2012（文科）答案解卷按此版打印.doc

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共10小题，每小题5分，满分50分 题号12345678910答案ACABA DCDCB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题11 12. 13. 14. 15. 说明：第14题答案可以是Z16（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若，且，求的值.(本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1）解： 2分, 4分 函数的最小正周期为. 6分 （2）解：由（1）得. ， . 8分 ， ，. 10分 11分 12分17（本小题满分12分）甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示：食物类型甲乙丙维生素（单位/kg）300500 300维生素（单位/kg）700100300成本（元/kg）543 某工厂欲将这三种食物混合成kg的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为kg、kg、kg.(1) 试以、表示混合食物的成本；（2）若混合食物至少需含35000单位维生素及40000单位维生素，问、取什么值时，混合食物的成本最少？(本小题主要考查线性规划等知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：依题意得 2分 由，得，代入， 得. 3分(2) 解:依题意知、要满足的条件为 6分把代入方程组得 9分如图可行域（阴影部分）的一个顶点为. 10分让目标函数在可行域上移动,由此可知在处取得最小值. 11分当(kg),(kg),(kg)时, 混合食物的成本最少. 12分18. （本小题满分14分）某建筑物的上半部分是多面体, 下半部分是长方体(如图5). 该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图6, 其中正（主）视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成.（1）求线段的长；（2）证明：平面平面；（3）求该建筑物的体积. (本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）解：作平面，垂足为，连接， 由于平面，故.作，垂足为，连接，又，且平面，平面，平面. 1分由题意知， 2分在Rt中， 3分 在Rt 中， 4分线段的长为. 5分（2）解：延长交于点，连接，由（1）知平面. 平面，.，. 6分在中，. 7分平面，平面，平面. 8分平面，平面平面. 9分（3）解法1：作交于点，作交于点， 由题意知多面体可分割为两个等体积的四棱锥和和一个直三棱柱.四棱锥的体积为， 10分直三棱柱的体积为，11分多面体的体积为. 12分长方体的体积为. 13分建筑物的体积为. 14分解法2：如图将多面体补成一个直三棱柱，依题意知，.多面体的体积等于直三棱柱的体积减去两个等体积的三棱锥和的体积.，.直三棱柱的体积为， 10分三棱锥的体积为. 11分多面体的体积为. 12分长方体的体积为. 13分建筑物的体积为. 14分19（本小题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线有一个相同的焦点，直线与抛物线只有一个公共点.（1）求直线的方程；（2）若椭圆经过直线上的点，当椭圆的长轴长取得最小值时，求椭圆的方程及点的坐标. (本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)（1）解法1：由消去，得. 1分 直线与抛物线只有一个公共点， ，解得. 3分 直线的方程为. 4分解法2：设直线与抛物线的公共点坐标为， 由，得， 直线的斜率. 1分 依题意得，解得. 2分 把代入抛物线的方程，得. 点在直线上， ，解得. 3分 直线的方程为. 4分（2）解法1：抛物线的焦点为， 依题意知椭圆的两个焦点的坐标为. 5分 设点关于直线的对称点为， 则 7分 解得 点. 8分 直线与直线的交点为. 9分 由椭圆的定义及平面几何知识得： 椭圆的长轴长， 11分 其中当点与点重合时，上面不等式取等号. 当时，椭圆的长轴长取得最小值，其值为. 12分此时椭圆的方程为，点的坐标为. 14分 解法2：抛物线的焦点为， 依题意知椭圆的两个焦点的坐标为. 5分 设椭圆的方程为， 6分 由消去，得.（*） 7分 由， 8分 得. 9分 解得. . 11分 当时，椭圆的长轴长取得最小值，其值为. 12分此时椭圆的方程为. 13分 把代入（*）方程，得， 点的坐标为. 14分20（本小题满分14分）已知数列的前项和为，对任意N，都有且，令.（1）求数列的通项公式；（2）使乘积为整数的N叫“龙数”，求区间内的所有“龙数”之和；（3）判断与的大小关系，并说明理由.(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：由于， 当时， 1分 整理得， 解得或. ， . 2分 当时， 3分 化简得， . ， . 4分 数列是首项为，公差为的等差数列. . 5分（2）解：， . 6分 令，则为整数）， 7分 由，得， . 在区间内的值为， 8分 其和为 9分 . 10分（3）解法1：， 11分 12分 13分 . . 14分解法2：， 11分 12分 13分 . . 14分解法3：设， 则. 11分 ， . . 12分 函数在上单调递减. N， . . . 13分 . 14分21（本小题满分14分）已知函数，R.（1）求函数的单调区间;（2）是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）解：函数的定义域为. 1分 . 2分 当时， 函数单调递增区间为. 3分 当时，令得， . . （）当，即时，得，故， 函数的单调递增区间为. 4分 （）当，即时，方程的两个实根分别为 ，. 5分 若，则，此时，当时，.函数的单调递增区间为， 6分若，则，此时，当时，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 7分综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 8分（2）解：由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值； 9分当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；则有极大值，其值为，其中. 10分而，即， . 11分设函数，则， 12分则在上为增函数