辽宁省瓦房店市第八初级中学八年级数学上册《15.4.2 公式法》课件 人教新课标版.ppt

运用提公因式法分解因式的步骤是什么 你能将a2 b2分解因式吗 你是如何思考的 新课导入 旧知回顾 观察平方差公式 a b a b a2 b2的项 指数 符号有什么特点 1 左边是二项式 每项都是平方的形式 两项的符号相反 2 右边是两个多项式的积 一个因式是两数的和 另一个因式是这两数的差 3 在乘法公式中 平方差 是计算结果 而在分解因式 平方差 是得分解因式的多项式 由此可知如果多项式是两数差的形式 并且这两个数又都可以写成平方的形式 那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式 1 运用平方差公式分解因式 2 用完全平方公式分解因式 3 用分组法分解因式 4 用十字交叉法分解因式 知识与能力 教学目标 1 能较熟练地应用平方差公式 完全平方公式分解因式 2 能较熟练地应用分组法 十字交叉法分解因式 过程与方法 1 通过综合运用提公因式法 公式法 分组法和十字交叉法分解因式 进一步培养观察和联想能力 2 通过知识结构图培养归纳总结的能力 情感态度与价值观 1 应用平方差公式分解因式 2 用完全平方公式分解因式 3 会用分组法分解因式 4 会用十字交叉法分解因式 重点 教学重难点 1 灵活应用公式法分解因式 并理解因式分解的要求 2 灵活应用分组法和十字交叉法分解因式 3 如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式 难点 知识要点 平方差公式 把整式乘法的平方差公式 a b a b a2 b2反过来 就得到a2 b2 a b a b 即两个数的平方差 等于这两个数的和与这两个数的差的积 在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形 把余下的部分剪拼成一个矩形 通过计算两个图形的面积 验证了一个等式 则这个等式是 a a2 b2 a b a b b a b 2 a2 2ab b2c a b 2 a2 2ab b2d a 2b a b a2 ab 2b2 a 例1把下列各式因式分解 1 x z y z 2 4 a b 25 a c 3 4a 4a 4 x y z x y z 5 9 m n 2 m n 2 6 5x3y x y 10 x4y3 y x 2 4 原式 x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4x y z 3 原式 4a a 1 4a a 1 a 1 解 1 原式 x z y z x z y z x y 2z x y 2 原式 4 a b 25 a c 2 a b 5 a c 2 a b 5 a c 7a 2b 5c 3a 2b 5c 5 原式 3 m n 2 m n 2 3 m n m n 3 m n m n 3m 3n m n 3m 3n m n 4m 2n 2m 4n 4 2m n m 2n 6 原式 5x3y x y 10 x4y3 x y 2 5x3y x y 1 2xy2 x y 5x3y x y 1 2x2y2 2xy3 例2若n是整数 证明 2n 1 2 2n 1 2是8的倍数 证明 2n 1 2 2n 1 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 4n 2 8n因为n是整数 所以原式是8的倍数 1 652 642 2 5 42 4 62 解 652 642 65 64 65 64 129 1 129 解 5 42 4 62 5 4 4 6 5 4 4 6 10 0 8 80 例3计算下列各式的值 3x 2y 3 2y 4 1 5 6 9x2 4y2 6 解1 由 得 x 2y x 2y 5 将 代入 得 x 2y 5 得 x 3 代入 得 y 1 解 练一练 已知 x y 7 x y 5 求代数式x2 y2 2y 2x的值 解 x2 y2 2y 2x x2 y2 2x 2y x y x y 2 x y x y x y 2 5 9 45 完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2a2 2ab b2 a b 2 知识要点 如果一个多项式能写成两个数的平方和 加上 或减去 这两个数的积的两倍 那么就可以运用完全平方公式把它因式分解 它等于这两个数的和 或差 的平方 观察图形 根据图形的面积关系 不需要其他的线 便可以得到一个用来分解因式的公式 这个公式是 a2 2ab b2 a b 2 1 x4 2x2 1 解 原式 x2 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 2 x2 y2 2 4x2y2 解 原式 x2 y2 2 2xy 2 x2 y2 2xy x2 y2 2xy x y 2 x y 2 例5分解因式 3 3abx2 6abxy 3aby2 解 原式 3ab x2 2xy y2 3ab x y 2 4 m n 2 4m m n 4m2解 原式 m n 2 2 2m m n 2m 2 m n 2m 2 m n 2 x 2 x 1 x2 3x 2 x 2 x 1 x2 x 2 x 2 x 1 x2 3x 2 x 2 x 1 x2 x 2 x 2 x 3 x2 5x 6 x 2 x 3 x2 x 6 x 2 x 3 x2 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x a x b x2 a b x ab 1 2 3 4 5 6 7 8 利用十字交叉线来分解系数 把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 用十字相乘法把形如x2 px q的二次三项式分解因式 当q 0时 q分解的因数a b 当q 0时 q分解的因数a b 同号 异号 知识要点 q ab p a b x2 px q x2 a b x ab x x a b ax bx a b x x a x b 步骤 竖分二次项与常数项 交叉相乘 和相加 检验确定 横写因式 顺口溜 竖分常数交叉验 横写因式不能乱 1 x2 8x 12 2 x2 11x 12 3 x2 7x 12 4 x2 4x 12 x 2 x 6 x 6 x 2 x 3 x 4 x 12 x 1 5 x2 13x 12 x 1 x 12 6 x2 x 12 x 4 x 3 将下列各式因式分解 对二次三项式x2 px q进行因式分解 应重点掌握以下三个问题 1 掌握方法 拆分常数项 验证一次项 2 符号规律 当q 0时 a b同号 且a b的符号与p的符号相同 当q 0时 a b异号 且绝对值较大的因数与p的符号相同 3 书写格式 竖分横积 注意 知识要点 分组分解法分解因式 如果一个多项式适当分组 使分组后各组之间有公因式或可应用公式 那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式 mx my nx ny 两组 得 mx my nx ny 解1 原式 mx my nx ny m x y n x y x y m n 两组 得 mx nx my ny 解2 原式 mx nx my ny x m n y m n m n x y 练一练 1 分组时小组内能提公因式要保证组与组之间还有公因式可以提 2 分组添括号时要注意符号的变化 3 要将分解到底 不同分组的结果应该是一样的 注意 把下列各式因式分解 练一练 1 x2 2xy y2 z2 2 ab a b 1 解 1 原式 x2 2xy y2 z2 x y 2 z2 x y z x y z 2 原式 ab a b 1 a b 1 b 1 b 1 a 1 3 9a4 4a2 4a 1 解 9a4 4a2 4a 1 9a4 4a2 4a 1 9a4 2a 1 2 3a2 2a 1 3a2 2a 1 a 1 3a 1 3a2 2a 1 4 x 1 x 2 x 3 x 4 24 解 x 1 x 2 x 3 x 4 24 x2 x 2 x2 x 12 24 x2 x 2 14 x2 x 48 x2 x 6 x2 x 8 x 3 x 2 x2 x 8 2007年株洲市 分解因式 x4 x2 4 x4 x2 3 10 解 令x4 x2 m 则原式可化为 m 4 m 3 10 m2 m 12 10 m2 m 2 m 2 m 1 x4 x2 2 x4 x2 1 x2 2 x2 1 x4 x2 1 x2 2 x 1 x 1 x4 x2 1 如果a b 0 求a3 2b3 a2b 2ab2的值 原式 a3 a2b 2b3 2ab2 a2 a b 2b2 a b a b a2 2b2 练一练 0 解 4x4 1 4x4 4x2 1 4x2 2x2 1 2 2x 2 2x2 1 2x 2x2 1 2x 因式分解 4x4 1 因式分解是多项式乘法的逆运算 在多项式乘法运算时 整理 化简常将几个同类项合并为一项 或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零 在对某些多项式分解因式时 需要恢复那些被合并或相互抵消的项 即把多项式中的某一项拆成两项或多项 或者在多项式中添上两个仅符合相反的项 前者称为拆项 后者称为添项 拆项 添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解 注意 多项式 二项式 立方和差 添项 三项式 完全平方式 十字相乘法 拆项法 多于三项的多项式 分组分解 分组后提公因式 分组后运用公式 分组后十字相乘 提取公因式 平方差 课堂小结 2 a b x y b a x y 3 a b 2 2 a b 15 4 1 2a a2 5 x2 6x 9 y2 6 x2 4y2 x 2y 7 9x2 6xy y2 3x y 8 9x2 6xy y2 3x y 2 1 a3 ab2 a a b a b 2x a b a b 5 a b 3 a 1 2 x 3 y x 3 y x 2y x 2y 1 3x y 3x y 1 3x y 2 3x y 1 随堂练习 一 分解因式 二 分解因式 1 72 2 13x 7 2 2 8a2b2 2a4b 8b3 解 72 2 13x 1 2 解 8a2b2 2a4b 8b3 2 62 13x 7 2 2 6 13x 7 6 13x 7 2 13x 1 13x 13 26 13x 1 x 1 2b 4a2b a4 4b2 2b a4 4a2b 4b2 2b a2 2b 2 三 因式分解 x 2 x 3 1 x2 x 6 x 2 x 5 2 x2 3x 10 x 7 x 4 3 x2 3x 28 x 1 x 3 4 x2 4x 3 x 2 x 3 x 3 x 7 5 x2 5x 6 6 x2 4x 21 y 12 y 3 7 y2 9y 36 y 7 y 16 y 16 y 3 8 y2 9y 112 9 y2 19y 48 4 若a b 4 a2 b2 10求a3 a2b ab2 b3的值 解 原式 a3 a2b ab2 b3 a2 a b b2 a b a b a2 b2 a b 4 a2 b2 10 原式 4 10 40 5 已知 x y 2 2x 2y 1 0 求2x2 4xy 2y2的值 解 由题意 x y 2 2 x y 1 0 x y 1 2 0即x y 1 0 x y 1 2x2 4xy 2y2 2 x y 2 2 12 2 1 1 5a2 3a 2 2 3bc 4a c 3 2 p q 3p 2q 4 a 3 m 2 2 1 1 6b 1 6b 2 3 2x y 2x y 3 0 7p 12 0 7p 12 4 3 x y x y 3 1 1 5t 2 2 m 7 2 3 y 1 2 2 4 m n 2 5 5a 8 2 6 a b c 2 习题答案 4 1 原式 3 14 21 62 17