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海伦公式的几种证明与推广 古镇高级中学 付增德高中数学必修第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式海伦公式Herons Formula：假设有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由以下公式求得： ，而公式里的，称为半周长。 海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式和余弦定理的证明过程：=下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式入手，利用勾股定理，布列方程组求高。如图2， 在ABC中，AD为边BC上的高，根据勾股定理，有解方程，得，下略。在求高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，ABC顶点A于对边BC上任一点D间的距离AD有下列等式确定：，等式改写为 而当点D是顶点A的正射影时,有，利用比例的性质，变形得，代入即求出高AD。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若A+B+C =180那么+=1， 如图3,在ABC中，内切圆O的半径是r,则, ,代入恒等式+=1，得，两边同乘，有等式 又， ，所以，同理，。于是ABC的面积= =，把、式代入，即得 =三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设四条边长分别为，且,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA = e EB = f1+2 =180 2+3 =1801 =3 EABECD = = ， = 解得： e = f = 由于S四边形ABCD =SEAB将，跟b =代入海伦公式公式变形，得：S四边形ABCD =所以，海伦公式的推广得证。参考文献1 七市高中选修教材编写委员
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