2012数学综合押轴题(含答案).doc

1 2012 综 合 题 中考押题 1 两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图 方式摆放 其中 ACB DEB 90 A D 30 点 E 落在 AB 上 DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F 1 求证 AF EF DE 2 若将图 中的绕点 B 按顺时针方向旋转角 且 其它条件DBE 060 不变 请在图 中画出变换后的图形 并直接写出 中的结论是否仍然成立 3 若将图 中的 DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 且 其它条 60180 件不变 如图 你认为 中的结论还成立吗 若成立 写出证明过程 若不成立 请写 出 AF EF 与 DE 之间的关系 并说明理由 解 1 证明 2 结论 AF EF DE 填成立还是不成立 3 2 2 已知 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 以点 P 2 为圆心的圆与 y 轴相切于3 点 A 与 x 轴相交于 B C 两点 点 B 在点 C 的左边 1 求经过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 在 1 中的抛物线上是否存在点 M 使 MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 如果 2 1 存在 请直接写出所有满足条件的 M 点的坐标 如果若不存在 请说明理由 3 如果一个动点 D 自点 P 出发 先到达 y 轴上的某点 再 到达 x 轴上某点 最后运动到 1 中抛物线的顶点 Q 处 求使点 D 运动的总路径最短的路径的长 3 在直角坐标系中 O 为坐标原点 点 A 的坐标为 2 2 点 C 是线段 OA 上的一个动 点 不运动至 O A 两点 过点 C 作 CD x 轴 垂足为 D 以 CD 为边在右侧作正方形 CDEF 连接 AF 并延长交 x 轴的正半轴于点 B 连接 OF 设 OD t 求 tan FOB 的值 用含 t 的代数式表示 OAB 的面积 S 是否存在点 C 使以 B E F 为顶点的三角形与 OFE 相似 若存在 请求出所有 满足要求的 B 点的坐标 若不存在 请说明理由 y x BE F D O A C y xO A 备用图 1 y xO A 备用图 2 3 4 本题满分 10 分 1 阅读理解先观察和计算 并用 填空 4 9 2 94 4 4 2 2 3 2 请猜想 当则 44 32 0 0 baba ab2 如 展开 6 5 0 56 2 0562 5 6 22 562 请你给出猜想的一个相仿的说明过程 2 知识应用 如图 O 中 O 的半径为 5 点 P 为 O 内一个定点 OP 2 过点 P 作两条互 相垂直的弦 即 AC BD 作 ON BD OM AC 垂足为 M N 求 的值 22 ONOM 在上述基础上 连接 AB BC CD DA 利用 中的结论 探求四边形 ABCD 面 积的最大值 5 本题满分 12 分 某种规格小纸杯的侧面是由一半径为 18cm 圆心角是 60 的扇形 OAB 剪去一半径 12cm 的同心圆扇形 OCD 所围成的 不计接缝 如图 1 1 求纸杯的底面半径和侧面积 结果保留 2 要制作这样的纸杯侧面 如果按照图2 所示的方式剪裁 不允许有拼接 至少要用多 大的矩形纸片 3 如图 3 若在一张半径为 18cm 的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面 最多能裁出多少 个 4 60 60 图图3 3图图2 2图图1 1 2 2 1 1 D B C D B C O AA O 6 本题满分 10 分 在平面直角坐标系中 点 B 的坐标为 0 10 点 P Q 同时从 O 点出发 在线段 OB 上做往返运动 点 P 往返一次需 10s 点 Q 往返一次需 6s 设动点 P Q 运动的时间为 x s 动点离开原点的距离是 y 1 当 0 x 10 时 在图 中 分别画出点 P 点 Q 运动时关于 x 的函数图象 并回答 点 P 从 O 点出发 1 个往返之间与点 Q 相遇几次 不包括 O 点 点 P 从 O 点出发 几秒后与点 Q 第一次相遇 2 如图 在平面直角坐标系中 OCDE 的顶点 C 6 0 D E B 在同一直线上 分别 过点 P Q 作 PM QN 垂直于 y 轴 P Q 为垂足 设运动过程中两条直线 PM QN 与 OCDE 围成图形 阴影部分 的面积是 S 试求当 x 0 x 5 为多少秒时 S 有最大值 最 大值是多少 7 本题满分 10 分 定义 只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形 连结它的两个非 直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径 1 如图 1 损矩形 ABCD ABC ADC 90 则该损矩形的直径是线段 2 在线段 AC 上确定一点 P 使损矩形的四个顶点都在以 P 为圆心的同一圆上 即损即损 矩形的四个顶点在同一个圆上矩形的四个顶点在同一个圆上 请作出这个圆 并说明你的理由 友情提醒 尺规作图 不要求写作法 但要保留作图痕迹 5 1 C Ox y 52347 1 2 1 2 2 3 4 5 16 3 如图 2 ABC 中 ABC 90 以 AC 为一边向形外作菱形 ACEF D 为菱形 ACEF 的中心 连结 BD 当 BD 平分 ABC 时 判断四边形 ACEF 为何种特殊的四边形 请说明理由 若此时 AB 3 BD 求 BC 的长 4 2 8 本小题 11 分 已知抛物线的顶点坐标为 且经过点 C 1 0 若此抛物 527 216 线与 x 轴的另一交点为点 B 与 y 轴的交点为点 A 设 P Q 分别为 AB OB 边上的动 点 它们同时分别从点 A O 向 B 点匀速运动 速度均为每秒 1 个单位 设 P Q 移 动时间为 t 0 t 4 1 求此抛物线的解析式 并求出 P 点的坐标 用 t 表示 2 当 OPQ 面积最大时求 OBP 的面积 3 当 t 为何值时 OPQ 为直角三角形 4 OPQ 是否可能为等边三角形 若可能请求出 t 的值 若不可能请说明理由 并 改变点 Q 的运动速度 使 OPQ 为等边三角形 求出此时 Q 点运动的速度和此 时 t 的值 A BC D 图 1 E F D C B A 图 2 6 9 10 分 已知 如图 1 AB BD CD BD 垂足分别为 B D AD 和 BC 相交于点 E EF BD 垂足为 F 我们可以证明成立 不要求考生证明 若将图 111 ABCDEF 1 中的垂线改为斜交 如图 2 AB CD AD BC 相交于点 E 过点 E 作 EF AB 交 BD 于点 F 则 1 还成立吗 如果成立 请给出证明 EFCDAB 111 如果不成立 请说明理由 2 请找出 S ABD S BED和 S BDC间的关系式 并给出证 明 10 如图 1 凸四边形 如果点满足ABCDP 且 APDAPB BPCCPD 则称点为四边形的一个半等角点 PABCD 1 在图 2 正方形内画一个半等角点 且满足 ABCDP 第 22 题图 1 C DF B A E F F C C D D E E A A B B 第 22 题图 2 7 2 在图 3 四边形中画出一个半等角点 ABCDP 保留画图痕迹 不需写出画法 11 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架 如图 中的一种 设竖档 AB x 米 请根据以上图案回答下列问题 题中的不锈钢材料总长度均指各图 中所有黑线的长度和 所有横档和竖档分别与 AD AB 平行 1 在图 中 如果不锈钢材料总长度为 12 米 当 x 为多少时 矩形框架 ABCD 的面积 为 3 平方米 2 在图 中 如果不锈钢材料总长度为 12 米 当 x 为多少时 矩形框架 ABCD 的面积 S 最大 最大面积是多少 3 在图 中 如果不锈钢材料总长度为 a 米 共有 n 条竖档 那么当 x 为多少时 矩 形框架 ABCD 的面积 S 最大 最大面积是多少 12 阅读理解 给定一个矩形 如果存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形的周 长和面积的一半 则这个矩形是给定矩形的 减半 矩形 如图矩形是矩形 ABCD 1111 ABC D 宽 3 1 1 1 1 长 4 8 的 减半 矩形 请你解决下列问题 1 当矩形的长和宽分别为 1 2 时 它是否存在 减半 矩形 请作出判断 并请说明理 由 2 边长为的正方形存在 减半 正方形吗 如果存在 求出 减半 正方形的边长 如a 果不存在 说明理由 13 已知抛物线 点 F 1 1 1 C 2 1 1 1 2 yxx 求抛物线的顶点坐标 1 C 若抛物线与 y 轴的交点为 A 连接 AF 并 1 C 延长交抛物线于点 B 求证 1 C 11 2 AFBF 抛物线上任意一点 P 连接 PF 并延长交抛物线 1 C PP xy 01 P x 于点 Q 试判断是否成立 请说明理由 1 C QQ xy 11 2 PFQF 将抛物线作适当的平移 得抛物线 若时 1 C 2 C 2 2 1 2 yxh 2xm 2 yx 恒成立 求 m 的最大值 宽 2 长 12D C BA 9 参考答案 1 解 连结 BF 如图 ABC DBE BC BE AC DE ACB DEB 90 BACB BEF 90 BF BF Rt BFC Rt BFE CF EF 又 AF CF AC AF EF DE 画出正确图形如图 成立 不成立 此时 AF EF 与 DE 的关系为 AF EF DE 理由 连接 BF 如图 ABC DBE BC BE AC DE ACB E 90 ACB E 90 又 BF BF Rt BFC Rt BFE CF EF 又 AF CF AC AF EF DE 中的结论不成立 正确的 结论是 AF EF DE 2 解 1 联结 PA PB PC 过点 P 作 PG BC 于点 G P 与 y 轴相切于点 A PA y 轴 y x G CB A P O 10 P 2 OG AP 2 PG OA 33 PB PC 2 BG 1 CG 1 BC 2 OB 1 OC 3 A 0 B 1 0 C 3 0 3 根据题意设二次函数解析式为 1 3 ya xx 解得 a 0 1 03 3a 3 3 二次函数的解析式为 2 34 3 3 33 yxx 2 存在 点 M 的坐标为 0 3 0 4 7 338 3 3 2 34 3 3 33 yxx 3 3 2 3 3 34 3 3 22 xxx 抛物线的顶点 Q 2 作点 P 关于 y 轴的对称点 P 则 P 2 3 3 3 联结 P Q 则 P Q 是最短总路径 根据勾股定理 可得 P Q 8 3 3 3 1 作 AH x 轴于 H 交 CF 于 P A 2 2 AH OH 2 AOB 45 CD OD DE EF t 1 tan 22 t FOB t 2 CF OB ACF AOB 即 APCF AHOB 2 2 tt OB 2 2 t OB t 12 02 22 OAB t SOB AHt t 3 要使 BEF 与 OFE 相似 FEO FEB 90 只要或即 或 OEEF EBEF OEEF EFEB 2BEt 1 2 EBt 当时 2BEt 4BOt 舍去 或 B 6 0 2 4 2 t t t 0t 3 2 t 当时 1 2 EBt y x P P A BC Q O 11 当 B 在 E 的右侧时 5 2 OBOEEBt 舍去 或 B 3 0 25 22 t t t 0t 6 5 t 当 B 在 E 的左侧时 如图 3 2 OBOEEBt 舍去 或 B 1 0 12 分 23 22 t t t 0t 2 3 t 4 解 1 4 分 分 2 0 化简得 a b 2 5 分 分 ba ab 2 连接 MN OM BD ON AC AC BD 所以四边形 MPNO 是矩形 所以 OP MN 所 以 22 QNOM 4 22 OPMN 3 连接 OC 同理 25 2222 OMOMOCMC 22 25ONBN S CMBNCMBNBDAC 222 2 1 2 1 46450 50 2222 ONOMCMBN 5 1 设纸杯底面半径为 r 依题意 2 r r 2cm 122 6 1 S侧 182 122 30 cm2 22 6 1 6 1 OBOA 6 1 2 连接 AB 过 O 作 OE CD 交弧于 F OA OB AOB 60 度 ABO 是等边三角形 AB OA 18 又 CDO 也是等边三角形 DCO BAO AB CD AB 即为长方形的长 OC 12 OE CD CE DE 6 EO 6 EF 18 633 即所需长方形的两边长分别为 18cm 和 18 6cm 3 y x B E F D O A C 12 3 扇形 OAB 的圆心角为 60 度 在以 O 为圆心 18cm 为半径的大圆和以 12cm 为半径的小圆组成的圆环中可剪出 6 个圆环 即小纸杯的侧面 如图 剩下的一个半径 12 cm 的圆中可按照如下方法剪圆环 作正六边形 EFGHID 显然边 长为 12cm 将 DE FG HI 两边延长 相交于点 A B C 则以 A B C 为圆心 18cm 为半径画弧 三条弧相切于 DE FG HI 的中点 显然又可剪 3 个 故最多可剪出 9 个纸杯的侧面 E F B DC A 60 图 3 o H G DC BA 60 O I H GF E D C B A 6 1 实线表示点 P 的函数图像 虚线表示点 Q 的函数图像 2 分 点 P 从 O 点出发 1 个往返之间与点 Q 相遇 2 次 4 分 点 P 从 O 点出发 3 75 秒后与点 Q 第一次相遇 6 分 2 S OC PQ 6PQ 当 0 x 3 时 S 6 8x 当 x 3 时 Smax 24 10 2 3 xx 当 3 x 3 75 时 S 6 20 2x 120 32x 当 x 3 时 Smax 24 10 3 x 当 3 75 x 5 时 S 6 2x 20 32x 120 当 x 5 时 Smax 40 10 3 x 综上所述 当 x 5 时 Smax 40 7 1 该损矩形的直径是线段 AC 1 分 13 2 取 AC 中点 O 以 O 为圆心 为半径作圆 3 分 1 2 AC 3 正方形 理由 构造 O 使点 A B C D 都在圆上 ABC 90 且 BD 平分 ABC 1 CBD ABD 45 又 菱形 ACEF AE 平分 CAF CAF 90 菱形 ACEF 是正方形 7 分 过点 A 作 AG BD 于 G BC 5 8 8 343 2 1 2 1 2 1 8 15 2 5 8 15 2 5 10 3 10 3 2 3 5 3 3 2 1 2 1 2 2 2 2 AOBOBP OPQ OPQ SS ABOP St ttt ttPNOQS NxPNP ttP tPMtAM tPMAM AB AP OB PM AO AM MyPMP ABAyx Bxxy xy a xay 5 3 3 5 4 5 4 5 3 543 1 5 3 0 30 0 4 1 40 16 27 2 5 4 3 4 3 0 1 16 27 2 5 1 21 2 2 1 分 分 4 分 分 3 分 分 图 1 图 2 注 其余解法参照得分 注 其余解法参照得分 14 4 22 234 3 55 OPtt 22 231 3 55 PQtt OP PQ OPQ 不可能是等边三角形 9 分 分 设 Q 的速度为每秒 k 个单位时 OPQ 为等边三角形 得 4 2 5 ktt 8 5 k 334 38 2255 PNOPtt 得 11 分 分 4 33 3 55 tt 20 315 13 t 9 题答案 证明 1 AB EF EF AB DF DB CD EF EF CD BF DB EF AB EF CD DF DB BF DB DB DB 1 1 AB 1 CD 1 EF 2 关系式为 1 S ABD 1 S BDC 1 S BED 证明如下 分别过 A 作 AM BD 于 M 过 E 作 EN BD 于 N 过 C 作 CK BD 交 BD 的 延长线于 K 由题设可得 1 AM 1 CK 1 EN 2 BD AM 2 BD CK 2 BD EN 即 1 1 2 BD AM 1 1 2 BD CK 又 1 2 BD AM S ABD 1 2 BD CK S BCD 1 2 BD EN S BCD 1 S ABD 1 S BDC 1 S BED 10 解 1 所画的点在上且不是的中点和的端点 如图 2 PACACAC 2 画点关于的对称点 延长交于点 点为所求 不写文字说明不BAC B DB ACPP 扣分 说明 画出的点大约是四边形的半等角点 而无对称的画图痕迹 给 1 分 PABCD OPQt tt ttttt OQPQOP OPQ t tt BO BQ AB BP OQP 3 15 3 5 1 5 3 3 5 4 5 3 3 390 0 4 4 5 5 90 3 21 2 2222 222 5 分 分 8 分 分 6 分 分 图 3 B 图 图 2图 图 图 3图 A C P D A B C D B P 15 11 答案 解 1 由题意 BC 的长为 4 x 米 依题意得 x 4 x 3 即 x2 4x 3 0 解得 x1 1 x2 3 即当 AB 的长度为 1 米或 3 米时 矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米 2 S x 4 x x2 4x x 2 3 4 3 4 3 4 3 3 2 当 x 时 S 有最大值 3 当 x 为 时 矩形框架 ABCD 的面积 S 最大 最大面积是 3 2 3 2 3 平方米 3 S x a nx x2 x x 2 1 3 n 3 a 3 n 3 a 2n a2 12n 0 当 x 时 S 有最大值 S最大 n 3 a 2n a2 12n 因此 当 x 为时 矩形框架 ABCD 的面积 S 最大 最大面积是平方米 a 2n a2 12n 12 解 I