专题复习《线段和差最值问题》.doc

线段和差最值问题教学设计谷城县石花镇第一中学 李绍平一、教学目标1.了解解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理；2.训练学生运用以上基本策略和基本原理解决坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆等知识相关的线段和差最值问题；3.通过解决问题培养学生转化问题的能力，以及及时总结反思的良好习惯.二、学情分析从心理特点来看，九年级的学生思想成熟,有想法,对直观事物的感知能力强,想象力丰富,正逐步从形象思维过渡到抽象思维.在知识储备上,他们在八年级上册已经学习过最短路径问题,对坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆等知识也进行了复习，具备一定的解决问题的能力，可以主动参与、思考、交流.但由于学生归纳总结、综合实践能力不足,很难发现数学知识之间的联系,因此在解决实际问题时常常感到无处着手.所以,我们可以在教学过程中进行一些知识融合，使他们的分析问题、解决问题、总结反思等能力进一步提高.三、重点难点1.了解解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理；2.综合运用所学知识解决线段和差最值问题；3.如何把线段和最小、线段差最大问题转化到同一直线上.四、教学过程（一）情景引入1.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地牧马人在河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 2.如图，若A地、B地在河的同侧牧马人在河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 师生活动:情景引入1，问题简单，学生很快回答出来.在情景引入1的铺垫下，学生自然想到作对称点来解决情景引入2问题.设计意图: 教师通过改编后的“将军饮马问题” 引入，虽然有悖实际，但从理论上看，由易到难，能很好地服务于教学，让学生体会数学知识之间的联系并产生探索研究的兴趣，符合学生认知特点.（二）合作探究一 1.如图，在抛物线的对称轴上找一点P，使点P到点B与点C的距离之和最小，求出点P的坐标 .方法归纳：求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”的解题方法：(1)作其中一点关于这条直线的对称点； (2)连接这个对称点与另一点与直线相交；(3)交点即为所求点，此线段长即为该最小距离. 2.变式如图，在抛物线的对称轴上找一点P，使PAPC的值最大，求出点P的坐标 .方法归纳：求“直线上一点到这条直线异侧两点的距离差最大时”的解题方法：(1)作其中一点关于这条直线的对称点；(2)连接另一点与这个对称点并延长与直线相交；(3)交点即为所求点，此时两线段差即为该距离差的最大值. 师生活动:合作探究一的第1题是一种常见题型，学生独立思考后回答解题思路，并对求点P的坐标提出不同的方法.合作探究一的第2题是第1题变式，不常见，学生小组讨论交流后回答解题思路，总结解题方法.设计意图:让学生通过解决线段和最小、线段差最大问题，体会解决线段和差最值问题基本策略和基本原理.（三）合作探究二 1.如图，CF= BC，E是AB中点，在x轴 、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.方法归纳：求一个动点使线段和最小的问题，通常需要作一次对称；而求两个动点使线段和最小的问题，通常需要作两次对称.2.拓展如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接EN、AM、CM.1 求证：AMBENB；2 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由. 方法归纳：求几条线段和最小的问题，通常是把这几条线段转移到同一条直线上去.师生活动:合作探究二的第1题，学生尝试回答解题思路，并相互补充，最后达成共识：求两个动点使线段和最小的问题，通常需要作两次对称，将所求线段转移到同一条直线上去.合作探究二的第2题，是几条线段和最小的问题的拓展延伸，第的问有一定难度，若学生小组讨论交流后还存在困难，教师适当点拨:（1）由第（1）问的三角形全等可知线段 AM、EN有何数量关系？（2）由题目中的将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，联想到BMN是什么三角形？从而可知线段BM 、MN有何数量关系？（3）此时，AMBMCM就转化为ENMNCM，当M点在何处时，可使ENMNCM的值最小？师生共析，得出解题思路，总结解题方法。设计意图:通过解决合作探究二问题，拓展学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力，感悟转化思想，丰富数学活动经验. （四）巩固练习1. 如图， 中， 且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上任一点，PB+PC的最小值为_.2. 如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上，BM2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最小值为_. 3. 如图,MN为O的直径， MN4， AMN 30,点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则 PAPB的最小值为_. 4.如图，AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q、R，则PQR周长的最小值为_. 5.设G为y轴上一点，点P从点M出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点 P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍（1）求 OMA的度数（2）试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）师生活动: 第（1）（4）题学生独立完成后回答，并相互补充. 第（5）题有一定难度，若学生存在困难，教师适当点拨.设计意图:让学生进一步巩固解决线段和差最值问题的基本策略和基本方法.（五）反思小结教师与学生一起回顾本节课的知识，并请学生回答以下问题：1. 本节课主要利用什么数学知识解决了哪类问题？ 2. 解决这类问题的基本方法是什么？在解决这类问题的过程中，主要用到了什么数学思想？设计意图:通过回顾本节课的知识，引导学生把握解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理，感悟转化思想的重要价值.（六）课后作业中考复习指南:P155 第5题；P152 第8题.设计意图:检查学生解决线段和差最值问题的能力.五、教学反思近几年来，线段和差最值问题常在中考题中出现，学生虽在八年级上册轴对称这一章的课题学习中学习过最短路径问题,但这类问题综合性较强,难度较大，学生常常无法找到解决问题的突破口.为了让学生掌握解决这类问题的基本策略、基本原理和基本思想，我在九年级下学期的第二轮复习中，对此进行了专题复习.在教学中,我通过改编后的“将军饮马问题” 引入，先设计了两点在一条直线异侧确定最短路径的问题,又变式为两点在一条直线同侧确定最短路径的问题，帮助学生回顾旧知识，明确解决问题的基本原理，从理论上看，由易到难，让学生体会到数学知识之间的联系并产生探索研究的兴趣，符合学生认知特点.接着，探究与坐标系、抛物线相关的线段和最小问题，再变式为求线段差最大问题，让学生初步体会解决线段和差最值问题基本策略. 然后, 探究求两个动点使线段和最小的问题，并适当拓展延伸，让学生感知到求几条线段和最小的问题，基本思想就是把这几条线段转移到同一条直线上去.既拓展了学生的思维，培养了学生分析问题、解决问题的能力，又让学生感悟到转化思想的重要价值，丰富了学生的数学活动经验.最后，通过一组练习，进一步训练学生运用以上基本策略和基本原理解决坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆等知识相关的线段和差最值问题. 整个教学过程紧凑而不失活泼,注重以学生为主体，努力给学生营造民主、平等而又充满乐趣的课堂，充分让学生参与教学，在自主探究、合作交流的过程中，获得良好的情感体验.本节课在每一教学环节中，都能以老师为主导，学生为主体由浅入深的展开教学，并能及时总结方法，很好地将“线段和差最值问题”转化为“两点之间，线段最短”问题，扣住了重点又突破了难点，同时注重了数学思想