高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定1课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 2平面与平面垂直的判定 1 平面与平面垂直的定义 2 平面与平面垂直的判定定理 并能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直 平面和平面垂直 3 掌握二面角 二面角的平面角的概念 会求简单的二面角的大小 1 当开启房门时 为什么房门转到任何位置时 门所在平面都与地面垂直 2 当我们在使用笔记本电脑时 为了便于操作 需要将显示屏打开一定的角度 这样我们就会得到两个平面 如何来刻画两个平面之间的这种张角呢 当显示屏打开后角度又会怎样变化呢 1 平面内的一条直线把这个平面分成两部分 其中的每一部分都叫做 半平面 2 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 这条直线叫做二面角的棱 如图 1 中的ab 2 中的l 这两个半平面叫做二面角的 如图中的 二面角 面 3 以二面角棱上任意一点为端点 在两个半平面内分别作的两条射线 则这两条射线所成的角 叫做 4 二面角的大小 可以用来度量 二面角的平面角是几度 就说这个二面角是几度 垂直于棱 二面角的平面角 它的平面角 5 直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角 6 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面 7 两个互相垂直的平面通常画成下图的样子 此时 把直立平面的竖边画成与水平平面的垂直 平面 与 垂直 记作 互相垂直 横边 8 定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 这个定理说明 可以由证明平面与平面垂直 垂线 直线与平面垂直 探究1 刀刃可近似地看作二面角 要使刀锋利 则二面角的平面角应满足怎样的条件 提示 其平面角应尽量小 探究2 如图 检查工件的相邻两个平面是否垂直时 只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上 另一边在工作的另一个面上转动 观察尺边是否和这个面密合就可以了 这是为什么 提示 当它们十分密合之时 就说明这两个平面所成的二面角的平面角为90 所以这两个平面互相垂直 错解 平面pad 平面abcd 且bd 平面abcd bd 平面pad 又 bd 平面mbd 平面mbd 平面pad 错因分析 上述解法的错误在于误用两个平面垂直的性质定理为 两个平面互相垂直 则一个平面内的直线垂直于另一个平面 没有抓住面面垂直的性质定理的一个关键条件 直线必须与交线垂直 易错补练如图所示 已知abcd a1b1c1d1为长方体 且底面abcd为正方形 试问 截面acb1与对角面bd1垂直吗 解 四边形abcd是正方形 ac bd bb1 底面abcd ac b1b 又 bd bb1 b 故ac 对角面bd1 已知ac在截面acb1内 截面acb1 对角面bd1 1 平面与平面垂直的判定定理告诉我们 可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直 通常我们将其记为 线面垂直 则面面垂直 因此处理面面垂直问题 即空间问题 转化为处理线面垂直问题 进一步转化为处理线线垂直问题 即平面问题 来解决 2 判定平面与平面垂直的方法 定义法和定理法 3 两个平面垂直需要用 二面角 的概念 学习二面角要注意 1 二面角的大小是用平面角来度量的 2 二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置惟一确定的 与选择棱上的点的位置无关 3 平面角的两边分别在二面角的两个面内 且两边都与二面角的棱垂直 这个角所确定的平面与棱垂直 4 异面直线所成的角 斜线与平面所成的角 二面角统称为空间角 其求解方法相同 步骤是 第一步 作出它们的平面角 第二步 证明所作的角满足定义 第三步 将作出的角放在三角形中 计算出平面角的大小 又简称为 一作二证三计算 1 自二面角 l 的棱l上任选一点o 若 aob是二面角 l 的平面角 则必须具有条件 a ao bo ao bo b ao l bo lc ab l ao bo d ao l bo l且ao bo 解析 由二面角的平面角的定义可知选d 答案 d 2 rt abc在平面 内的射影是 a1b1c1 设直角边ab 则 a1b1c的形状为 a 直角三角形b 锐角三角形c 钝角三角形d 以上三种情况都有可能 解析 设 b为直角 由条件知ab 由线面平行的性质知ab a1b1 又bc ab bc a1b1 又知bb1 bb1 a1b1 a1b1 面bb1c a1b1 b1c a1b1c为直角三角形 答案 a 3 如图 过矩形abcd的顶点a作pa 平面abcd 图中互相垂直的平面有 a 2对b 3对c 4对d 5对 解析 pa 平面abcd pa 平面pab pa 平面pad 平面pab 平面abcd 平面pad 平面abcd 又da ab da pa da 平面pab 又da 平面pad 平面pab 平面pad 又 bc ab bc pa bc 平面pab 又 bc 平面pbc 平面pbc 平面pab 同理 平面pdc 平面pad 共有2 1 1 1 5对 答案 d 4 将锐角a为60 边长为a的菱形沿bd折成60 的二面角 则点a与点c之间的距离为 5 如图所示 将矩形abcd沿对角线bd把 abd折起 使a移到a1点 且a1在平面bcd上的射影o恰好在cd上 求证 平面a1bc 平面a1bd 证明 连接a1o 如图 a1在平面bcd上的射影o在cd上