福建省福鼎市高三数学《不等式的证明与几个重要的不等式》复习课件.ppt

回归教材1 不等式的证明方法 1 比较法 求差比较法作差法 一般用于要证不等式两边是多项式或分式 要证明a b 只要证明a b 0 即可 求商比较法当a 0 b 0时要证明a b 只需证明ab 1即可 作商法用于证幂 指数不等式 2 分析法从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止 这种证法称为分析法 即 执果索因 的证明方法 分析法的优点是利于思考 因为它方向明确 思路自然 易于掌握 3 综合法从已知条件出发 利用不等式的性质 或已知证明过的不等式 推出了所要证明的结论 即 由因寻果 的方法 这种证明方法称为综合法 综合法的优点是宜于表述 条理清晰 形式简捷 4 放缩法通过缩小 或放大 分式的分母 或分子 或通过放大 或缩小 被减式 或减式 来证明不等式 这种证明不等式的方法称为放缩法 放缩法的原理是不等式的传递性 5 反证法通过证明命题结论的否定不能成立 来肯定命题结论一定成立 其证明的步骤是 作出否定结论的假设 进行推理 导出矛盾 否定假设 肯定结论 6 几何法通过构造几何图形 利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法 2 柯西不等式 1 简单形式的柯西不等式定理1 对任意实数a b c d 有 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 当向量 a b 与向量 c d 共线时 等号成立 这个不等式称为柯西不等式 柯西不等式的向量形式设 a b c d 则 2 一般形式的柯西不等式定理2 设a1 a2 an与b1 b2 bn是两组实数 则有 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 a1b1 a2b2 anbn 2 当向量 a1 a2 an 与向量 b1 b2 bn 共线时 等号成立 推论 设a1 a2 a3 b1 b2 b3是两组实数 则有 a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2 当向量 a1 a2 a3 与向量 b1 b2 b3 共线时 成立 3 排序不等式定理1 设a b和c d都是实数 如果a b c d 那么ac bd ad bc 此式当且仅当a b 或c d 时取 号 定理2 排序不等式 设有两个有序实数组 a1 a2 an及b1 b2 bn 则a1b1 a2b2 anbn a1bj1 a2bj2 anbjn a1bn a2bn 1 anb1 即顺序和 乱序和 逆序和 其中 j1 j2 jn是1 2 n中任一排列方式 上式当且仅当a1 a2 an 或b1 b2 bn 时取 号 4 贝努利不等式定理 对任何实数x 1和任何正整数n 有 1 x n 1 nx 5 数学归纳法数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题 证明步骤 1 验证当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时命题正确 2 假设当n k时 k n k n0 命题正确 证明当n k 1时命题也正确 则该命题对一切自然数n n0都正确 考点训练 1 若不等式 a 1 x 2y 2z 对满足x2 y2 z2 1的一切实数x y z恒成立 则实数a的取值范围是 解析 由柯西不等式可得 12 22 22 x2 y2 z2 x 2y 2z 2 x 2y 2z的最大值为3 故有 a 1 3 a 4或a 2 答案 a 4或a 2 2 由下列不等式 a2 b2 2ab a3 b3 a2b ab2 其中a b 0 请猜想 若m n n 则am n bm n 解析 考查归纳推理 am n bm n ambn anbm am n bm n ambn anbm am an bn bm bn an an bn am bm 分类讨论 若a b 0 则an bn am bm 若0 a b 则an bn am bm 故不论a b的大小如何均有 an bn am bm 0 am n bm n ambn anbm 答案 ambn anbm 3 2009 江苏 设a b 0 求证 3a3 2b3 3a2b 2ab2 证明 3a3 2b3 3a2b 2ab2 3a2 a b 2b2 b a 3a2 2b2 a b 因为a b 0 所以a b 0 3a2 2b2 0 从而 3a2 2b2 a b 0 即3a3 2b3 3a2b 2ab2 解读高考第二关热点关 证明 方法1 比较法 点评 证明不等式的常用方法是比较法 综合法 分析法 而综合法与分析法常常相结合的使用 证明 a2 b2 c2 a b c 2 2ab abc 2ac a b c 2 2 a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 a b c 2 1故a2 b2 c2 例2已知a b c 1 且a b c是正数 解析 本题主要考查利用柯西或均值不等式证明不等式 考查推理论证能力 变式2 已知x y z r 若x4 y4 z4 1 证明 证法1 1 当n等于1时 不等式左端等于1 右端等于2 所以不等式成立 点评 本题证法一采用数学归纳法从n k到n k 1的过渡采用了放缩法 证法二先放缩 后裂项 有的放矢 直达目标 而证法三运用函数思想 借助单调性 独具匠心 发人深省 放缩法的常用技巧是 1 在恒等式中舍掉或加进一些项 2 在分式中放大或缩小分子或分母 3 应用函数的性质 如单调性 有界性 进行放缩 4 应用基本不等式进行放缩 变式3 x 0 y 0 z 0 题型二不等式的应用 点评 本题考查不等式证明 求最值函数思想 以及逻辑分析能力 该题实质是给定条件求最值的题目 所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中 因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来 等价转化的思想是解决题目的突破口 然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值 点评 本题的解题关键是弄清 对任意n n 在x 上恒成立 这个条件的含义 因为 n为r上的减函数 所以n n 时 其最大值为 1 从而将问题转化为解不等式问题 本题难度较大 有较高的区分度 例5已知a b c r 且a b c 1 变式5 已知x y z r 且3x 2y 2z 17 0 则x2 y2 z2的最小值是 解析 解法1 用柯西不等式 3x 2y 2z 17 x2 y2 z2 32 22 22 3x 2y 2z 2 172 x2 y2 z2 17 解法2 x2 y2 z2描述的平面内的点到原点距离的平方 故可利用空间点到面的距离公式进行求解 设平面3x 2y 2z 17 0的法向量为n a b c 可知a 1 0 7 b 1 1 6 c 3 1 3 在平面内 点评 本题考查了点到面的距离公式 平面的法向量在求解有关立体几何中应用得较为广泛 对此一定要熟练地掌握求解平面法向量的常用方法 也要理解平面法向量的几何意义 笑对高考第三关技巧关 典例已知a 0 b 0 且a b 1 证法2 均值代换法 证法3 比较法 证法4 综合法 证法5 三角代换法 点评 不等式证明的方法很多 分析法 综合法 比较法 换元法都是常用的方法 在应用时注意分析要证不等式的特点 结合几个重要不等式 灵活运用 考向精测 课时作业 二 不等式的证明与几个重要的不等式 一 选择题 a 3b 6c 9d 12 答案 c 2 x y z是非负实数 9x2 12y2 5z2 9 则函数u 3x 6y 5z的最大值是 a 9b 10c 14d 15 答案 a 3 设a 0 b 0 c 0 则以下不等式中 不恒成立的是 答案 a a a b cb a c bc b a cd b c a 答案 b 二 填空题5 已知a b c r 且a b c 2 a2 2b2 3c2 4 则a的取值范围为 7 关于x的二次方程x2 6x a 2 2a 1 0有实根 求a的取值范围 解析 原方程有实根 36 4 a 2 2a 1 0 a 2 2a 1 9 答案 三 解答题 10 若x y z r 且x y z xyz 证明 所证不等式等价于 即证xyz 2 xy yz zx 2 即证 x y z y2z yz2 z2x zx2 x2y xy2