高中数学 331利用导数判断函数的单调性课件 新人教B版选修1.ppt

3 3导数的应用 1 知识与技能借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 2 过程与方法通过对函数单调性与导数关系的研究 掌握用导数研究函数单调性的方法 3 情感 态度与价值观通过实例探究函数的单调性与导数的关系 体会知识间的相互联系和运动变化的观点 提高理性思维能力 本节重点 利用求导的方法判断函数的单调性 本节难点 函数的导数与单调性的关系 1 用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便 是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用 它充分体现了数形结合的基本思想 因此 必须重视对数学思想 方法进行归纳总结 提高应用数学思想 方法解决问题的熟练程度 达到优化解题思路 简化解题过程的目的 2 利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号 判断函数的单调区间 1 设函数y f x 在区间 a b 内可导 1 如果在区间 a b 内 f x 0 则f x 在此区间内是的 2 如果在区间 a b 内 f x 0 则f x 在此区间内是的 2 如果函数y f x 在x的某个开区间内 总有f x 0 则f x 在这个区间上严格增加 这时该函数在这个区间上为 如果函数y f x 在自变量x的某区间上 总有f x 0 则f x 在这个区间上为 单调递增 单调递减 严格增函数 严格减函数 例1 求函数f x 3x2 2lnx的单调区间 解析 函数的定义域为 0 解析 1 函数f x 的定义域为rf x 3x2 3 令f x 0 则3x2 3 0 即3 x 1 x 1 0 解得x 1或x 1 函数f x 的单调递增区间为 1 和 1 令f x 0 则3 x 1 x 1 0 解得 1 x 1 函数f x 的单调递减区间为 1 1 说明 实质上就是证明不等式f x 0在 0 2 上恒成立 解析 f x 的定义域为 1 1 函数f x 是奇函数 所以只需讨论函数在 0 1 上的单调性 当b 0时 f x 0 函数f x 在 0 1 上是增函数 又函数f x 是奇函数 而奇函数的图象关于原点对称 所以可知 当b 0时 f x 在 1 1 上是减函数 当b 0时 f x 在 1 1 上是增函数 例4 已知向量a x2 x 1 b 1 x t 若函数f x a b在区间 1 1 上是增函数 求t的取值范围 解析 解法1 f x a b x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t f x 3x2 2x t 函数f x 在 1 1 上是增函数 f x 0对x 1 1 恒成立 3x2 2x t 0在 1 1 上恒成立 解法2 依题意 得f x x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t f x 3x2 2x t 函数f x 在区间 1 1 上是增函数 f x 0对x 1 1 恒成立 又 f x 的图象是开口向下的抛物线 当且仅当f 1 t 1 0 且f 1 t 5 0时 即t 5时 f x 在区间 1 1 上满足f x 0 即f x 在 1 1 上是增函数 故t的取值范围是t 5 规律方法 已知函数的单调性 确定字母的取值范围是高考考查的重点内容 解决这类问题的方法主要有两种 其一 转化为函数求最值 其二 若能比较容易求出函数的单调区间时 可利用子区间来解决 特别注意的是 若导函数为二次函数时 也可借助图象 利用数形结合思想来解决 如上例中的解法2 解析 所给函数为非基本函数 故求单调区间和最值可利用导数分析 解题的重点是求导的准确性及函数定义域的确定 函数f x 的定义域为 0 2 一 选择题1 函数y x3的递减区间是 a b 0 c 0 d 不存在 答案 d 解析 y 3x2 0 x r 恒成立 函数y x3在r上是增函数 2 函数f x 2x sinx在 上 a 是增函数b 是减函数c 在 0 上增 在 0 上减d 在 0 上减 在 0 上增 答案 a 解析 f x 2 cosx 0在 上恒成立 3 2009 广东文 8 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 答案 d 解析 考查导数的简单应用 f x x 3 ex x 3 ex x 2 ex 令f x 0 解得x 2 故选d 二 填空题4 函数f x x3 x的增区间是 和 减区间是 5 已知函数f x x3 ax在区间 1 1 上是单调递增函数 则实数a的取值范围是