中考题中与三角形有关的综合题.doc

中考题中与三角形有关的综合题类型一：构造法添加辅助线1如图1，已知BD平分ABC，AC=BC，C=90，AEBD于E，判断AE与BD的数量关系并证明.思路点拨： 题中BD平分ABC，且BDAE，由此可以构造等腰三角形延长AE，与BC延长线交于点O.易证ABEOBE ，可知ABO是等腰三角形，AO=2AE，而可证AOCBDC，知AO=BD，进而知道BD=2AE解析：BD=2AE，证明如下： 延长AE，与BC延长线交于点O，如图2BD平分ABC，2=3.AEBD于E，AEB=OEB=90.在ABE和OBE中，图 2ABEOBE（ASA）AE=OE， AO=2AE.C=90 ACO=BCD=90，1+O=902+O=90， 1=2在AOC和BDC中AOCBDC（ASA）AO=BDBD=2AE.总结升华：这种构造方法是一种常见的添加辅助线的方法2如图3，在ABC中，A=90，AB=AC，D为AC的中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，求证：ADB=CDF 思路点拨：（1）ADB与CDF这两个角不在任一对全等三角形中，因此直接证很困难，我们可以考虑构造全等三角形，而且这两个三角形要含有ADB和CDF在CDF中，C=45,因此另一个三角形中必含有45角过A作AO BC于O，与BD交于点M，易证ABMCAF，AM=CF，接下来只须证AMDCFD即可（2）我们也可以将角进行转换，由已知AB=AC分析，可过C作CGAC交AF延长线于G，就可以构造ACGBAD，ADB=G，接下来只需证CDFCGF，得G=CDF即可解析：（法一）过A作AOBC于O，与BD交于点M，如图42+BAE=90，3+BAE=902=31=C=45，AB=AC在ABM和CAF中ABMCAF(ASA) 图 4AM=CFMAD=C=45，AD=CD在AMD和CFD中AMDCFD(SAS)ADB=CDF.（法二）过C作CGAC交AF延长线于G，如图5ACG=BAD=902+1=90，3+1=902=3在ACG和BAD中，ACGBAD（ASA）G=ADB，CG=AD 图 5D为AC中点，AD=CD， CG=CDBAC=90，AB=AC，ACG=90 FCG=DCF=45在CDF和CGF中CDFCGF（SAS）G=CDF ，ADB=CDF.总结升华：当题目中的结论在现有图形中难以解决时，我们自然会考虑添加辅助线，而构造全等三角形来转化线段或角是我们常用的方法之一类型二：在变化的图中探究同一类问题这类问题往往是方法的延续，而第一问是很容易入手的，因此对比第一问，利用第一问的方法就可以解决后面的问题 3（1）如图6，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；（2）如图7，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.思路点拨：（1）中的求解方法很多，但考虑到与（2）的联系，就需要有很强的识图能力，而题目中已知的角只有60，因此应该让AEB与之建立联系观察到图中含有“8”字形图，如图8，A+O=E+B，而由已知易证AOCBOD，OAC=OBD，因此AEB=AOB=60解析：（1）在等边三角形OAB和等边三角形OCD中， OC=OD，OA=OB，AOB=COD=60， AOB+BOC=COD+BOC，即AOC=BOD 在AOC和BOD中在AOC和BOD中 AOCBOD（SAS） OAC=OBD 1=OAC+AOB=OBD+AEB AEB=AOB=60 （2）同（1）可证AEB=AOB=604（1）如图10，在RtABC中，ACBC，ACB90，M为AB中点，AF=CE，请判断MEF的形状. （2）已知：如图11在RtABC中, AC=BC, C=90，点D为AB上任一点，DFAC于F， DEBC于E，M为BC的中点. 判断MEF是什么形状的三角形并证明你的结论. 当点D在AB上运动时，四边形FMEC的面积是否会改变,并证明你的结论 当点D在BA的延长线上运动时，如图12，中的结论还成立吗？思路点拨：在等腰三角形中，M为底边AB的中点，连结CM是常用的辅助线解析：（1）MEF是等腰直角三角形（2）MEF是等腰直角三角形理由如下： 连结CM，如图13 DFAC于F， DEBC于E，ACB=90 四边形CEDF为长方形，DF=CE 在RtABC中，ABAC，ACB90， M为AB中点， A=1=45，CMAB， AM=BM=CM 在RtADF中，A=45 AF=DF，AF=CE 在AMF和CME中 AMFCME（SAS） MF=ME，2=3 2+CMF=90，3+CMF=90，即EMF=90 MEF是等腰直角三角形当点D在AB上运动时，四边形FMEC的面积不会改变，证明如下： 由可知，AMFCME，SAMF=SCME SACM=SBCM，SCMF=SBME， S四边形FMEC=SCMF+ SCME=SABC 四边形FMEC的面积不会改变成立，理由如下：连结CM，如图14 DFAC于F， DEBC于E，ACB=90 四边形CEDF为长方形，DF=CE 在RtABC中，ACBC，ACB90，M为AB中点， BAC=1=45，CMAB，AM=BM=CM MAF=MCE=135 在RtADF中，DAF=BAC=45 AF=DF，AF=CE 在AMF和CME中 AMFCME（SAS） MF=ME，AMF=CME CME+AME=90，AMF+AME=90，即EMF=90 MEF是等腰直角三角形总结升华：对比（2）中的与，都是先证明四边形CEDF是长方形，从而得到AF=CE，接着证AMFCME，得到MF=ME，且EMF=90，可以看出这两问的证明思路大体上是相同的也就是说，在这类问题中，可以通过第一问的解决来推测下面问题的推理方法，从而达到解题的目的举一反三【变式1】已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图15），易证当绕点旋转到时，在图16和图17这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明【答案】图16，延长EA到O，使得OA=CF，连结OB，易证ABOCBF，OB=BF，进而证明BEFBEO，即可得到EF=AE+CF图17中，在AE中取一点O，使得OA=CF，连结OB，易证ABOCBF ，OB=BF，进而证明BEFBEO，即可得到EF=AE-CF【变式2】已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的