湖南省醴陵二中高一数学 立体几何专题复习课件.ppt

第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图 第九单元立体几何 基础梳理 1 多面体 1 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面所围成的多面体叫做棱柱 2 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的多面体叫做棱锥 3 用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥 底面和截面之间的这部分多面体叫做棱台 2 旋转 1 以矩形的一边所在的直线为旋转轴 其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 2 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴 其余两边旋转形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥 3 以半圆的直径所在的直线为旋转轴 将半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体 简称球 3 三视图和直观图 1 三视图是从一个几何体的正前方 正左方 正上方三个不同的方向看这个几何体 描绘出的图形 分别称为正视图 侧视图 俯视图 2 三视图的排列顺序 先画正视图 俯视图放在正视图的下方 侧视图放在正视图的右方 3 三视图的三大原则 长对正 高平齐 宽相等 4 水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法 在已知图形中 取互相垂直的x轴和y轴 两轴相交于点o 画直观图时 把它们画成对应的x 轴和y 轴 两轴相交于o 且使 x o y 45 或135 用它们确定的平面表示水平面 已知图形中平行于x轴或y轴的线段 在直观图中 分别画成平行于x 轴或y 轴的线段 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于y轴的线段 在直观图中长度变为原来的一半 典例分析 题型一空间几何体的结构特征 例1 根据下列对几何体结构特征的描述 说出几何体的名称 1 由八个面围成 其中两个面是互相平行且全等的正六边形 其他各面都是矩形 2 一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180 形成的封闭曲面所围成的图形 3 一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体 分析要判断几何体的类型 从各类几何体的结构特征入手 以柱 锥 台的定义为依据 把复杂的几何体分割成几个简单的几何体 解 1 如图1所示 该几何体满足有两个面平行 其余六个面都是矩形 可使每相邻两个面的公共边都互相平行 故该几何体是正六棱柱 2 如图2所示 等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形 每个直角梯形旋转180 形成半个圆台 故该几何体为圆台 3 如图3所示 由梯形abcd的顶点a引ao cd于o点 将直角梯形分为一个直角三角形aod和矩形aocb 绕cd旋转一周形成一个组合体 该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成 图1图2图3 学后反思对于不规则的平面图形绕轴旋转问题 要对原平面图形作适当的分割 再根据圆柱 圆锥 圆台的结构特征进行判断 解析 1 是一个四棱柱和一个四棱锥组成的 它有9个面 9个顶点 16条棱 2 是由一个四棱台 一个四棱柱和一个球组成的 其主要结构特征就是相应四棱台 四棱柱和球的结构特征 题型二柱 锥 台中的计算问题 例2 正四棱台的高是17cm 两底面边长分别是4cm和16cm 求棱台的侧棱长和斜高 分析求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形 然后构造直角三角形 解决问题 解如图所示 设棱台的两底面的中心分别是 o 和bc的中点分别是和e 连接 ob oe 则四边形和都是直角梯形 4cm ab 16cm 2cm oe 8cm 2cm ob 8cm 19cm 棱台的侧棱长为19cm 斜高为cm 学后反思 1 把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何问题的常用方法 2 找出相关的直角梯形 构造直角三角形是解题的关键 正棱台中许多元素都可以在直角梯形中求出 举一反三2 2009 上海 若等腰直角三角形的直角边长为2 则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是 解析如图 等腰直角三角形旋转而成的旋转体为圆锥 v s h h 2 答案 题型三三视图与直观图 例3 螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体 如下图 画出它的三视图 分析螺栓是棱柱 圆柱组合而成的 按照画三视图的三大原则 长对正 高平齐 宽相等 画出 解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的 正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面 侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面 俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆 中心重合 它的三视图如下图 学后反思在绘制三视图时 若相邻两物体的表面相交 表面的交线是它们的分界线 在三视图中 分界线和可见轮廓线都用实线画出 例如上图中 表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段ab 侧视图中的线段cd以及俯视图中的圆 举一反三3 2008 广东 将正三棱柱截去三个角 如图1所示 a b c分别是 ghi三边的中点 得到几何体如图2 则该几何体按图2所示方向的侧视图为 解析由正三棱柱的性质得 侧面aed 底面efd 则侧视图必为直角梯形 且线段be在梯形内部 答案a 题型四几何体的直观图 例4 12分 用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图 分析画水平放置的直观图应遵循以下原则 1 坐标系中 x o y 45 2 横线相等 即a b ab c d cd 3 竖线是原来的 即o e oe 画法 1 如图1 取ab所在直线为x轴 ab中点o为原点 建立直角坐标系 3 画对应的坐标系x o y 使 x o y 45 5 2 以o 为中点在x 轴上取a b ab 在y 轴上取o e oe 以e 为中点画c d x 轴 并使c d cd 10 3 连接b c d a 所得的四边形a b c d 就是水平放置的等腰梯形abcd的直观图 如图2 12 图1图2 学后反思在原图形中要建立适当的直角坐标系 一般取图形中的某一横线为x轴 对称轴为y轴 或取两垂直的直线为坐标轴 原点可建在图形的某一顶点或对称中心 中点等 坐标系建得不同 但画法规则不变 关键是画出平面图形中相对应的顶点 举一反三4 如图所示 矩形o a b c 是水平放置的一个平面图形的直观图 其中o a 6cm o c 2cm 则原图形是 a 正方形b 矩形c 菱形d 一般的平行四边形 解析 在直观图中 平行于x轴的边的长度不变 平行于y轴的边的长度变为原来的 原图中 oa 6cm od 4cm oc 6cm bc ab 6cm 原图形为菱形 答案c 易错警示 例 画出如图1所示零件的三视图 错解图1的零件可看做是一个半圆柱 一个柱体 一个圆柱的组合 其三视图如图2 图1图2 错解分析错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线 画图时应画出其交线 正解 考点演练 10 2010 潍坊模拟 如图 已知正四棱台abcd 的上底面边长为1 下底面边长为2 高为1 则线段的长是 解析连接上底面对角线的中点和下底面bd的中点o 得棱台的高 过点作的平行线交bd于点e 连接ce 在 bce中 由bc 2 be cbe 45 利用余弦定理可得ce 故在rt 中易得答案 11 圆台的两底面半径分别为5cm和10cm 高为8cm 有一个过圆台两母线的截面 且上 下底面中心到截面与两底面交线的距离分别为3cm和6cm 求截面面积 解析如图所示截面abcd 取ab中点f cd中点e 连接of ef oa 则为直角梯形 abcd为等腰梯形 ef为梯形abcd的高 在直角梯形中 cm 在rt 中 cm 同理 cm 12 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍 轴截面的面积等于392 母线与轴的夹角是45 求这个圆台的高 母线长和两底面半径 解析圆台的轴截面如图所示 设圆台上 下底面半径分别为xcm 3xcm 延长交的延长线于s 在rt soa中 aso 45 则 sao 45 so ao 3x x 2x 又 x 7 故圆台的高 14cm 母线长 14cm 两底面半径分别为7cm 21cm 第二节空间几何体的表面积与体积 基础梳理 1 柱体 锥体 台体的侧面积 就是各侧面面积之和 表面积是各个面的面积之和 即侧面积与底面积之和 2 把柱体 锥体 台体的面展开成一个平面图形 称为它的展开图 它的表面积就是展开图的面积 3 圆柱 圆锥 圆台的侧面积及表面积 4 柱 锥 台体的体积这是柱体 锥体 台体统一计算公式 特别地 圆柱 圆锥 圆台还可以分别写成 5 球的体积及球的表面积设球的半径为r 典例分析 题型一几何体的表面积问题 例1 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm 且其侧面积等于两底面面积之和 求棱台的高 分析要求正棱台的高 首先要画出正棱台的高 使其包含在某一个特征直角梯形中 转化为平面问题 由已知条件列出方程 求解所需的几何元素 解如图所示 正三棱台abc 中 o 分别为两底面中心 d 分别为bc和中点 则为棱台的斜高 设 20 ab 30 则od 5 由 得 在直角梯形中 棱台的高为4cm 学后反思 1 求解有关多面体表面积的问题 关键是找到其特征几何图形 解决旋转体的表面积问题 要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图 2 借助于平面几何知识 利用已知条件求得所需几何要素 举一反三1 圆台侧面的母线长为2a 母线与轴的夹角为30 一个底面的半径是另一个底面半径的2倍 求两底面的半径与两底面面积之和 解析如图 设圆台上底面半径为r 则下底面半径为2r aso 30 在rt so a 中 sin30 sa 2r 在rt soa中 sin30 sa 4r sa sa aa 即4r 2r 2a r a 圆台上底面半径为a 下底面半径为2a 两底面面积之和为 题型二几何体的体积问题 例2 已知四棱台两底面均为正方形 边长分别为4cm 8cm 侧棱长为8cm 求它的侧面积和体积 分析由题意知 需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高 然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论 解如图 设四棱台的侧棱延长后交于点p 则 pbc为等腰三角形 取bc中点e 连接pe交于点 则pe bc e为侧面等腰梯形的高 作po 底面abcd交上底面于点 连接 oe 在 p和 pbc中 为pb的中点 为pe的中点 在rt peb中 在rt poe中 学后反思 1 求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的 特征直角三角形 和 特征直角梯形 它们是架起 求积 关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的 桥梁 2 平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题 通常是 还台为锥 而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解 还台为锥 借助于轴截面 将空间问题转化为平面问题 求出相关数据 进行计算 还台为锥 是解决棱台问题的重要方法和手段 举一反三2 如图 在多面体abcdef中 已知四边形abcd是边长为1的正方形 且 ade bcf均为正三角形 ef ab ef 2 则该多面体的体积为 解析如图 分别过a b作ef的垂线 垂足分别为g h 连接dg ch 易求得eg hf ag gd bh hc 答案 题型三组合体的体积和表面积问题 例3 12分 如图 在等腰梯形abcd中 ab 2dc 2 dab 60 e为ab的中点 将 ade与 bec分别沿ed ec向上折起 使a b重合 求形成三棱锥的外接球的体积 分析易知折叠成的几何体为棱长为1的正四面体 欲求外接球的体积 求其外接球半径即可 解由已知条件知 在平面图形中 ae eb bc cd da de ec 1 1 所以折叠后得到一个正四面体 方法一 如图 作af 面dec 垂足为f f即为 dec的中心 3 取ec中点g 连接dg ag 过外接球球心o作oh 面aec 则垂足h为 aec的中心 5 外接球半径可利用 oha gfa求得 ag ah ag af 7 在 afg和 aho中 根据三角形相似可知 10 外接球体积为 12 方法二 如图 把正四面体放在正方体中 显然 正四面体的外接球就是正方体的外接球 4 正四面体棱长为1 正方体棱长为 6 外接球直径2r 10 r 体积为 12 学后反思 1 折叠问题是高考经常考查的内容之一 解决这类问题要注意对翻折前后线线 线面的位置关系 所成角及距离加以比较 一般来说 位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置的关系和数量关系在翻折前后不发生变化 分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系则发生变化 不变量可结合原图形求证 变化量应在折后立体图形中求证 对某些翻折不易看清的元素 可结合原图形去分析 计算 即将空间问题转化为平面问题 2 由方法二可知 有关柱 锥 台 球的组合体 经常是把正方体 长方体 球作为载体 去求某些量 解决这类问题 首先要把这些载体图形的形状 特点及性质掌握熟练 把问题进行转化 使运算和推理变得更简单 体现了转化思想是立体几何中一个非常重要的思想方法 举一反三3 已知正四棱锥的底面边长为a 侧棱长为a 求它的外接球的体积 解析设外接球的半径为r 球心为o 则oa oc os 所以o为 sac的外心 即 sac的外接圆半径就是外接球的半径 ab bc a ac a sa sc ac a sac为正三角形 由正弦定理 得 易错警示 涉及组合体问题 关键是正确地作出截面图形 把立体几何问题转化为平面问题进行解决 解此类问题时往往因不能正确地作出截面图形而导致错误 例 已知球的内接正方体的体积为v 求球的表面积 错解分析过球内接正方体的一个对角面作球的大圆截面 得到一个矩形 矩形的对角线长为x 不是x 错解如图所示 作圆的内接正方形表示正方体的截面 设正方体的棱长为x 球半径为r 则有 v x 2r 解得 正解如图所示 过正方体的对角面作球的大圆截面 设正方体的棱长为x 球半径为r 则有 v x 2r 解得 考点演练 10 2009 辽宁 设某几何体的三视图如下 长度单位为m 求该几何体的体积 解析三视图所对应的立体图形如图所示 由题意可得平面pac 平面abc v 4 3 2 4 11 如图 一个三棱柱形容器中盛有水 且侧棱 8 若侧面水平放置时 液面恰好过ac bc 的中点 当底面abc水平放置时 液面高为多少 解析当侧面水平放置时 水的形状为四棱柱形 底面abfe为梯形 设 abc的面积为s 则 当底面abc水平放置时 水的形状为三棱柱形 设水面高为h 则有 sh 6s sh h 6 故当底面abc水平放置时 液面高为6 12 2009 广东改编 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示 墩的上半部分是正四棱锥p efgh 下半部分是长方体abcd efgh 图2 图3分别是该标识墩的正视图和俯视图 1 请画出该安全标识墩的侧视图 2 求该安全标识墩的体积 图1图2图3 解析 1 侧视图同正视图 如图2所示 2 该安全标识墩的体积为 第三节空间点 直线 平面之间的位置关系 基础梳理 1 平面的基本性质 2 空间直线与直线的位置关系 1 位置关系相交共面 共面与否平行异面一个公共点 相交 公共点个数平行无公共点异面 2 公理4 平行公理 平行于同一直线的两条直线互相平行 3 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 4 异面直线的夹角 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任意一点o作直线a a b b 我们把两相交直线a b 所成的角叫做异面直线a b所成的角 或夹角 范围 0 特别地 如果两异面直线所成的角是 我们就称这两条直线垂直 记作a b 3 空间中的直线与平面的位置关系直线在平面内 有无数个公共点直线与平面相交 有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行 无公共点4 平面与平面的位置关系平行 无公共点相交 有且只有一条公共直线 典例分析 题型一点 线 面的位置关系 例1 下列命题 空间不同三点确定一个平面 有三个公共点的两个平面必重合 空间两两相交的三条直线确定一个平面 三角形是平面图形 平行四边形 梯形 四边形都是平面图形 垂直于同一直线的两直线平行 一条直线和两平行线中的一条相交 也必和另一条相交 两组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是 分析根据公理及推论作判断 解由公理2知 不共线的三点才能确定一个平面 所以命题 均错 中有可能出现两平面只有一条公共线 当这三个公共点共线时 空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点 若为三个交点 则这三线共面 若只有一个交点 则可能确定一个平面或三个平面 正确 中平行四边形及梯形由公理2的推论及公理1可得必为平面图形 而四边形有可能是空间四边形 如图 在正方体abcd a b c d 中 直线bb ab bb bc 但ab与bc不平行 所以 错 ab cd bb ab b 但bb 与cd不相交 所以 错 四边形ad b c中 ad d b b c ca 但它不是平行四边形 所以 也错 学后反思平面性质的三个公理及其推论是论证线面关系的依据 在判断过程中要注意反例和图形的应用 举一反三 1 给出下列命题 如果平面 与平面 相交 那么它们只有有限个公共点 经过空间任意三点的平面有且只有一个 如果两个平面有三个不共线的公共点 那么这两个平面重合为一个平面 不平行的两直线必相交 其中正确命题的序号为 解析由公理3知 错 由公理2知 错 对 不平行的两直线可能异面 故 错 答案 题型二证明三点共线 例2 已知 abc的三个顶点都不在平面 内 它的三边ab bc ac延长后分别交平面 于点p q r 求证 p q r三点在同一条直线上 分析要证明p q r三点共线 只需证明这三点都在 abc所在的平面和平面 的交线上即可 证明由已知条件易知 平面 与平面abc相交 设交线为 即 面abc p ab p 面abc 又p ab p 即p为平面 与面abc的公共点 p 同理可证 点r和q也在交线上 故p q r三点共线于 学后反思证明多点共线的方法是 以公理3为依据 先找出两个平面的交线 再证明各个点都是这两个面的公共点 即在交线上 则多点共线 或者 先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线 然后证明第三个点也在交线上 同理 其他的点都在交线上 即多点共线 举一反三 2 如图 已知e f g h分别是空间四边形abcd 四条线段首尾相接 且连接点不在同一平面内 所组成的空间图形叫空间四边形 各边ab ad cb cd上的点 且直线ef和gh交于点p 如图所示 求证 点b d p在同一条直线上 证明由于直线ef和gh交于点p p ef 又 ef 平面abd p 平面abd 同理 p 平面cbd p在平面abd与平面cbd的交线bd上 即b d p三点在同一条直线上 题型三证明点线共面 例3 求证 两两相交且不共点的四条直线在同一平面内 分析由题知 四条直线两两相交且不共点 故有两种情况 一种是三条交于一点 另一种是任何三条都不共点 故分两种情况证明 要证明四线共面 先根据公理2的推论证两条直线共面 然后再证第三条直线在这个平面内 同理第四条直线也在这个平面内 故四线共面 证明 1 如图 设直线a b c相交于点o 直线d和a b c分别相交于a b c三点 直线d和点o确定平面 由o 平面 a 平面 o 直线a a 直线a 知直线a 平面 同理b 平面 c 平面 故直线a b c d共面于 2 如图 设直线a b c d两两相交 且任何三线不共点 交点分别是m n p q r g 由直线a b m 知直线a和b确定平面 由a c n b c q 知点n q都在平面 内 故c 同理可证d 故直线a b c d共面于 由 1 2 可知 两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内 学后反思证多线共面的方法 1 以公理 推论为依据先证两直线共面 然后再由公理1证第三条也在这个平面内 同理其他直线都在这个平面内 2 先由部分直线确定平面 再由其他直线确定平面 然后证明这些平面重合 举一反三 3 在正方体abcd 中 e是ab的中点 f是的中点 求证 e f c四点共面 证明如图 连接 ef e是ab的中点 f是的中点 ef ef 故e f c四点共面 题型四异面直线及其所成角的问题 例4 2008 全国 已知正四棱锥s abcd的侧棱长与底面边长都相等 e是sb的中点 则ae sd所成的角的余弦值为 a b c d 分析通过作平行线找到ae与sd所成的角 再利用三角形求解 解如图 连接ac bd交于点o 连接oe 因为oe sd 所以 aeo为所求 设侧棱长与底面边长都等于2 则在 aeo中 oe 1 ao ae 于是cos aeo 故选c 学后反思求异面直线所成的角的方法 1 根据平行线定义 作出异面直线所成的角 2 证明作出的角是异面直线所成的角 3 在三角形内求得直线所成角的某个三角函数值 举一反三 4 在四面体a bcd中 ab cd 且其所成的角是60 点m n分别是bc ad的中点 求直线ab与mn所成的角的大小 解析如图 取bd中点e 连接ne em 则enab emcd 故 emn为等腰三角形 由条件 men 60 emn为等边三角形 且 enm即为ab与mn所成的角 enm 60 题型五证明三线共点 例5 12分 已知四面体a bcd中 e f分别是ab ad的中点 g h分别是bc cd上的点 且 求证 直线eg fh ac相交于同一点p 分析先证e f g h四点共面 再证eg fh交于一点 然后证明这一点在ac上 证明 e f分别是ab ad的中点 ef bd且ef bd 2 又 gh bd且gh bd ef gh且ef gh 4 四边形efhg是梯形 其两腰所在直线必相交 设两腰eg fh的延长线相交于一点p 6 eg 平面abc fh 平面acd p 平面abc p 平面acd 8 又 平面abc 平面acd ac p ac 10 故直线eg fh ac相交于同一点p 12 学后反思证明三线共点的方法 首先证明其中的两条直线交于一点 然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线 由公理3可知 两个平面的公共点必在这两个平面的交线上 即三条直线交于一点 举一反三 5 如图所示 已知空间四边形abcd 点e f g h m n分别是ab bc cd da ac bd的中点 求证 三线段eg fh mn交于一点 且被该点平分 证明如图所示 连接ef fg gh he mf fn nh mh e f g h分别为ab bc cd da的中点 ef gh eh fg 四边形efgh是平行四边形 设eg fh o 则o平分eg fh 同理 四边形mfnh是平行四边形 设mn fh o 则o 平分mn fh 点o o 都平分线段fh o与o 两点重合 mn过eg和fh的交点 即三线段共点且被该点平分 易错警示 例 过已知直线a外一点p 与直线a上的四个点a b c d分别画四条直线 求证 这四条直线在同一平面内 错解 p a b三点不共线 p a b共面 即pa pb ab共面 同理 pb pc bc共面 pc pd cd共面 a b c d均在直线a上 pa pb pc pd四条直线在同一平面内 错解分析错解在证明了四条直线分别在三个平面 平面pab 平面pbc 平面pcd 内后 通过a b c d均在a上 而认为三个平面重合在同一个平面内 这种方法是错误的 错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合 正解过直线a及点p作一平面 a b c d均在a上 a b c d均在 内 直线pa pb pc pd上各有两点在 内 由公理1可知 直线pa pb pc pd均在平面 内 即四直线共面 考点连接 10 已知a b为异面直线 则 经过直线a 存在唯一平面 使b 经过直线a 若存在平面 使b a 则 唯一 经过直线a b外任意一点 存在平面 使a 且b 上述命题中 真命题是 写出真命题的序号 解析 平移b到b 使b a交于点o 则a与b 确定平面为 b 唯一 故 正确 a b为异面直线 故无法确定a是否垂直于b 如图 a平移到a b平移到b a b 交于点o 则a b 确定的平面 唯一 答案 11 2010 滨州质检 已知正方体abcd 的棱长为a 求异面直线和所成的角 解析如图所示 连接 异面直线和所成角为90 12 已知直线a b c 直线 a a b b c c 求证 a b c 共面 证明如图 a b a b可以确定一个平面 又 a a b b a a b b a b ab 又a b 另一方面 b c b c可以确定一个平面 同理可证 平面 均经过直线b 且b和是两条相交直线 它们确定的平面是唯一的 平面 与 是同一个平面 a b c 共面 第四节直线 平面平行的判定及其性质 1 平行直线 1 定义 同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 2 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 3 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线就和两平面的交线平行 4 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平行 5 线面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一平面 那么这两条直线平行 2 直线与平面平行 1 定义 直线a和平面 没有公共点 叫做直线与平面平行 2 线面平行的判定定理 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 基础梳理 3 面面平行的性质 如果两平面互相平行 那么一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 3 平面与平面平行 1 定义 如果两个平面没有公共点 那么这两个平面叫做平行平面 2 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 3 判定定理的推论 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线 则这两个平面平行 4 线面垂直的性质 如果两平面垂直于同一直线 则这两个平面平行 5 平行公理 如果两平面平行于同一平面 则这两个平面平行 典例分析 题型一线线平行 例1 已知四边形abcd是空间四边形 e f g h分别是边ab bc cd da的中点 求证 四边形efgh是平行四边形 分析若证四边形是平行四边形 只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可 证明如图 连接bd eh是 abd的中位线 eh bd eh bd 又 fg是 cbd的中位线 fg bd fg bd fg eh 且fg eh 四边形efgh是平行四边形 学后反思若证明四边形efgh是平行四边形 可有两条途径 一是证明两组对边分别平行 二是证明一组对边平行且相等 举一反三 1 已知e 分别是正方体abcd 的棱ad 的中点 求证 bec 证明如图 连接 e分别为 ad的中点 四边形为平行四边形 四边形是平行四边形 eb 同理 ec 又 与 ceb方向相同 ceb 题型二线面平行 例2 如图 正方体abcd 中 侧面对角线上分别有两点e f 且 求证 ef 平面abcd 分析要证ef 平面abcd 方法有两种 一是利用线面平行的判定定理 即在平面abcd内确定ef的平行线 二是利用面面平行的性质定理 即过ef作与平面abcd平行的平面 证明方法一 过e作em ab于m 过f作fn bc于n 连接mn 如图 则em fn em fn ae bf em fn 四边形emnf是平行四边形 ef mn 又 ef 平面abcd mn 平面abcd ef 平面abcd 方法二 连接 并延长交bc的延长线于点p 连接ap 如图 pfb 又 ef 平面abcd ap 平面abcd ef 平面abcd 方法三 过点e作eh 于点h 连接fh 如图 则eh ab eh fh h 平面efh 平面abcd ef 平面efh ef 平面abcd 学后反思判断或证明线面平行的常用方法有 1 利用线面平行的定义 无公共点 2 利用线面平行的判定定理 a b a b a 3 利用面面平行的性质定理 a a 4 利用面面平行的性质 a a a a 举一反三 2 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为正方形 e为pc中点 求证 pa 平面edb 证明如图 连接ac交bd于o 连接eo 四边形abcd为正方形 o为ac中点 e为pc中点 oe为 pac的中位线 故eo pa 又 eo 平面edb pa 平面edb pa 平面edb 题型三面面平行 例3 如图 正方体abcd 的棱长为1 求证 平面 平面 分析要证明平面 平面 根据面面平行的判定定理或推论 只要证明ac 平面 平面 且ac a即可 证明方法一 四边形为平行四边形 方法二 易知和确定一个平面 于是 学后反思证明平面与平面相互平行 一般利用面面平行的判定定理或其推论 将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明 具体方法有 1 面面平行的定义 2 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 3 利用垂直于同一条直线的两个平面平行 4 两个平面同时平行于第三个平面 那么这两个平面平行 5 利用 线线平行 线面平行 面面平行 的相互转化 举一反三 3 在正方体abcd 中 m n e f分别是棱的中点 求证 平面amn 平面efdb 证明如图 连接mf m f分别是的中点 且四边形为正方形 又 四边形adfm为平行四边形 am df 又 am 平面efdb df 平面efdb am 平面efdb 同理可证an 平面efdb am an 平面amn am an a 平面amn 平面efdb 题型四平行的探究问题 例4 2009 银川模拟 如图 在四棱锥s abcd中 sa ab 2 sb sd 2 底面abcd是菱形 且 abc 60 e为cd的中点 1 求证 cd 平面sae 2 侧棱sb上是否存在点f 使得cf 平面sae 并证明你的结论 分析 1 先利用勾股定理和线面垂直判定定理证明直线sa 底面abcd 再证明直线sa cd 证明直线与平面垂直时 必须证明直线与平面内的两条相交直线垂直 2 先回答问题 再证明充分条件 探究的点往往是特殊点 中点 证明 1 abcd是菱形 abc 60 ab ac ad 2 acd为正三角形 又e为cd的中点 cd ae sa ab ad 2 sb sd 2 则有 sa ab sa ad 又 ab ad a sa 底面abcd sa cd 由cd ae sa cd ae sa a cd 平面sae 2 侧棱sb上存在点f 当f为sb的中点时 使得cf 平面sae 证明假设侧棱sb上存在点f 使得cf 平面sae 不妨取sa的中点n 连接en 过点n作nf ab 交sb于f点 连接cf 则作图知nfab 点f为sb的中点 又 ceab nfce 四边形cenf为平行四边形 cf en 又 en 平面sae cf 平面sae cf 平面sae 即当f为侧棱sb的中点时 cf 平面sae 学后反思定理 定义是做题的依据 具备了条件 便可得到结论 条件不足 要通过题设和图形的结构特征 性质去寻求 增添辅助线是解决问题的关键 举一反三 4 长方体abcd a b c d 点p bb 不与b b 重合 pa ba m pc bc n 求证 mn 平面ac 证明如图 连接a c ac abcd a b c d 为长方体 ac a c ac 平面a c b a c 平面a c b ac 平面a c b 又 平面pac过ac与平面a c b交于mn mn ac mn 平面ac ac 平面ac mn 平面ac 题型五平行关系的综合应用 例5 12分 求证 若一条直线分别和两个相交平面平行 则这条直线必与它们的交线平行 分析此题可先过直线作平面分别与已知两平面相交 由线面平行的性质定理及公理4 可证得两交线平行 从而进一步证得一条交线与另一平面平行 进而可证得结论 证明 a 过作平面 交 于b 过作平面 交 于c 3 b b 线面平行的性质定理 同理 c 5 b c 6 又 c b b 线面平行的判定定理 8 又 b a b a 线面平行的性质定理 10 a 公理4 12 学后反思把文字语言转化成符号语言和图形语言 过作平面 和 与 得到两条交线 利用线面平行的性质定理及公理4可证得交线平行 从而进一步证明一条交线与另一个平面平行 进而可证得结论 举一反三 5 如图所示 在四面体a bcd中 截面efgh平行于对棱ab和cd 试问 截面在什么位置时 截面的面积最大 解析 ab 平面efgh 平面efgh与平面abc和平面abd分别交于fg eh ab fg ab eh fg eh 同理可证 ef gh 四边形efgh是平行四边形 设ab a cd b fgh a b 均为定值 其中 为异面直线ab与cd所成的角 又设fg x gh y 由平面几何知识 得两式相加 得 即 x 0 a x 0 且x a x a 定值 当且仅当x a x 即x 时 故当截面efgh的顶点e f g h分别为棱ad ac bc bd的中点时 截面面积最大 易错警示 例 如图所示 平面 平面 点a c 点b d 点e f分别在线段ab cd上 且ae eb cf fd 求证 ef 错解 ac bd 又ae eb cf fd ef bd 又ef bd ef 错解分析上述解法的错误在于未讨论ab与cd是否共面 而直接把ab cd作为共面处理 忽视异面的情况 本题中对ab cd位置关系的讨论具有一定的代表性 可见分类讨论的思想在立体几何中也多有体现 正解 当ab cd在同一平面内时 由 平面abdc ac 平面abdc bd ac bd ae eb cf fd ef bd 又ef bd ef 当ab与cd异面时 如右图所示 设平面acd dh 且dh ac 平面acdh ac ac dh 四边形acdh是平行四边形 在ah上取一点g 使ag gh cf fd 又 ae eb cf fd gf hd eg bh 又eg gf g bh 平面 dh 平面 平面efg 平面 ef 平面efg ef 综上 ef 考点演练 10 如图 下列四个正方体图形中 a b为正方体的两个顶点 m n p分别为其所在棱的中点 能得出ab 面mnp的图形的序号是 写出所有符合要求的图形序号 解析 图中 mn ad np ac 平面mnp 平面ab ab 平面mnp 图中 ab不平行于平面mnp 反证法 连接be 分别交cd mp于r q 若ab 平面mnp 则ab nq 又由n为ae中点 r为be中点 得ab nr 在平面abe中过点n有两条直线平行于ab 与平行公理矛盾 故ab不平行于平面mnp 图中 adbc 四边形abcd为平行四边形 ab cd 又 mp cd ab mp 故ab 平面mnp 图中 ab不平行于面mnp 反证法 若ab 平面mnp 则ab dm 又由adbc 得四边形abcd是平行四边形 故ab cd 在平面abcd中过点d有两条直线平行于ab 与平行公理矛盾 故ab不平行于平面mnp 答案 11 已知正方体abcd a b c d 求证 平面acd 平面a bc 证明 正方体abcd a b c d 中 ad bc cd a b 又 ad cd d bc a b b 平面acd 平面a bc 12 2009 扬州模拟 如图所示 已知四边形abcd是平行四边形 点p是平面abcd外一点 m是pc的中点 在dm上取一点g 过g和ap作平面交平面bdm于gh 求证 ap gh 证明连接ac 交ob于o 连接mo oc oa cm mp om ap ap 平面dbm om 平面dbm ap 平面dmb ap 平面apgh 平面apgh 平面dmb gh ap gh 第五节直线 平面垂直的判定及其性质 基础梳理 1 直线与平面垂直 1 定义 如果直线与平面 内的任意一条直线都垂直 我们就说直线与平面 互相垂直 这条直线叫做平面的垂线 这个平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 垂线上任意一点到垂足间的线段 叫做这个点到这个平面的垂线段 垂线段的长度叫做点到平面的距离 2 性质 如果一条直线垂直于一个平面 那么它就和平面内的任意一条直线垂直 3 判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直 则这条直线与这个平面垂直 4 推论 如果在两条平行直线中 有一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 5 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 2 平面与平面垂直 1 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就称这两个平面互相垂直 2 判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 3 性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 典例分析 题型一线线垂直 例1 如图 cd ea 垂足为a eb 垂足为b 求证 cd ab 分析要证cd ab 只需证cd 平面abe即可 证明 cd cd cd 又 ea cd ea cd 同理eb cd ea cd eb cd ea eb e cd 平面eab ab 平面eab ab cd 学后反思证明空间中两直线互相垂直 通常先观察两直线是否共面 若两直线共面 则一般用平面几何知识即可证出 如勾股定理 等腰三角形的性质等 若两直线异面 则转化为线面垂直进行证明 举一反三 1 如图所示 四边形abcd为正方形 sa垂直于四边形abcd所在的平面 过a且垂直于sc的平面分别交sb sc sd于e f g 求证 ae sb ag sd 证明 sa 平面abcd bc 平面abcd sa bc 又 bc ab sa ab a bc 平面sab ae 平面sab bc ae sc 平面aefg ae 平面aefg sc ae 又 bc sc c ae 平面sbc ae sb 同理可证ag sd 题型二线面垂直 例2 如图 p为 abc所在平面外一点 pa 平面abc abc 90 ae pb于e af pc于f 求证 1 bc 平面pab 2 ae 平面pbc 3 pc 平面aef 分析要证明线面垂直 只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可 证明 1 pa 平面abc pa bcab bcbc 平面pab pa ab a 2 ae 平面pab 由 1 知ae bcae pbae 平面pbc pb bc b 3 pc 平面pbc 由 2 知pc aepc afpc 平面aef ae af a 学后反思本题的证明过程是很有代表性的 即证明线面垂直 可先证线线垂直 而已知的线线垂直又可以产生有利于题目的线线垂直 在线线垂直和线面垂直的相互转化中 平面在其中起着至关重要的作用 由于线线垂直是相互的 应充分考虑线和线各自所在平面的特征 以顺利实现证明所需要的转化 举一反三 2 如图所示 p是 abc所在平面外一点 且pa 平面abc 若o q分别是 abc和 pbc的垂心 求证 oq 平面pbc 证明如图 连接ao并延长交bc于e 连接pe pa 平面abc bc 平面abc pa bc 又 o是 abc的垂心 bc ae pa ae a bc 平面pae bc pe pe必过q点 oq 平面pae oq bc 连接bo并延长交ac于f pa 平面abc bf 平面abc pa bf 又 o是 abc的垂心 bf ac bf 平面pac pc 平面pac bf pc 连接bq并延长交pc于m 连接mf q为 pbc的垂心 pc bm bm bf b pc 平面bfm oq 平面bfm oq pc pc bc c oq 平面pbc 题型三面面垂直 例3 如图所示 在斜三棱柱 abc中 底面是等腰三角形 ab ac 侧面 底面abc 1 若d是bc的中点 求证 ad 2 过侧面的对角线的平面交侧棱于m 若am 求证 截面 侧面 分析 1 要证明ad 只要证明ad垂直于所在的平面即可 显然由ad bc和面面垂直的性质定理即可得证 2 要证明截面 侧面 只要证明截面经过侧面的一条垂线即可 证明 1 ab ac d是bc的中点 ad bc 底面abc 侧面 ad 侧面 ad 2 延长与bm的延长线交于点n 连接 学后反思本题中平面abc 平面的应用是关键 一般地 有两个平面垂直时要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 举一反三 3 如图 在直三棱柱abc 中 ac bc 点d是ab的中点 1 求证 平面 2 求证 平面 平面 证明 1 如图 连接交于e 连接de 为矩形 则e为的中点 又 d是ab的中点 在 中 de 又 de 平面 平面 平面 2 ac bc d为ab的中点 在 abc中 ab cd 又 平面abc cd 平面abc cd 又 ab a cd 平面 又 cd 平面 平面 平面 题型四垂直问题的探究 例4 12分 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 ab 2 bc a 又侧棱pa 底面abcd 1 当a为何值时 bd 平面pac 试证明你的结论 2 当a 4时 求证 bc边上存在一点m 使得pm dm 3 若在bc边上至少存在一点m 使pm dm 求a的取值范围 分析 1 本题第 1 问是寻求bd 平面pac的条件 即bd垂直于平面pac内两相交直线 易知bd pa 问题归结为a为何值时 bd ac 从而知abcd为正方形 2 若pm dm 易知dm 面pam 得dm am 由ab 2 a 4知 m为bc的中点时得两个全等的正方形 满足dm am 解 1 当a 2时 abcd为正方形 则bd ac 2 又 pa 底面abcd bd 平面abcd bd pa 又 pa ac a 3 bd 平面pac 故当a 2时 bd 平面pac 4 2 证明 当a 4时 取bc边的中点m ad边的中点n 连接am dm mn 5 四边形abmn和四边形dcmn都是正方形 6 amd amn dmn 45 45 90 7 即dm am 又 pa 底面abcd pa dm dm 面pam 得pm dm 9 故当a 4时 bc边的中点m使pm dm 3 设m是bc边上符合题设的点m pa 底面abcd dm am 11 因此 m点应是以ad为直径的圆和bc边的交点 则ad 2ab 即a 4为所求 12 学后反思无论是线面垂直还是面面垂直 都源自于线线垂直 在处理实际问题的过程中 可以先从题设条件入手 分析已有的垂直关系 再从结论入手分析所要证明的垂直关系 从而架起已知与未知之间的桥梁 举一反三 4 2007 海南 宁夏 如图 a b c d为空间四点 在 abc中 ab 2 ac bc 等边三角形adb以ab为轴转动 1 当平面adb 平面abc时 求cd 2 当 adb转动时 是否总有ab cd 证明你的结论 解析 1 取ab的中点e 连接de ce 因为 adb是等边三角形 所以de ab 当平面adb 平面abc时 因为平面adb 平面abc ab 所以de 平面abc 可知de ce 由已知得de ec 1 在rt dec中 2 当 adb以ab为轴转动时 总有ab cd 证明如下 当d在平面abc内时 因为ac bc ad bd 所以c d都在线段ab的垂直平分线上 即ab cd 当d不在平面abc内时 由 1 知ab de 又因为ac bc 所以ab ce 又de ce为相交直线 所以ab 平面cde 由cd 平面cde 得ab cd 综上所述 总有ab cd 易错警示 例