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2 1 1椭圆及标准方程 问题提出 1 2003年10月15日 我国自行研制的载人宇宙飞船 神舟 五号在酒泉卫星发射中心成功升空 实现了中华民族千年的飞天梦 2 生活中的椭圆 实验 用一块图板 两个图钉 一根无弹性的细绳 一支笔 你能画出几种不同的图形 如何画出的 结论设绳长为2a 两图钉间的距离为2c 则 当2a 2c时 轨迹是椭圆 当2a 2c时 轨迹是一条线段 是以两图钉为端点的线段 当2a 2c时 无轨迹 当c 0时 轨迹为圆 椭圆定义 平面内到两个定点f1 f2的距离之和等于常数 大于 f1f2 的点的集合叫作椭圆 这两个定点f1 f2叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离 f1f2 叫做椭圆的焦距 标准方程的推导 求轨迹方程的步骤 1 建系2 设点3 列式4 化简5 检验 以直线f1f2为x轴 以f1f2的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系 设 f1f2 2c 椭圆上任一点到两焦点的距离之和为2a a c 则f1 c 0 f2 c o 设p x y 为椭圆上任意一点 则 标准方程的推导 若坐标系的选取不同 则椭圆的标准方程也不同 如图 焦点在y轴上 例题分析例1 过椭圆2x2 4y2 1的一个焦点f1的直线交椭圆于a b两点 则a b与椭圆的另一个焦点f2构成的三角形的周长是 x y a b f2 f1 o 解 由题意知 椭圆的标准方程为 abf2的周长c ab bf2 af2 且 ab af1 bf1 c af1 bf1 bf2 af2 由椭圆的定义知 af1 af2 2a bf1 bf2 2a故 abf2的周长c 4a 例2 已知动点m满足方程 求动点m的轨迹及其标准方程 解 设f1 3 o f2 3 0 m x y 则点m满足关系 mf1 mf2 10 6 点m的轨迹是以f1 f2为焦点 长半轴长为5的椭圆 故设其标准方程为 2a 10 2c 6 b2 a2 c2 25 9 16故点m的轨迹方程为 小结 1 椭圆的定义 2 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 思考交流 1 如何用几何图形解释b2 a2 c2 a b c在椭圆中分别表示哪些线段的长 2 当
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