2016高考数学总复习课时作业堂堂清平面向量.ppt

第三节平面向量的数量积 1 数量积的概念 1 向量的夹角 如图1 已知两个非零向量a和b 作则 AOB 0 180 叫做向量a与b的夹角 记作 a b 图1 2 数量积的定义 3 数量积的几何意义 数量积a b等于a的模与b在a方向上的投影 b cos 的乘积 已知两个非零向量a和b 它们的夹角 为 则数量 a b cos 叫做a与b的数量积 记作a b 即a b a b cos 2 数量积的性质 设e是单位向量 a e 1 2 3 4 5 e a a e a cos 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2或 a b a b 0 3 运算律 1 a b b a 2 a b a b a b 3 a b c a c b c 4 向量数量积的坐标运算 设a x1 y1 b x2 y2 则 1 a b x1x2 y1y2 1 若向量a与b的夹角为60 b 4 a 2b a 3b 72 则向量a的模是 A 2B 4C 6D 12解析 a 2b a 3b a 2 a b cos60 6 b 2 a 2 2 a 96 72 a 2 2 a 24 0 a 6 a 4 0 a 6 答案 C 答案 D 3 已知 a 1 b 2 c a b c a 则a与b的夹角大小为 解析 c a 则c a 0 即 a b a 0 即a2 a b a b a2 1 即 a b cos 1 答案 D 答案 2 答案 2 平面向量数量积的运算 例1 2009 全国卷 设a b c是单位向量 且a b 0 则 a c b c 的最小值为 分析 先由条件a b 0 知向量a与b垂直 要使 a c b c 的值取得最小 就要把 a c b c 表示为某个变量的函数 从而转化为求函数的最小值 答案 D 拓展提升 涉及直角或两直线垂直的问题均可利用a b 0建立等式 线段的长度相等问题均可以建立 a b a 2 b 2 a2 b2的等式来解决 1 在直角三角形ABC中 C 90 AB 5 AC 4 求 2 若a 3 4 b 2 1 试求 a 2b 2a 3b 2 解法1 a 2b 3 4 2 2 1 1 6 2a 3b 2 3 4 3 2 1 12 5 a 2b 2a 3b 1 12 6 5 18 解法2 a 2b 2a 3b 2a2 a b 6b2 2 32 4 2 3 2 4 1 6 22 12 18 利用平面向量的数量积解决夹角 长度问题 拓展提升 本题的突破点是把CCCCCC转化到向量的数量积 进而求夹角 使三个角相等 从而得证 2009 安徽高考 给定两个长度为1的平面向量 它们的夹角为120 如图2所示 点C在以O为圆心的圆弧上变动 若 其中x y R 则x y的最大值是 图2 解析 1 x2 y2 2xycos120 1 3xy x y 2 1 3 2 x y 2 4 x y的最大值是2 答案 2 利用平面向量的数量积解决垂直问题 例3 1 点O是三角形ABC所在平面内一点 满足 则点O是 ABC的 A 内心B 外心C 重心D 垂心 2 O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 0 则P点的轨迹一定通过 ABC的 A 重心B 垂心C 内心D 外心 答案 1 D 2 B 设向量a b c满足a b c 0 a b c a b 若 a 1 则 a 2 b 2 c 2的值是多少 解 平面向量数量积的综合问题 例4 2009 宁夏 海南高考 已知点O N P在 ABC所在平面内 且则点O N P依次是 ABC的 A 重心 外心 垂心B 重心 外心 内心C 外心 重心 垂心D 外心 重心 内心 分析 要判定O N P是 ABC的什么心 就是要根据条件和三角形重心 外心 内心 垂心的定义和平面向量的有关知识分析点O N P在三角形ABC中的位置 答案 C 拓展提升 本题主要考查三角形的重心 外心 内心 垂心的含义和平面向量模的几何意义 向量的线性运算的几何意义及向量数量积的几何意义等有关知识 考查数形结合的数学思想 2009 浙江高考 设向量a b满足 a 3 b 4 a b 0 以a b a b的模为边长构成三角形 则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 A 3B 4C 5D 6解析 因为a b 0 所以a b 又 a 3 b 4 所以 a b 5 不难得到此三角形的内切圆的半径为1 外接圆的半径为 借助图形分析 以a b a b的模为边长构成三角形的边与半径为1的圆的公共点个数最多为4个 不可能为5或6个 答案 B 1 掌握平面向量数量积的概念及几何意义 理解两个向量的数量积是一个数量 其大小与两个向量的长度及夹角有关 数量a b等于a的长度 a 与b在a方向上的投影 b cos 乘积 2 关于数量积的运算律 一定要注意以下几点 若a 0 则a b 0 但是a b 0 不能得到a 0或b 0 因为a b时a b 0 若a c 则a b c b 但是由a b c b 不能得到a c 即消去律不成立 a b c a b c 因为 a b c与c平行 a b c 与a平行 一般地a c不共线 故 a b c a b c 3 关于数量积的应用根据数量积的定义与运算律 可以看到数量积在