《微分方程应用》PPT课件.ppt

第六节微分方程应用 利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是 1 分析问题 设所求未知函数 建立微分方程 确定初始条件 2 求出微分方程的通解 3 根据初始条件确定通解中的任意常数 求出微分方程相应的特解 本节将通过一些实例说明微分方程的应用 例1 一曲线通过点 2 3 该曲线上任意一点 x y 处的法线与x轴的焦点为 且线段P 恰被y轴平分 求此曲线的方程 解 列方程 设所求曲线方程为y y x 则它在 x y 处的法线方程为 即得曲线应满足微分方程 令 得法线在x轴上的截距为 由题设条件得 由于曲线过点 2 3 故得初值条件 求通解 将方程 分离变量 得 将初值条件 代入通解 得 将上式两端积分 得通解 求特解 则所求曲线方程为 例2 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时 t 0 速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为v v t 降落伞在空中下落时 同时受到重力P与阻力R的作用 图2 重力大小为mg 方向与v一致 阻力大小为kv k为比例系数 方向与相反 图2 根据牛顿第二运动定律F ma 其中a为加速度 得函数v v t 的微分方程为 从而降落伞所受外力为 3 由题意 初始条件为 因为方程 3 是可分离变量的 这就是方程 3 的通解 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 也就是说 跳伞后开始阶段是加速运动 但以后逐渐接近于等速运动 分离变量后得 两边积分 得 即 将初始条件代入 4 式 得 5 由 5 式可以看出 随着时间的增大 速度逐渐接近于常数 且不会超过 解 1 列方程设所求曲线为y y x 则它在任意一点 x y 处的切线方程为 令X 0 得切线在y轴上的截距为 由题设条件得 于是 两端积分 由于曲线过点 3 4 故得初值条件 2 求通解方程 6 是齐次方程 另y u x x 则 即 得通解 3 求特解将初值条件 代入通解 解得c 9 则曲线方程为 例4 已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比 设有一瓶热水 水温原来是100 空气的温度是20 经过20小时以后 瓶内水温降到60 求瓶内水温的变化规律 解 可以认为在水的冷却过程中 空气的温度是不变的 由题意 得 其中k是比例系数 k 0 由于是单调减少的 即 设瓶内水的温度与时间之间的函数关系为 则水的冷却速率为 1 所以 1 式右边前面应加 负号 初始条件为 对 1 式分离变量 得 两边积分 得 即 其中比例系数k可用问题所给的另一条件来确定 即 解得 因此瓶内水温与时间的函数关系为 解 设所求物体的运动方程为s s t 由牛顿第二定律及题意得二阶微分方程 初始条件 将初始条件 从而所求运动方程为 微分方程的通解为 将初值条件 故所求积分曲线方程为 例7 解 设在时刻t时链条垂下s 单位 m 链条的线密度 单位长度的质量 为 则链条所受的外力大小等于垂下部分链条所受的重力 sg g为重力加速度 根据牛顿第二定律F ma 可得微分方程为 长为6m的链条自高6m的桌上无摩擦地向下滑动 假定在运动开始时 链条自桌上垂下部分已有1m长 试问需经多长时间链条才全部滑过桌子 按题意 在运动开始时 链条自桌上垂下的部分已有 m长 且无初速度 所以有初值条件 方程 是二阶常系数齐次线性方程 其特征方程为 故得通解为 将 式对t求导 得 把初值条件 代入 及 式 得 于是所求满足初值条件的特解为 求链条全部滑过桌子所需的时间t 当链条全部滑过桌子时 s 代入 式得 由此可解得 这就是链条全部滑过桌子所用的时间 其中g m s 例8 在如图5 3所示的电路中 先将开关K拨向A 使电容充电 当达到稳定状态后再将开关拨向B 设开关K拨向A的时间t 0 求时回路中的电流i t 已知E 20伏 C 0 5法拉 L 1 6亨利 R 4 8欧姆 且 图5 3 解 在电路R L C中各元件的电压降分别为 根据回路电压定律 得 将上述各式代入 得 在上式两边对t求导 将R 4 8 L 1 6 C 0 5代入 得 因此得 即 8 方程 8 的特征方程为 特征根为 为求得满足初始条件的特解 求导数得 图5 4 图5 4为电流i的图象 当开关K拨向B后 这回路中的反向电流i 先由0开始逐渐增大 达到最大值后又逐渐趋于零 所以方程 8 的通解为 将初始条件代入 得 解得 因此得回路电流为 小结 在利用微分方程寻求实际问题中未知函数的三个步骤中 关