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基于二维谱的多频信号参数估计韩峰 王艳霞 郝美先内蒙古工业大学机械学院摘要:数字信号处理中的频谱泄漏对频谱分析、信号参数估计的准确度有很大影响。在抑制和减小泄漏对参数估计精度的影响方面国内外已经有多种基于插值的参数估计和频谱校正方法。这些方法能够改善参数估计的精度但不能从理论上根除频谱泄露的影响。本文通过研究幅值随时域截断长度的变化规律，给出了频谱能量泄漏的函数描述。并由此构建了函数方程组，形成了一种泄漏条件下的多频信号参数估计方法。实验结果表明算法正确、有效，信号参数的数值解具有很高的准确度。关键词: DFT 频谱泄漏 函数 参数估计1 前言数字信号处理中通常需要将数据序列进行截断，使其变成有限长的离散序列。在离散傅里叶变换（DFT）中，非整周期截断会导致集中于某一频率的部分能量被分散到该频率以外的频率点上，即发生频谱泄漏现象，进而影响频谱分析的准确性。为减少频谱泄漏对频谱估计精度的影响相关人员已经做了许多努力。文献1-2分别研究了加窗、样本周期个数对频率估计的影响；3研究了通过补偿泄漏提高谱分析精度的方法；4-6研究了加窗和插值对改善分析精度的关系，提出了插值DFT的方法，以减小泄漏对频谱分析或参数估计的影响。当泄漏不可避免时这些方法可以改善谱分析或者信号参数估计的精度，但是不能从理论上完全消除对谱分析的影响。针对这一问题本文深入分析了频谱泄漏问题，讨论了不受泄漏影响的高精度信号参数求解方法。2 简谐信号的长度谱设时域离散信号为，频谱为，则其有限长序列的DFT式为： (1)式(1)表明不同的时域截断将产生不同的频谱，这些谱线的量值关系与变化反映了频谱能量泄漏的情况。为了研究任意频率成分的谱线幅值随信号截取长度的泄漏变化规律，可将任意谱线看成是频率和时域截断长度变量的二元函数，并将（1）式改写为： (2)显然是定义在频率和信号长度域上的一个二维谱。图1给出的是，范围内由式(2)确定的一个局部二维谱图，该图侧重于长度幅值谱和长度相位谱的展示。为表示方便，本文把分写为或两种一维谱的形式。其中为传统意义下的频谱，表示给定信号长度时的频谱；是的函数，定义为长度谱，表示给定频率时每根谱线随变化的泄漏规律。根据 （3）可以得到由DFT确定的长度谱。图1 ，范围内的频率长度谱由图1中、 和的泄漏规律曲线可知，它们具有相似的泄漏规律，只是时域上以信号周期的倍数()为单位的左右平移。图1及分析表明谱线幅值的泄漏规律可由公式（4）确定的sinc函数表示。 （4）该式包括长度谱的模和相位两部分。其中，为信号一个周期内的样本点数，为简谐信号的初相位，为截取的样本点数，为信号的幅值。3 任意截断条件下的多频信号参数估计一个简谐信号的精确参数容易获得，对于一个由多个频率成分构成的信号，在某频率点处由DFT变换得到的结果是每个频率成分的长度谱在该点的矢量和。公式（4）表现的是一个二维谱，其中一维是频率，另一维是长度，这个二维谱是一种新的表达形式，它揭示了泄露规律，并建立了DFT与函数的解析关系。设两个未知简谐信号的叠加结果为，当取某一适当的数据长度时，由DFT可以得到多个值下的幅值。根据公式（4）选取其中三个频率点所对应的DFT值就可 （5）以得到三个复数方程构成的方程组（5），根据代数理论可知由三个复数方程可以解得六个未知参量，即：两个信号的幅值，周期，初相位参量。为了说明此参数估计方法的精确性，我们选取实验所用信号由和两个不同的简谐信号叠加而成，图2所示分别为的波形图，其中=0.8,根据这些信息和DFT的计算值可以求出 的大小。 x1(n) x2(n)x(n) 图2 实验用信号的波形图我们做了两组实验，当数据长度分别取1450和1384时，DFT结果如图3所示，都为非整周期截取，时取得，时的DFT值分别为0.028，0.2698，0.4306； 时取得，时的DFT值分别为0.0279，0.0941，0.3916。将DFT值代入方程组左边，方程组右边=0.8, ,此时方程组中有两个未知量。 N=1450 N=1384图3 DFT计算结果图数值求解的逼近过程如图4所示，其中横向代表的变化，纵向代表的变化，每一小格就代表一组下方程左右两边的误差值的均方根值，小格的灰度越小就表示计算结果的误差越小，即的值越精确。图4表明该方法的数值求解算法具有很高的稳定性和可靠性。 N=1450 N=1384图4 程序实现的结果两组实验的结果分别为，和,，显然与理论值，都非常接近。相关实验数据见表1。表1 两组试验参数及周期的计算值第一870.8第二组138410132099.971从实验结果可以看出，周期相对误差最大为0.2%，表现出利用此方法估计未知信号参数的精确性和稳定性。4 结语本文的研究表明：（1）在DFT意义下，一个简谐信号在一个频率点处的泄漏可以用一个sinc函数表示；对于一个复频信号任意一个频率点的DFT矢量是所有单频信号在该频率点泄漏分量的矢量和；（2）利用表示泄漏分量的sinc函数与引起该泄漏分量的简谐信号参数之间的数学表示，进行了计算验证。算法方程组包含DFT计算结果，所以这个算法是基于DFT的免除泄漏影响的频谱分析方法。当然FFT的计算结果可用，只是在构造函数方程组时不如DFT更灵活因为FFT不允许信号长度顺序取值。结果显示了两个与精度有关的条件：（1）信号样本的长度至少应包含最低频率成分的5个周期；（2）待分析的最高频率成分必须满足采样定理。本文只是做了一个初步的探索，一些理论和工程应用方面的问题还需要进一步探索。参考文献1 S. Stefan, Scheiblhofer Stefan and S. Andreaa, “The influence of windowing on bias and variance of DFT-based frequency and phase estimation, ”IEEE Tran. Instrumentation and Measurement, vol. 58, 2009. 197519902 B. Daniel and D. Dominique, “Influence of systematic errors on a sine wave frequency estimation by means of interpolated DFT method,” 2008 3rd International Symposium on Communications, Control, and Signal Processing, ISCCSP 2008. 143614393 H. Renders, J. Schoukens and G. Vilai, “High-accuracy Spectrum Analysis of Sampled Discrete Frequency Signals by Analytical Leakage Compensation,” IEEE Tran. Instrumentation and Measurement, vol.IM-33, 1984. 2872924 S. Milos and T. Michal, “Interpolations in frequency and time domains used in FFT spectrum analysis,” Measurement: Journal of the International Measurement Confederation, Vol. 23, 1998. 1851935 K. Takash, K. Masatake and I. Katsuo, “ Development of recursive interpolated D/FFT for on-line and highly accurate frequency analysis,” IEEJ Trans. Electrical and Electronic Engineering, Vol. 3, 2008. 5745826 R. C. Wu, H. M. Chen, C. C. Huang and C.T. Chiang,