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矩阵乘法AB BA成立的两个充要条件与一个充分条件 主讲 刘媛媛 我们知道 矩阵的乘法不满足交换律 即在一般的情况下 AB BA 这就是说矩阵乘法AB BA成立是有条件的 比如 对于n阶矩阵A B中任意一个为n阶单位矩E时 矩阵乘法A A总是成立的 当A B为一般的n阶矩阵时 矩阵乘法AB BA成立的条件时什么呢 为此 我做了一些探讨 得到矩阵乘法AB BA成立的两个充要条件和一个充分条件 一两个充要条件 定理1若A B都是n阶可逆矩阵 则矩阵乘法AB BA成立的充要条件是证必要性由已知条件AB BA 两端分别取逆矩阵 得 充分性由已知条件 得 存在且唯一 由矩阵运算性质 有 于是 又 两端取逆矩阵 即得AB BA 定理2设A B都是n阶矩阵 则矩阵乘法AB BA成立的充要条件是 证必要性由已知条件AB BA 两端分别取它们的转置 得 2 又 故 充分性又矩阵运算性质 及已知条件 即得 两端分别取它们的转置 得AB BA 二一个充分条件 定理3若A B都是n阶可逆矩阵 并且满足关系式 3 其中I为n阶单位矩阵 为任意实数 则AB BA 证当 0时 3 式变为A AB 从而有结论显然成立 当为任意非零实数时 因为已知A B可逆 所以A I也是可逆的 由 3 式 得 4 根据矩阵运算性质 由 3 4 两式 可得 又故根据上述定理2 知
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