三角函数的应用 (3).doc

应用举例1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.2.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.3.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.1.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.3.通过探究将实际问题转化为数学问题的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力,培养学生思维能力的灵活性.1.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和求知欲.2.通过自主学习、合作交流,体验成功的快乐,增强学习数学的自信心,培养学生勇于探索的创新精神.3.调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成实事求是的科学态度.【重点】1.用三角函数有关知识解决仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关问题.2.能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.【难点】正确理解题意,将实际问题转化为数学问题.第课时1.了解仰角、俯角等有关概念,经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.2.通过在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.1.经历将实际问题转化为数学问题的探究过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题,让学生体会数学知识的发生、发展、应用过程,并发展学生的动手能力.3.经历从实际问题构建数学模型的过程,体会数学来源于生活又应用于生活.1.学生积极参与探索活动,并在探索过程中发表自己的见解,体会三角函数是解决实际问题的有效工具.2.通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神.3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心,让学生在解决问题的过程中体会学数学、用数学的乐趣.【重点】能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.【难点】正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P7475.导入一:【复习提问】1.如图所示,在RtABC中,C=90,A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)三边a,b,c有什么关系?(2)A,B有怎样的关系?(3)边与角之间有怎样的关系?2.解直角三角形应具备怎样的条件?【师生活动】学生回答问题,教师点评归纳.导入二:如图所示,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端,梯子与地面所成的角一般要满足5075.现有一架长6 m的梯子.(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙?(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时,等于多少度?此时人能否安全使用这架梯子?【师生活动】学生小组内讨论解题思路,小组代表回答解题思路,教师巡视中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评,然后导出新课.设计意图通过复习解直角三角形的有关知识,为本节课的用解直角三角形解决实际问题做好铺垫,以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,以解决生活实际问题引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.过渡语刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题,在生活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,让我们一起去探究吧!一、活动一(教材例3)2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行,如图所示,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400 km,取3.142,结果取整数)?思路一师生合作探究:(1)从组合体上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球相切时的切点.(2)根据题意画出平面图形.(3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度?(4)已知中有哪些条件?求弧长需要知道哪些条件?(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中?你能求出这个角的度数吗?(如图所示,O表示地球,点F是组合体的位置,FQ是O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出POQ(即)的度数)【师生活动】教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图形,分析已知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后,学生独立完成并板书解题过程.【课件展示】解:设POQ=,在图中,FQ是O的切线,FOQ是直角三角形.cos =OQOF=64006400+3430.9491,18.36.弧PQ的长为18.36180640018.363.14218064002051(km).由此可知,当组合体在P点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051 km.思路二教师引导思考:(1)要解决实际问题,首先要做什么?(将实际问题抽象成数学问题)(2)如何根据题意画出平面图形?(地球平面图形是圆,组合体近似看作点)(3)从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置?(过点作圆的切线,切点即为所求)学生操作:画出平面示意图.(4)最远点与P点的距离在示意图中指的是什么的长?(5)如何求这段距离?和圆有什么关系?(6)如何将所需数据转化为解直角三角形的知识?【师生活动】学生尝试根据图形写出解题思路,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,课件展示解题过程,规范解题格式.【课件展示】解答同思路一.设计意图引导学生画出示意图,把实际问题转化为数学问题,分析实际问题中的数量关系,利用解直角三角形的知识解决实际问题,让学生经历作图、分析过程,体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.二、活动二【思考】平时我们观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况?【归纳】视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角,视线在水平线下方的角是俯角.(教材例4)热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30,看这栋楼底部的俯角为60,热气球与楼的水平距离为120 m,这栋楼有多高(结果取整数)?教师引导分析:(1)如何根据题意画出符合题意的几何图形?(画出示意图如图所示)(2)分析题意,已知条件有哪些?(3)你能直接求出AB的长吗?(4)如何求出BC的长?(线段BD与线段CD的和)(5)在RtABD中,能否求线段BD的长?(6)在RtACD中,能否求线段CD的长?【师生活动】教师引导学生思考问题,然后独立完成解题过程,教师巡视过程中及时发现问题,并帮助有困难的学生解决问题,然后课件展示解题过程,规范解题格式.【课件展示】解:如图所示,=30,=60,AD=120.tan =BDAD,tan =CDAD,BD=ADtan =120tan 30=12033=403,CD=ADtan =120tan 60=1203=1203.BC=BD+CD=403+1203=1603277(m).因此,这栋楼高约为277 m.设计意图学生在教师设计的问题串的引导下思考,独立完成解题过程,进一步让学生体会将实际问题转化为数学问题的建模过程,培养学生建模思想,灵活应用解直角三角形知识解决有关线段的长的计算问题,提高学生的数学思维及解题能力.三、活动三:【思考】你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?【师生活动】学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程,教师对学生的回答以鼓励为主,将学生的回答补充完整.【归纳】(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.设计意图通过例题的探究,归纳解决实际问题的一般步骤,培养学生归纳总结能力和建模思想.知识拓展仰角与俯角都是视线与水平线的夹角.用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程:(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.1.如图所示,由D点测塔顶A点和塔基B点的仰角分别为60和30.已知塔基高出地平面20米(即BC长为20米),塔身AB的高为()A.60米B.403米C.40米D.20米解析:ADC=60,BDC=30,ADB=30,A=30,AB=BD.在RtBCD中,BC=20,BD=20sin 30=40,AB=40米,所以塔身的高为40米.故选C.2.如图所示,一飞机从一地平面指挥台C正上方2000米D处经过,沿水平方向飞行,稍后到达B点,这时从地平面指挥台看飞机的仰角为45,1分钟后,飞机到达A点,这时从地平面指挥台看飞机的仰角为30,则飞机从B到A的速度(精确到1米)是()A.1461米/分B.1462米/分C.1463米/分D.1464米/分解析:由题意知在RtADC中,AD=20003米,在RtBDC中,BD=CD=2000米,则AB=(20003-2000)米,由此求得飞机的速度约为1464米/分.故选D.3.如图所示,从山顶A处看地面C点的俯角为45,看地面D点的俯角为30,测得CD=100米,求山AB的高度.(结果保留根号)解:设山AB的高度为x米,在RtABD中,ADB=30,BD=ABtan 30=3x,在RtABC中,ACB=45,BC=x,CD=DB-BC=3x-x=100,x=503+50.答:山AB的高度为(503+50)米.第1课时1.活动一2.活动二3.活动三一、教材作业【必做题】教材第78页习题28.2第2,3,4题.【选做题】教材第79页习题28.2第8题.二、课后作业【基础巩固】1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图所示,当太阳光线与地面成30角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度是()A.12米B.83米C.24米D.243米2.(2015长沙中考)如图所示,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角ABO为,则树OA的高度为()A.30tan米B.30sin 米C.30tan 米D.30cos 米3.如图所示,小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5 m,AB为1.5 m(即小颖的眼睛到地面的距离),那么这棵树高是()A.533+32mB.53+32mC.533 mD.4 m4.一棵树因雪灾于A处折断,如图所示,测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米,ABC约45,树干AC垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为米(答案保留根号).5.如图所示,两建筑物的水平距离BC为18 m,从A点测得D点的俯角为30,测得C点的俯角为60,则建筑物CD的高度为m.6.如图所示,张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30,旗杆底部B点的俯角为45.若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,求旗杆顶点A离地面的高度.(结果保留根号)【能力提升】7.如图所示,小阳发现垂直于地面的电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=8米,BC=20米,CD与地面成30角,且此时测得垂直于地面的1米杆的影长为2米,则电线杆的高度为()A.9米B.28米C.(7+3)米D.(14+23)米8.如图所示,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45,测得大树AB的底部B的俯角为30,已知平台CD的高度为5 m,则大树的高度为m(结果保留根号).9.如图所示,为了知道空中一静止的广告气球A的高度,小宇在B处测得气球A的仰角为18,他向前走了20 m到达C处后,再次测得气球A的仰角为45,已知小宇的眼睛距地面1.6 m,则此时气球A距地面的高度约为(结果精确到1 m).10.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高5米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32时.(1)超市以上的居民住房采光是否受影响?为什么?(2)若要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼至少应相距多少米?结果保留整数,参考数据:sin 3253100,cos 32106125,tan 3258【拓展探究】11.如图所示,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆,拉线CE和地面成60角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30,已知测角仪AB高为1.5米,求拉线CE的长(结果保留根号).【答案与解析】1.B(解析:在RtABC中,BC=24米,tanACB=ABBC,AB=BCtan 30=2433=83(米).故选B.)2.C(解析:由题意得OB=30米,tan =OAOB,OA=OBtan =30tan (米).故选C.)3.A(解析:在RtACD中,CAD=30,AD=BE=5 m,CD=ADtan 30=533=533(m),CE=CD+DE=CD+AB=533+32m.故选A.)4.(4+42)(解析:在ACB中,C=90,ABC=45,A=45,ABC=A,AC=BC,BC=4,AC=4,由AC2+BC2=AB2得AB=AC2+BC2=42,所以此树在未折断之前的高度为(4+42)米.故填(4+42).)5.123(解析:如图所示,过点D作DEAB于点E,则四边形BCDE是矩形,根据题意得ACB=60,ADE=30,BC=18 m,DE=BC=18 m,CD=BE,在RtABC中,AB=BCtanACB=18tan 60=183(m),在RtADE中,AE=DEtanADE=18tan 30=63(m),DC=BE=AB-AE=183-63=123(m).故填123.)6.解:如图所示,作CHAB于H,在RtACH中,ACH=30,tan 30=AHCH,AH=CHtan 30=933=33(米),在RtCHB中,HCB=45,tan 45=HBCH,BH=CHtan 45=9米,所以旗杆顶点A离地面的高度为AH+BH+1=(10+33)米.7.D(解析:如图所示,延长AD交BC的延长线于F点,作DECF于E点.DE=8sin 30=4,CE=8cos 30=43.测得1米杆的影长为2米.EF=2DE=8,BF=BC+CE+EF=20+43+8=28+43,电线杆AB的高度是12(28+43)=14+23(米).故选D.)8.(5+53)(解析:作CEAB于点E,在RtBCE中,BE=CD=5 m,CE=BEtan 30=53 m,在RtACE中,AE=CEtan 45=53 m,AB=BE+AE=(5+53)m.故填(5+53).)9.11 m(解析:如图所示,过点A作ADBC于点D,交FG于点E.AGE=45, AE=GE.在RtAFE中,设AE长是x m,则tanAFE=AEEF,即tan 18=xx+20,解得x9.6.由题意知ED=FB=1.6,AD9.6+1.6=11.211(m).故填11 m.)10.解:(1)受影响.理由如下:如图所示,延长光线交CD于F,作FEAB于E,在RtAEF中, tanAFE=tan 32=AEEF=AE1558,解得AE758=938,故可得FC=EB=20-938=10585,即超市以上的居民住房采光要受影响.(2)要使采光不受影响,则EB=5米,AE=15米,tan 32=15EF58,解得EF24米,即要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼应至少相距24米.11.解:如图所示,过点A作AHCD,垂足为H,由题意可知四边形ABDH为矩形,CAH=30,DH=AB=1.5,AH=BD=6,在RtACH中,tanCAH=CHAH,CH=AHtanCAH,CH=6tan 30=633=23,DH=1.5,CD=23+1.5,在RtCDE中,CED=60,sinCED=CDCE,CE=CDsin 60=23+1.532=4+3(米).答:拉线CE的长为(4+3)米.本节课的内容是应用解直角三角形的知识解决实际问题.教学的重、难点是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,通过对知识点的梳理、分析例题的解题思路、例题变式