初中数学论文：一道耐人寻味的中考题.doc

一道耐人寻味的中考题 本人有幸参加了2009年台州市初中学业水平考试的网上阅卷工作，抛开学生解题的各种情况怎样不说，但就试题的编拟，谈谈自己的一些感受。（第23题）图3图2图4FEDCBAPGHJI题目：定义：（在凸四边形内部，）到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图1，则点就是四边形的准内点BJIHGDCAP图1（1）如图2， 与的角平分线相交于点求证：点是四边形的准内点（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假” 任意凸四边形一定存在准内点（ ）任意凸四边形一定只有一个准内点（ ）若是任意凸四边形的准内点，则或( ) （括号内的内容本人认为应该加上，否则，本题（3）的题就是假命题。）这是一道考查能力的好题。说它是一道好题原因有：首先，它是 一道“新定义”型题，是在试题中给出一个学生从未接触过的新概念，要求学生现学现用，充分发挥阅读理解能力、接受新知识能力、应变能力、和创新应用能力解答试题，这对培养学生自主学习、主动探究的学习方式有积极的促进作用。其次，对每个学生来说，试题的背景信息是公平的、公正的。学生只有依靠自己对试题的阅读，结合平时老师教过的基础知识，综合对试题的理解才能解答，真正达到学以致用、公平选拔的目的。再次，此类几何“新定义”型试题不像代数“新定义”型试题一样，让学生多做，多练就可以掌握其方法技巧，它的解决恰恰是“题海战术”所不能达到的，因此这种题型在中考试题中的出现对数学教师今后的教学会起导向的作用。最后，这个题用不同的试题形式考查学生证明、推理、作图等各种能力，可以形象地说是“一个证明题、两个作图题、三个判断题”的综合型试题。试题设计坚持以生为本，层层递进，降低进入解题的门槛。在题目的形式上第3小题（1）、（2），一个是存在性问题，另一个是唯一性问题，这在数学上是很关注的两个方面，尤其进入高中之后。而第3小题（3）的判断题的反例是本题的一个高潮。学生做对的，更多是一种“蒙”的成分，如要具体举出反例是很难的，因此此题给人有“意犹未尽，意味无穷”之感。寻味之一：特例探索如图5，若P是ABCD准内点，则有；如图6，若P是等腰梯形ABCD的准内点，则且；如图7，若P是矩形ABCD的准内点，则且； 图5 图6那么，如何举出一个反例，构造一个图形说明（3）的错误呢？ 图7 图8如图8，矩形ABFD，点P是BD中点，则P是矩形ABFD的准内点。且PA=PB=PF=PD。作BD的中垂线交射线BA于点E，作射线ED交射线BF于点C，则点P是直角梯形ABCD的准内点，则PA=PB =PDPC。因此（3）是假命题！寻味之二：性质证明既然可以构造一个直角梯形ABCD, ADBC, A=90,能够说明：PA+PBPC+PD，那么能否一般地证明如下命题：已知：点P是直角梯形ABCD, ADBC, A=90的准内点，求证：PA+PBPC+PD 图9 图10 图11证明：过DC中点F作FNBC，交AD于M，易证，即PEPF，易知PA+PBPM+PN。下面证PM+PN=2PNPC+PD。 作D D/BC于D/，则D/N=NC，延长PN至H，使NH=PN。可证PD/HC可证PD+PC=PD/+D/HPH=2PN=PM+PMPA+PB。寻味之三：图形构造从特例开始探讨：当准内点就是四边形“内心”时，它的特征时到四边的距离都相等，如图12。又根据准内点的定义，只要到两组对边的距离分别相等即可，故把这两个距离分别看成是圆的半径，就可以画出，以已知点P为准内点的四边形ABCD, 使它以点P为内准点.，如图13，其中. P. P 图12 图13两个圆是同心圆，且两圆的大小任意变动，两组对边所在直线分别和一个圆相切，通过直线的变动以及两个圆大小的变动，四边形的形状特点就会越发明显了。下面利用几何画板把四边形的内准点的有关性质进行演示，列举(3)是假命题的反例。 图14 图15 图16如图14是：PA=PB=PDPC, 则(3)就不成立了如图15，PBPAPDPC, 则(3)就不成立了 ，如图16，PB=PAPDPC, 则(3)就不成立了寻味之四：求真归纳我们先来看看下面的命题已知如图17，直角三角形ABC, ACAB, E、D是AC、BC的中点，DPAB ,FP1是 当线段DP沿着直线AB平行移动时，动线段DP的位置，延长BF交AC于H,连接AF、BF、AD、BD求证：AD+BD AF+BFAEDBCPP1FH略证：由对称得：AF+FB=CF+FBCB=AD+BD又BE+EHHF+FB. .(1), CH+HFCF.(2)由(1)+(2)得：BE+EH+CH+HFHF+FB+CF即：EB+CEFB+CF 图17所以有：EA+EBFA+FBDA+DB由此可以判断：当动点P1越离开中点P，则AF+BF的值就越大。在图形中，无论动线段运动到何处？三角形的面积是不变的，三角形的一边BA是不变的。所以：归纳成以下真命题：三角形的一边一定，且这边上的高也一定（或面积一定），则当这个三角形是以这条边为底边的等腰三角形时，三角形的周长最小。或三角形的一边一定，且这边上的高也一定，当这边上的高离开这边中点越远时，三角形的周长越大。运用上面的结论我们可以证明梯形的有关准内点的性质。1，已知：点P是直角梯形ABCD , ADBC, A=90的准内点，求证：PA+PBPC+PD略证：辅助线如图18，这里：MP=2AE=2NF. MPEF , FH=FP, EP=GE, PFPEABCDEFGPHMNPC+PD=PD+DHPN +NH=MHMG=PA+PB.所以PA+PBPC+PD。如图18， 图182、在梯形ABCD, ADBC,腰ABCD，P是梯形ABCD的准内点，求证：PA+PBPC+PDPCBADEHFGMNMAPHE 图19 图20 FDG1P1NFDGPNG1P1 图21 图22略证：这里：如图19, PA+PB=PA+AH, PD+PC=PD+DG , AM=DN , 易证：EPPF, EM NF, 结合图20，图21由命题结论可知:若，P1G1=HP, 因为：EM NF, 所以AH+APDP1+DG1 又因为P1G1PG,比较图22，可知；DP1+DG1DP+DG所以：AH+APDP+DG即：PA+PBPC+PD寻味之五：教学反思从上面的叙述，我们可以看到以第3小题（3）举反例为切入点。举出一个漂亮的反例跟证明一个命题一样重要，甚至超过证明的作用。因为举反例是一个构造的过程，充分发挥人的创造力。并且举反例是一个开放问题，从理论上说答案是多个的，因此对举出的反例的评价会不同，有的会令人拍案叫奇。 从教学的角度来说，搞好中考复习，是研究中考题的目的之一，也是每一个初中数学教师的一个永恒的话题，中考题的编拟，一般有三种方法：选题、改题和编题。对于来源于教材，又不同于教材的“立意新、情景实、设问巧、层次明”的有坡度、信度搞、效度好、区分度适中的创新试题，一定会是我们初中数学教师平时教学中难得的优秀资料。对一个好的中考题的研究，其目的就在于如何搞好平时的中考复习，一个很好的中考题带给我们很多有用的参考价值，为我们今后的教