6二阶电路的零输入响应.docVIP

第五章 动态电路的时域分析6二阶电路的零输入响应5.6.1 二阶电路的初始条件初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压的极性和流过电感电流的方向；第二，电容上的电压总是连续的，即 （5-31）流过电感的电流也总是连续的，即 （5-32）确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。5.6.2 R L C串联电路的零输入响应如图5-37所示为RLC串联电路。开关S闭合前，电容已经充电，且电容的电压，电感中储存有电场能，且初始电流为当时，开关S闭合，电容将通过放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。图5-37 RLC串联电路的零输入响应由图5-37所示参考方向，据KVL可得 且有，。将其代入上式得 式（5-33）是RLC串联电路放电过程以为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。如果以电流作为变量，则RLC串联电路的微分方程为 （5-34）在此，仅以为变量进行分析，令，并代入（5-33），得到其对应的特征方程 求解上式，得到特征根为 （5-35） 因此，电容电压用两特征根表示如下： （5-36）从式（5-35）可以看出，特征根、仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。、又称为固有频率，单位为奈培 奈培是一个无量纲单位，以奈培（John Napier,英格兰数学家）的名字命名。每秒，它与电路的自然响应函数有关。根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为，又因为，所以有。将初始条件和式（5-36）联立可得 （5-37）首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即且。有 （5-38）将、的表达式代入（5-36）式即可得到RLC串联电路的零输入响应，但特征根、与电路的参数R、L、C有关，根据二次方程根的判别式可知、只有三种可能情况，下面对这三种情况分别讨论1.，过阻尼情况在此情况下，、为两个不相等的实数，电容电压可表示为 （5-39）根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为 （5-40） （5-41）其中利用了的关系。由于，因此时，且。所以时一直为正。从（5-40）可以看出，当时，也一直为正，但是进一步分析可知，当时，当时，这表明将出现极值，可以求一阶导数得到，即 故 其中为电流达到最大的时刻。、的波形如图5-38所示。图5-38 过阻尼放电过程中、的波形从图5-38可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做过阻尼放电。当时电感吸收能量，建立磁场；时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。当时，电感电压过零点。2. ，欠阻尼情况 当时，特征根、是一对共轭复数，即 （5-42）其中：称之为振荡电路的衰减系数；称之为振荡电路的衰减角频率。称之为无阻尼自由振荡角频率，或浮振角频率。显然有，令，则有，如图5-39所示。图5-39 之间的关系根据欧拉公式 （5-43）可得 ， 所以有 = = = （544）根据式（5-40），（5-41）可知 （5-45） （5-46）从上述情况分析可以看出，、的波形呈振荡衰减状态。在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，如表5-2所示。、的波形如图5-40所示。图5-40 欠阻尼情况下、的波形表5-2电容释放释放吸收电感吸收释放释放电阻消耗消耗消耗从欠阻尼情况下 、的表达式还能得到以下结论：（1） ， 为电流的过零点，即的极值点。（2） ，为电感电压的过零点，即电流的极值点。（3） ，为电容电压的过零点。在上述阻尼的情况中，有一种特殊情况，,此时、为一对共轭虚数， 代入到（5-44），（5-45），（5-46）式可得 （5-47） （5-48） （5-49）由此可见，、各量都是正弦函数，随时推移其振幅并不衰减。其波形如图5-41所示图5-41 LC零输入电路无阻尼时、波形3. ，临界阻尼情况在此条件下，特征方程具有重根，即 全微分方程（5-33）的通解为 根据初始条件可得 所以，很容易得到 （5-50） （5-51） （5-52）显然，、不作振荡变化，随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图5-38类似。此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线，所以将的过程称为临界非振荡过程，其电阻也被称之为临界电阻。5.7 二阶电路的零状态响应如果二阶电路中动态元件的储能（电容储存电场能与电感储存的磁场能）均为零时，其响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应。5.7.1 R L C串联电路的零状态响应电路如图5-47所示，开关S闭合前，电容和电感电流均为零。时，开关S闭合。图5-47 RLC串联电路的零状态响应以为电路的变量，根据VCR和KVL，有 （5-63）方程（5-64）为二阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成，一部分为非齐次方程的特解，另一部分为对应齐次方程的通解，即。方程（5-63）对应的齐次微分方程 （5-64）方程（5-64）与方程（5-33）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。将结论分别表示如下 1.，非振荡充电过程 电路响应表示为 其中、为特征根，表达式与（5-35）式相同。、和的波形如图5-48所示，图5-48 、和的波形图其中 ，是电感电压过零点，也是电流达到最大值的时刻。2.，振荡充电过程 电路响应表示为 其中，此情况下的充电过程也为非振荡充电。5.7.2 RLC并联电路的零状态响应二阶RLC并联电路如图5-49所示， ，。时，开关S断开。根据KCL有 图5-49 RLC并联电路的零状态响应如果以为待求变量，则有 （5-65）方程以（5-65）是二阶线性非齐次常微分方程，与（5-63）式的求解过程相同，其通解由特解和对应齐次微分方程通解两部分组成。如果为直流激励或正弦激励，则取稳态解为特解而通解与零输入响应形式相同，其积分常数有初始条件来确定。 5.8 二阶电路的全响应在前两节中所讨论的二阶电路中，要么只有初始储能，要么只有外施激励。分别得到二阶微分方程求解的方法非常相似。如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用，一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。例 电路如图5-51所示，已知，时开关S闭合，求开关闭合后电感中的电流。图5-51 例5-12图解：开关S闭合前，电感中的电流，具有初始储能；开关S闭合后，直流激励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。（1）列出开关闭合后的电路微