺序获得奖品价值的数学期望因为ee，所以甲应选择ab的答题顺序，获得的奖品价值更高【点评】本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想19如图，边长为2的正方形abcd绕ab边所在直线旋转一定的角度（小于180）到abef的位置（）求证：ce平面adf；（）若k为线段be上异于b，e的点，ce=2设直线ak与平面bdf所成角为，当3045时，求bk的取值范围【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）利用已知条件证明cedf，通过直线与平面平行的判定定理证明ce平面adf （）说明be平面abcd以b为原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面bdf的一个法向量 =（0，2，m），利用sin=，利用的范围，推出，推出，解得m的范围，即bk的取值范围【解答】解：（）证明：正方形abcd中，cdba，正方形abef中，efbaefcd，四边形efdc为平行四边形，cedf又df平面adf，ce平面adf，ce平面adf （）解：be=bc=2，ce=，ce2=bc2+be2bce为直角三角形，bebc，又beba，bcba=b，bc、ba平面abcd，be平面abcd 以b为原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则b（0，0，0），f（0，2，2），a（0，2，0），=（2，2，0），=（0，2，2）设k（0，0，m），平面bdf的一个法向量为=（x，y，z）由，得可取=（1，1，1），又=（0，2，m），于是sin=，3045，即结合0m2，解得0，即bk的取值范围为（0，4【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想20如图，椭圆c： +=1（ab0）的离心率e=，且椭圆c的短轴长为2（）求椭圆c的方程；（）设p，m，n椭圆c上的三个动点（i）若直线mn过点d（0，），且p点是椭圆c的上顶点，求pmn面积的最大值；（ii）试探究：是否存在pmn是以o为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）利用离心率以及短轴长，求出椭圆中a、b、c即可求椭圆c的方程；（）（i）由已知，直线mn的斜率存在，设直线mn方程为y=kx，m（x1，y1），n（x2，y2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，一弦长公式，推出面积spmn的表达式，通过换元，利用导数求出面积的最大值（ii）假设存在pmn是以o为中心的等边三角形（1）当p在y轴上时，推出与pmn为等边三角形矛盾（2）当p在x轴上时，同理推出与pmn为等边三角形矛盾（3）当p不在坐标轴时，设p（x0，y0），mn的中点为q，则kop=，通过o为pmn的中心，则得到设m（x1，y1），n（x2，y2），推出kmn，说明kopkmn=（）=1，因此op与mn不垂直，与等边pmn矛盾，得到不存在pmn是以o为中心的等边三角形【解答】解：（）由题意得解得a=2，b=1，所以椭圆方程为（）（i）由已知，直线mn的斜率存在，设直线mn方程为y=kx，m（x1，y1），n（x2，y2）由得（1+4k2）x24kx3=0，x1+x2=，x1x2=，又 所以spmn=|pd|x1x2|= 令t=，则t，k2=所以spmn=，令h（t）=，t，+），则h（t）=1=0，所以h（t）在，+），单调递增，则t=，即k=0时，h（t）的最小值，为h（）=，所以pmn面积的最大值为 （ii）假设存在pmn是以o为中心的等边三角形（1）当p在y轴上时，p的坐标为（0，1），则m，n关于y轴对称，mn的中点q在y轴上又o为pmn的中心，所以，可知q（0，），m（，），n（，）从而|mn|=，|pm|=，|mn|pm|，与pmn为等边三角形矛盾（2）当p在x轴上时，同理可知，|mn|pm|，与pmn为等边三角形矛盾 （3）当p不在坐标轴时，设p（x0，y0），mn的中点为q，则kop=，又o为pmn的中心，则，可知设m（x1，y1），n（x2，y2），则x1+x2=2xq=x0，y1+y2=2yq=y0，又x12+4y12=4，x22+4y22=4，两式相减得kmn=，从而kmn= 所以kopkmn=（）=1，所以op与mn不垂直，与等边pmn矛盾 综上所述，不存在pmn是以o为中心的等边三角形【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想21已知函数f（x）=lnx+ax2+b（a，br）（）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=1，求函数f（x）的单调区间；（）求证：对任意