江苏省丹阳市八年级数学上册 四边形（二） 课件 苏科版.ppt

四边形 二 考点说明 掌握等腰梯形的性质与识别方法 会运用它们进行有关计算与证明 进一步理解平行四边形与菱形 矩形 正方形之间的关系 运用平行四边形 菱形 矩形 正方形的有关特征及识别方法进行有关证明及计算 一 知识回顾 1 等腰梯形的性质等腰梯形的对角线相等等腰梯形的同一底上的两个底角相等2 三角形 梯形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半梯形的中位线平行于上下两底 并且等于上下两底和的一半注意梯形的中位线是指连结梯形两腰中点的线段而不是连结梯形两底中点的线段 1 已知 在梯形abcd中 ad bc b c求证 ab dc 你能用几种方法 二 练一练 这种添辅助线的目的是通过平移把 b c集中在一个等腰三角形中 再利用其他条件推理 得出结论 证法1 过a点作ae dc 交bc于e 证法2 分别过a d作ae bc df bc 垂足为e f 证 abe dcf aas 这种添辅助线目的是利用两条平行线之间的距离相等 证明两三角形全等 证法3 延长ba cd 使它们相交于o点 b c ob oc ad bc oad b oda c oad oda oa od ab dc这种添辅助线的目的是充分利用梯形上下底平行的条件 推出同位角相等 再利用等量关系进一步一推出结论 除了以上介绍的3种方法外 有关梯形问题中的证明 计算 还可利用对角线 腰的中点添辅助线 2 已知 在梯形abcd中 ab cd e是bc中点 且ab dc ad 求证 ae ed 3 已知 梯形abcd ab dc ac bd交于e点 求证 s aed s bec 分析 在梯形中 要熟练掌握3对等积形 即s adc s bdc s abd s abc 这两对分别是同底等高的三角形 还有一对是通过等式的性质推出的等积形 即s aed s bec 例1 如图所示 在梯形abcd中 ab cd c d 90 e f为ab cd 的中点 求证 cd ab 2ef 提示 作em ad交cd于m en bc交cd于n 利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 解决 等腰 梯形问题经常要根据条件添加辅助线 把梯形转化为平行四边形或三角形问题解决 使一些分散的条件适当集中 再进行解答 学习过程中要注意积累 例2 将正方形的四个顶点用线段连接 什么样的连法最短 研究发现 并非对角线最短 而是如下图的连法最短 即用线段ae de ef cf bf把四个顶点连接起来 已知图中 dae ade 30 aef bfe 120 你能证明此时ab ef吗 答案 能 证明 四边形abcd是正方形 已知 dab 90 正方形的性质 dae 30 已知 eab 60 等式性质 aef 120 已知 aef eab 120 60 180 等式的性质 ab ef 同旁内角互补 两直线平行 例3 05山东潍坊市实验区 如图 在直角坐标系中 将矩形oabc沿ob对折 使点a落在点a1处 已知 ab 1 则点a1的坐标是 a 应用1 05济南实验区 如图 已知 abcd中 e为ad的中点 ce的延长线交ba的延长线于点f 求证 cd fa 若使 f bcf abcd的边长之间还需再添加一个什么条件 请你补上这个条件 并进行证明 不要再增添辅助线 1 cde fae asa或aas 2 bc 2cd 2 如图所示 正方形abcd e在bc上 af平分 ead交cd于f 求证 ae be df 提示 延长eb到g 使bg df 连结ag 因为 g gab 90 而 agb afd所以 fad eaf gab所以 gae baf 而 baf fad 90 所以 gae gab 90 所以 g gae 所以ge ae be df 3 05枣庄实验 如下左图 四边形abcd是等腰梯形 ab dc 由4个这样的等腰梯形可以拼出右图所示的平行四边形 1 求四边形abcd四个内角的度数 2 试探究四边形abcd四条边之间存在的等量关系 并说明理由 3 现有左图中的等腰梯形若干个 利用它们你能拼出一个菱形吗 若能 请你画出大致的示意图 解 1 如图 1 2 3 1 2 3 360 所以3 1 360 即 1 120 所以梯形的上底角均为120 下底角均为60 2 由于ef既是梯形的腰 又是梯形的上底 所以梯形的腰等于上底 连接mn 则 fmn fnm 30 从而 hmn 30 hnm 90 所以nh 1 2mh 因此 梯形的上底等于下底的一半 且等于腰长 3 能拼出菱形 如图 拼法不唯一 4 05山东临沂市实验区 如图 l 已知正方形abcd的对角线ac bd相交于点o e是ac上一点 连结eb 过点a作am be 垂足为m am交bd于点f 1 求证 oe of 2 如图 2 若点e在ac的延长线上 am be于点m 交db的延长线于点f 其它条件不变 则结论 oe of 还成立吗 如果成立 请给出证明 如果不成立 请说明理由 1 证明 四边形abcd是正方形 boe aof 900 ob oa又 am be mea mae 900 afo mae mea afo rt boe rt aof oe of 2 oe of成立证明 四边形abcd是正方形 boe aof 900 ob oa又 am be f mbf 900 e obe又 mbf obe f e rt boe r