全国高考数学复习导数在研究函数中的应用第二课时利用导数研究函数的极值与最值习题理.docx

第二课时利用导数研究函数的极值与最值【选题明细表】知识点、方法题号导数研究函数极值1,2,4,7,8,12导数研究函数最值3,5,10,13导数研究函数的极值、最值综合题6,9,11,14基础对点练(时间:30分钟)1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象,给出下列命题:-3是函数y=f(x)的极值点;-1是函数y=f(x)的极小值点;y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.则正确命题的序号是(B)(A)(B)(C)(D)解析:由导数的图象知f(-3)=0,且两边异号,-3是函数y=f(x)的极值点,正确;x=-1处,f(-1)=0,但左右同号,错误;x=0处切线的斜率应该大于零,错误;f(x)在(-3,1)上大于等于零,是增函数,正确.故选B.2.下列命题中正确的是(B)(A)函数y=x3-x2+x有两个极值点(B)函数y=48x-x3有两个极值点(C)函数y=x3有且只有一个极值点(D)函数y=ex-x无极值点解析:函数y=x3-x2+x求导得y=3x2-2x+1,=(-2)2-43=-80恒成立,函数单调递增,不存在极值点,A错误;函数y=48x-x3求导得y=48-3x2=3(4-x)(4+x),存在两个变号零点,所以函数y=48x-x3有两个极值点,B正确;函数y=x3求导得y=3x20恒成立,所以函数y=x3单调递增,不存在极值点,C错误;函数y=ex-x的导数y=ex-1,令y=0得x=0,且当x0时,y0时,y0,也就是说函数y=ex-x在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,所以x=0是一个极小值点,D错误.故选B.3.已知a1,f(x)=x3+3|x-a|,若函数f(x)在-1,1上的最大值和最小值分别记为M,m,则M-m的值为(C)(A)8(B)-a3-3a+4(C)4(D)-a3+3a+2解析:当x-1,1时,f(x)=x3+3(a-x)=x3-3x+3a(a1),对函数求导得f(x)=3(x-1)(x+1).当-1x1时,f(x)0,所以函数f(x)在区间-1,1上单调递减,所以M=f(-1)=3a+2,m=f(1)=3a-2,所以M-m=4.故选C.4.已知f(x)=x3-ax2+4x有两个极值点x1,x2,且f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极小值,则实数a的取值范围是(A)(A)(,+)(B),+)(C)(-,)(D)(-,解析:由题意得f(x)=3x2-2ax+4.因为f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极小值,所以f(x)=0的两个根中x1(0,1),x21,所以f(0)=40,f(1)=7-2a.故选A.5.若函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间-4,4上的最大值为10,则其最小值为(B)(A)-10(B)-71(C)-15(D)-22解析:因为f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).令f(x)=0,解得x=-1或3.列表如下:x-4,-1)-1(-1,3)3(3,4f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知当x=-1时,f(x)取得极大值,且f(-1)=-1-3+9+k=5+k,而f(4)=43-342-94+k=k-205+k,故最大值为f(-1)=5+k,所以5+k=10,解得k=5.所以f(x)=x3-3x2-9x+5.又极小值为f(3)=-22,区间端点值f(-4)=-71.所以函数f(x)在x=-4取得最小值-71.故选B.6.(2016广西北海市高考一模)已知函数f(x)=ax-ln x,当x(0,e(e为自然对数的底数)时,函数f(x)的最小值为3,则a的值为(B)(A)e(B)e2(C)2e(D)2e2解析:函数的定义域为(0,+),函数的导数f(x)=,当a0时,f(x)0,f(x)在x(0,e上单调递减,最小值f(e)0时,f(x)=0的根为.当0时,f(x)在x(0,)上单调递减,在(,e)上单调递增.f(x)min=f()=1-ln=3,解得a=e2,当e,即0a时,f(x)0,f(x)在x(0,e)上单调递减,f(e)0,与题意不符.综上所述a=e2,故选B.7.已知函数f(x)=-k(+ln x),若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为(A)(A)(-,e(B)0,e(C)(-,e)(D)0,e)解析:因为函数f(x)=-k(+ln x),所以函数f(x)的定义域是(0,+),f(x)=-k(-+)=.因为x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,所以x=2是导函数f(x)=0的唯一根.所以ex-kx=0在(0,+)无解,ke.故选A.8.已知函数f(x)=x3-3ax+b的单调递减区间为(-1,1),其极小值为2,则f(x)的极大值是.解析:依题意,f(x)的单调递减区间为(-1,1),由f(x)=3x2-3a=3(x-)(x+),可得a=1,由f(x)=x3-3ax+b在x=1处取得极小值2,可得1-3+b=2,故b=4.所以f(x)=x3-3x+4的极大值为f(-1)=(-1)3-3(-1)+4=6.答案:69.(2017湖北襄阳四中高三模拟)若函数f(x)=x2-ln x+1在其定义域内的一个子区间(a-1,a+1)内存在极值,则实数a的取值范围是.解析:函数的定义域为(0,+),令f(x)=2x-=0,解得x=或x=-(舍去),所以函数在子区间(a-1,a+1)内存在极值等价于(a-1,a+1) (0,+),即解得1a0,求函数F(x)=af(x)在a,2a上的最小值.解:(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=.令f(x)=0,得x=e,因为当x(0,e)时,f(x)0,f(x)在(0,e)上为增函数;当x(e,+)时,f(x)0,由题知F(x)=在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以F(x)在a,2a上的最小值F(x)min=minF(a),F(2a).因为F(a)-F(2a)=ln ,所以当02时,F(a)-F(2a)0,F(x)min=F(2a)=ln 2a.能力提升练(时间:15分钟)11.导学号 18702117若过点P(a,a)与曲线f(x)=xln x相切的直线有两条,则实数a的取值范围是(B)(A)(-,e)(B)(e,+)(C)(0,) (D)(1,+)解析:设切点为(m,mln m),由f(x)=xln x的导数为f(x)=1+ln x,可得直线的斜率为1+ln m.由切线经过点P(a,a),可得1+ln m=,化简可得=,(*)由题意可得方程(*)有两解.设g(m)=,可得g(m)=,当me时,g(m)0,g(m)递减;当0m0,g(m)递增.可得g(m)在m=e处取得最大值,且m0时,g(m)-,m+时,g(m)0,即有0e.故选B.12.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则(C)(A)当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值(B)当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值(C)当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值(D)当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值解析:当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),此时f(x)=ex(x-1)+(ex-1)=exx-1,所以A,B项均错.当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,此时f(x)=ex(x-1)2+(2x-2)(ex-1)=(x-1)ex(x+1)-2,易知g(x)=ex(x+1)-2的零点介于0,1之间,不妨设为x0,则有x(-,x0)x0(x0,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值故f(x)在x=1处取得极小值.故选C.13.已知函数f(x)=ln x-(mR)在区间1,e取得最小值4,则m=.解析:因为f(x)=+=,当m0时,f(x)0,f(x)是1,e上的增函数,函数f(x)在x=1处取最小值,则-m=4,即m=-4不合题意;当m0时,当-m1,即-1m0,f(x)是增函数,故函数f(x)在x=1处取最小值,则-m=4,即m=-4不合题意;当-me时,即m-e时,f(x)0,f(x)是减函数,函数f(x)在x=e处取最小值,则1-=4,故m=-3e合题意;当1-me,即-em-1时,函数f(x)在x=-m处取最小值,则ln(-m)+1=4,即m=-e3,不合题意.综上m=-3e.答案:-3e14.已知函数f(x)=xex+ax2+2x+1在x=-1处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数g(x)=f(x)-1在-2,2上的值域.解:(1)f(x)=ex+xex+2ax+2,因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=0,解得a=1.经检验a=1适合,所以f(x)=xex+x2+2x+1,f(x)=(x+1)(ex+2),当x(-,-1)时,f(x)0,所以f(x)的单调递增区间为(-1,+).(2)因为g(x)=f(x)-1=xex+x2+2x,所以g(x)=f(x)=ex+xex+2x+2.由(1)知g(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,+)上单调递增,故g(x)在-2,2上的极小值也是最小值.g(x)min=g(-1)=-1.又g(-2)=-,g(2)=8+2e2g(-2),所以g(x)max=8+2e2,所以函数g(x)在-2,2上的值域为-1,8+2e2.好题天天练1.(2016河北衡水中学高考模拟)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象在A,B两点处的切线重合,则实数a的取值范围是(C)(A)(-2,-1)(B)(1,2)(C)(-1,+)(D)(-ln 2,+)解题关键:利用导数几何意义求出两段函数的切线,根据切线重合, 将其中一个切点横坐标表示为a的函数,求最值.解析:当x0时,f(x)=ln x的导数为f(x)=,设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)为该函数图象上的两点,且x1x2,当x1x20或0x1x2时,f(x1)f(x2),故x10x2,函数f(x)在点A(x1,f(x1)处的切线方程为y-(+x1+a)=(2x1+1)(x-x1);函数f(x)在点B(x2,f(x2)处的切线方程为y-ln x2=(x-x2).两直线重合的充要条件是=2x1+1,ln x2-1=-+a,由及x10x2得01,由得a=ln x2+(-1)2-1,令t=,则0t1,且a=-ln t+t2-t-,设h(t)=-ln t+t2-t-(0t1),则h(t)=-+t-h(1)=-ln 1-1=-1,则a-1,可得函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-1,+).故选C.2.导学号 18702118已知函数f(x)=2ex+ax