高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质课件 理 新人教A版.ppt

第4讲直线 平面垂直的判定与性质 最新考纲1 以立体几何的有关定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直 面面垂直的有关性质与判定定理 并能够证明相关性质定理 2 能运用线面垂直 面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 知识梳理 1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面 内的直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意 2 判定定理与性质定理 两条相交直线 平行 l a l b a b a b 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 2 判定定理与性质定理 垂线 交线 l l a l a l 4 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 过二面角棱上的任一点 在两个半平面内分别作与棱 的射线 则两射线所成的角叫做二面角的平面角 两个半平面 垂直 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 1 直线l与平面 内无数条直线都垂直 则l 2 过一点作已知直线的垂面有且只有一个 3 若两条直线垂直 则这两条直线相交 4 若两平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 5 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 2 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析若 因为 m b b m 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b 又a 所以a b 反过来 当a m时 因为b m 且a m共面 一定有b a 但不能保证b 所以不能推出 故选a 答案a 3 2015 浙江卷 设 是两个不同的平面 l m是两条不同的直线 且l m a 若l 则 b 若 则l mc 若l 则 d 若 则l m 解析由面面垂直的判定定理 可知a选项正确 b选项中 l与m可能平行 c选项中 与 可能相交 d选项中 l与m可能异面 答案a 答案b 5 人教a必修2p67练习2改编 在三棱锥p abc中 点p在平面abc中的射影为点o 1 若pa pb pc 则点o是 abc的 心 2 若pa pb pb pc pc pa 则点o是 abc的 心 解析 1 如图1 连接oa ob oc op 在rt poa rt pob和rt poc中 pa pc pb 所以oa ob oc 即o为 abc的外心 图1图2 2 如图2 pc pa pb pc pa pb p pc 平面pab ab 平面pab pc ab 又ab po po pc p ab 平面pgc 又cg 平面pgc ab cg 即cg为 abc边ab的高 同理可证bd ah为 abc底边上的高 即o为 abc的垂心 答案 1 外 2 垂 考点一线面垂直的判定与性质 例1 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 cd ae 2 pd 平面abe 证明 1 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd cd 平面abcd pa cd 又 ac cd 且pa ac a cd 平面pac 而ae 平面pac cd ae 2 由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中点 ae pc 由 1 知ae cd 且pc cd c ae 平面pcd 而pd 平面pcd ae pd pa 底面abcd ab 平面abcd pa ab 又 ab ad 且pa ad a ab 平面pad 而pd 平面pad ab pd 又 ab ae a pd 平面abe 规律方法 1 证明直线和平面垂直的常用方法 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的核心是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 3 线面垂直的性质 常用来证明线线垂直 考点二面面垂直的判定与性质 例2 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd和pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 2 be 平面pad 3 平面bef 平面pcd 证明 1 平面pad 平面abcd ad 又平面pad 平面abcd 且pa ad pa 平面pad pa 底面abcd 2 ab cd cd 2ab e为cd的中点 ab de 且ab de 四边形abed为平行四边形 be ad 又 be 平面pad ad 平面pad be 平面pad 3 ab ad 且四边形abed为平行四边形 be cd ad cd 由 1 知pa 底面abcd cd 平面abcd 则pa cd 又pa ad a cd 平面pad 又pd 平面pad 从而cd pd 又e f分别为cd cp的中点 ef pd 故cd ef 由ef be在平面bef内 且ef be e cd 平面bef 又 cd 平面pcd 平面bef 平面pcd 规律方法 1 证明平面和平面垂直的方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 2 已知两平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 考点三直线 平面垂直的综合应用 1 设m是pc上的一点 求证 平面mbd 平面pad 2 求四棱锥p abcd的体积 规律方法平行 垂直关系综合题的类型及解法 1 三种垂直的综合问题 一般通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 垂直与平行结合问题 求解时应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 3 垂直与体积结合问题 在求体积时 可根据线面垂直得到表示高的线段 进而求得体积 训练3 2015 江苏卷 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 已知ac bc bc cc1 设ab1的中点为d b1c bc1 e 求证 1 de 平面aa1c1c 2 bc1 ab1 证明 1 由题意知 e为b1c的中点 又d为ab1的中点 因此de ac 又因为de 平面aa1c1c ac 平面aa1c1c 所以de 平面aa1c1c 2 因为棱柱abc a1b1c1是直三棱柱 所以cc1 平面abc 因为ac 平面abc 所以ac cc1 又因为ac bc cc1 平面bcc1b1 bc 平面bcc1b1 bc cc1 c 所以ac 平面bcc1b1 又因为bc1 平面bcc1b1 所以bc1 ac 因为bc cc1 所以矩形bcc1b1是正方形 因此bc1 b1c 因为ac b1c 平面b1ac ac b1c c 所以bc1 平面b1ac 又因为ab1 平面b1ac 所以bc1 ab1 考点四线面角 二面角的求法 例4 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 求pb和平面pad所成的角的大小 2 证明 ae 平面pcd 3 求二面角a pd c的正弦值 1 解在四棱锥p abcd中 因pa 底面abcd ab 平面abcd 故pa ab 又ab ad pa ad a 从而ab 平面pad 故pb在平面pad内的射影为pa 从而 apb为pb和平面pad所成的角 在rt pab中 ab pa 故 apb 45 所以pb和平面pad所成的角的大小为45 2 证明在四棱锥p abcd中 因pa 底面abcd cd 平面abcd 故cd pa 由条件cd ac pa ac a cd 平面pac 又ae 平面pac ae cd 由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中点 ae pc 又pc cd c 综上得ae 平面pcd 3 解过点e作em pd 垂足为m 连接am 如图所示 由 2 知 ae 平面pcd am在平面pcd内的射影是em 则am pd 因此 ame是二面角a pd c的平面角 由已知 可得 cad 30 规律方法求线面角 二面角的常用方法 1 线面角的求法 找出斜线在平面上的射影 关键是作垂线 找垂足 要把线面角转化到一个三角形中求解 2 二面角的大小求法 二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的作法常见的有 定义法 垂面法 注意利用等腰 等边三角形的性质 训练4 2016 天津模拟 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中点 作ef pb交pb于点f 1 证明pa 平面edb 2 证明pb 平面efd 3 求二面角c pb d的大小 1 证明如图所示 连接ac ac交bd于o 连接eo 底面abcd是正方形 点o是ac的中点 在 pac中 eo是中位线 pa eo 而eo 平面edb且pa 平面edb pa 平面edb 思想方法 1 三类论证 1 证明线线垂直的方法 定义 两条直线所成的角为90 平面几何中证明线线垂直的方法 线面垂直的性质 a b a b 线面垂直的性质 a b a b 2 证明线面垂直的方法 线面垂直的定义 a与 内任何直线都垂直 a 2 转化