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最小二乘法及其在matlab中的应用 摘要：物理量之间的函数关系在实际研究工作中有很重要的作用。本文首先介绍了最小二乘法拟合的基本原理， 其次介绍了用Matlab实现曲线拟合以得到函数关系的方法和步骤，最后举例详细介绍了该方法的应用。关键词：最小二乘法；Matlab;曲线拟合1. 引言在现代科学研究中，物理量之间的相互关系通常是用函数来描述的。有些函数关系是由经典理论分析推到得出的，这些函数关系不仅为我们进一步的分析研究工作提供了物理的理论基础，也是我们可以十分方便的运用丰富的数学知识来解决物理问题。在现实的物理研究过程中，有一些问题很难由经典物理理论推导出物理量的函数表达式，或者此推导出的表达式也十分复杂，不利于进一步的分析。但由于研究需要，又很希望能得到这些量之间的函数关系，这时就可以利用曲线拟合的方法，用实验数据结合数学方法得到物理量之间的曲线函数表达式。在处理实验数据时，成用最小二乘法，通常使用计算器的统计功能来间接计算，计算量大，不但极易出现按键错误，而且不方便核查校对，耗时费力，同时也无法找出误差较大甚至错误的数据点。Matlab是Math Works公司推出的一种科学计算软件，是集数值计算、符号运算及出色的图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言。用Matlab处理实验数据仅需编写十几行几乎像通常笔算式的简练程序，运行后就可得到所需的结果。应用它既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又使繁琐、枯燥的数值计算变成种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线。2. 最小二乘法拟合的基本原理曲线拟合又称为函数逼近，是指对一个复杂函数f(x),求出一个简单的便于计算的函数p(X),它要求使f(x)与p(x)的误差在某种度量意义下最小。 我们把近似值yi*和实测值yi之差称为残差，即： =yi-yi*显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志。我们经常采用的三种衡量的准则为：使残差的最大绝对值最小，即： Max| |=min使残差的绝对值之和最小，即：|=min 使残差的平方和最小，即：|2=min 分析上面的三种准则，准则、的提法都比较自然，但是由于含有绝对值，所以不利于实际计算，而按照准则来确定参数，得到拟合曲线的方法称作曲线拟合的最小二乘法，它的计算比较简单，是工程实际当中常用的一种函数逼近的方法。 曲线拟合的最小二乘法问题可以描述为：根据已知的数据(xi,yi) (i=1,2,n),选取一个近似函数，使得|2=yi-2 最小。这种求近似函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法，函数称为这组数据的最小二乘法。3. 用Matlab实现曲线拟合Matlab软件是是集数值计算、符号运算及出色的图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言。用Matlab处理实验数据仅需编写十几行几乎像通常笔算式的简练程序，运行后就可得到所需的结果。应用它既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又使繁琐、枯燥的数值计算变成种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线。 本文通过举例详细介绍用Matlab实现最小二乘法处理实验数的方法。 算法： 输入各参量x,y 的测量值； 用Matlab语言中的plot函数x,y的曲线散点趋势图，以此图对比典型曲线图，选择合适的经验公式； 编写Matlab的函数，用来完成经验公式中待定系数的计算。 Matlab程序：将上面的算法编写成Matlab程序计算数据最小二乘拟合系数。Function S=squar_least(x,y,n,w)数据的最小二乘拟合，其中x,y为数据（x，y）坐标；n为数据拟合的次数,缺省是n=1;w为权值，缺省值w=1;s为数据拟合的系数。4. 举例说明例：已知在测量小车位移（yi）和时间（xi）关系时，测得的数据如下：表1 小车时间（xi）和位移（yi）关系xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 yi 0 2 4 7 8 9 12 14 15 18 解：首先画出数据的散点图，输入x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=0 2 4 7 8 9 12 14 15 18;subplot(1,2,1);plot(x,y,o)grid on选择经验公式： 我们从图中可以看出其基本为直线趋势，所以拟合的曲线应该是一次直线，我们分别用三次样条插值法和最小二乘法一次拟合进行比较，下面是借助Matlab工具进行作图，其程序如下：x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=0 2 4 7 8 9 12 14 15 18;p=polyfit(x,y,1)x1=0:0.01:9;y1=polyval(p,x1);x2=0:0.01:9;y2=interp1(x,y,x2,spline);subplot(1,2,2);plot(x1,y1,k,x2,y2,r)grid on 在图1左侧是实际测得的数据，右侧中的红色曲线表示三次样条插值法，黑色直线是最小二乘法拟合所得。从图1比较我们可以很明显的看出，插值曲线要求严格通过所给的每一个数据点，这会保留所给数据的误差，如果个别数据误差很大，那么差值效果显然不好。也就是说我们所给的数据本身不一定可靠，但由于所给的数据很多，这就要求从所给的一大堆看上去杂乱无章的数据中找出规律，在这种情况下我们利用最小二乘法拟合可以得到一条曲线来反映所给数据点总的趋势，以消除局部的波动。在上面的程序中，运行后得到p的值，即为多项式的系数，由高次向低次排列。我们利用polyval()函数，它是求多项式在某一出的函数值，其格式为y=polyval(p,x)式中，p是多项式的系数，y是拟合多项式在点x处的值。在上面例题中求得p= 1.9333 0.2000,即拟合曲线方程为p(x)=1.9333x+0.2000.结束语：本文详细说明了最小二乘拟合的原理和使用，并结合MATLAB,举例说明最小二乘在Matlab中的具体使用方法，且通过作图验证，通过以上的说明可以看出，采用所述方法进行两个量之间关系的曲线拟合是较为方便和实用的。参考文献：刘智敏，误差与数据处理，原子能出版社，1981.薛毅，数