理论力学一题多解.doc

1、重为P、半径为r的均质圆柱，沿与水平面夹角为 的悬臂梁无滑动地滚动，求当滚到距离O点为s时固定端O的反力。范例1图解法一 由达朗伯原理(动静法)求解，将圆柱的惯性力系向圆柱质心C简化。圆柱质心加速度aC(未知)，因系不滑动地滚动，故角加速度 。于是惯性力系主矢大小为Fg=maC，方向与aC相反，作用在质心。惯性力系主矩大小为 ，方向与角加速度 相反。系统由圆柱和悬臂梁组成，每部分均属平面任意力系，故可建立3个平衡方程。系统中涉及6个未知数，即固定端O处的约束反力FOx、FOy、MO，圆柱与梁接触点A的约束反力FA与FNA,以及加速度aC。方程总数与未知数个数相等，可解。(1) (1) 取圆柱为研究对象，其受力图如图(b)所示。由达朗伯原理(动静法)，有 (F)=0, 即 解得 (2) 以整体为研究对象，其受力图如图(c)所示。 (F)=0, 即 解得 =0, 所以 =0, 解法二 联合应用动能定理和达朗伯原理(动静法)求解。因为惯性力系主矢大小为Fg=maC，而圆柱质心加速度aC是未知的。如果应用动能定理先把aC求出来，那么，求固定端的约束反力时，就不必像解法一中那样，先以圆柱为研究对象，再以整体为研究对象求解，因为当把aC求出后，整体中有固定端的3个约束反力未知，用3个平衡方程即可求出，由动能定理求圆柱质心加速度aC。设圆柱初始静止于O，当圆柱中C移动距离s时，有 即 上式两边对时间求导数，有 因C点轨迹为直线，所以 ，又 所以 以整体为研究对象，其受力图如图(c),平衡方程详见解法一。解法三 应用动力学普遍方程求解。以圆柱为研究对象，设当圆柱中心C沿悬臂梁移动s距离时。质心C的加速度为aC，因圆柱只滚不滑，故其角加速度 。将圆柱的惯性力系向其质心C简化，其主矢为maC，主矩 ，其方向如图(d)所示。解除圆柱的约束，代以约束反力，并将其视为主动力。此时圆柱具有3个自由度。取D点的坐标x、y及转角 为广义坐标，其虚位移 的方向如图(d)所示。 令 ， ，由动力学普遍方程，有 ，因 ，且 ， ，故有 解得 令 ， ，则有 因 ，于是有令 ， ，则有 以悬臂梁OB为研究对象，其受力图如图(e)所示。 =0， 所以 Y=0， (F)=0, 解法四应用功率方程和质心运动定理求解。 以圆柱为研究对象，设某瞬时圆柱中心C的速度为vC，因圆柱只滚不滑，故其角速度 ，于是圆柱的动能为 功率 由功率方程 ，有 即 因为C点的轨迹为直线，故 ，于是有 取坐标轴如图(f)所示，由质心运动定理，有 以悬臂梁为研究对象，其受力图如图(g)所示。由静力学平衡方程，有 =0， 所以 =0， (F)=0, ， 2、均质圆柱体A的质量为m，半径为r，在外圆上绕以细绳。绳的一端B固定不动范例2(a)图，将圆柱体从初始位置无初速释放。求当圆柱体的质心C下落了高度h时，质心的速度和绳子的张力。范例2图 解法一 应用平面运动微分方程求解。以圆柱为研究对象，其受力图如图(b)所示。由平面运动微分平衡方程，有 (1)(2) (3)由式(1)，有 A点为圆柱的速度瞬心，所以， ，故由(3)式有 (4)即将(4)式代入(2)式，有 所以因 为常数，且C点的轨迹为直线，故C 点为匀变速直线运动，它的速度可由匀变速直线运动公式 求得。因题设 ，所以，C点速度为 由(4)式求得绳中的张力为 解法二 分别应用动能定理和质心运动定理。设圆柱从静止开始到质心C下降高度h时，质心C的速度为vC，因为A点为圆柱的速度瞬心，故有 。质点系的动能为 力的功 由质点系动能定理 ，有 (1)所以 将(1)式对时间求导数，有 因C点的轨迹为直线，有 ， 于是有 由质心运动定理范例2(b)图，maCy=Y,有 解法三 应用功率方程和相对于质心的动量矩定理求解。设圆柱从静止开始到质心C下降高度h过程中某瞬时，质心C的速度为vC范例2(c)图，因为A点为圆柱的速度瞬心，故有 。质点系的动能为功率 由功率方程 ，有 即 因C点的轨迹为直线，所以 于是有 因 为常量，故C点为匀变速直线运动。由 其中 ，求得 由相对于质心的动量矩定理范例2(d)图， 有 ， 故解法四 应用达朗伯原理(动静法)求解。设某瞬时圆柱质心C的加速度为aC,角加速度为 ，因A点为圆柱的速度瞬心，故有 将圆柱惯性力系向质心C简化，其主矢为maC，与aC相反，主矩为 ，与 相反(e)图。由动静法，有 (F)=0, 式中， ， ，故有 解得 Y=0， 所以 因 为常量，且C点的轨迹为直线，故C 点为匀变速直线运动，用匀变速直线运动公式 式中 ，得 解法五 应用动力学普遍方程求解。以圆柱为研究对象，解除约束，代以约束反力，并将其视为主动力。因C点被限制在过C点的铅垂直线上运动，故系统具有两个自由度。取广义坐标为yA、 ，虚位移为 ，圆柱的惯性力系向其质心C简化，其主矢为maC，方向与aC相反，主矩为 ，与 相反范例2(f)图。 令， ， 由动力学普遍方程有，式中 ， ，故有 由此解得 因 为常量，且C点的轨迹为直线，故C 点为匀变速直线运动，用匀变速直线运动公式 ， 得 令， ， ，由动力学普遍方程，有,故有 3、质量为m，长为l的均质杆AB，其下端搁在光滑的水平面上，如图(a)所示，当杆与水平面倾角为 时，将杆无初速释放。求释放瞬时水平面对杆A端的反力。范例3图 解法一 应用平面运动微分方程求解。杆AB作平面运动。因其受力在水平方向投影的代数和等于零，即有 X = 0所以质心C在水平方向运动守恒， ，又因无初速释放，故 ，也就是说，质心C的速度 和加速度 均沿铅垂方向。设杆AB的A端的加速度为 ，水平向左，杆的角加速度为 。应用刚体平面运动时求其上任一点加速度的基点法，求质心C的加速度。以A为基点，C点的加速度为范例3(a)图 aC= aA+ a (1)将上式在x方向投影，有 因 故 (2)将（1）式在y方向投影，有 (3)由平面运动微分方程范例3(b)图，有 (4) (5)由(4)式，有 (6)将(6)式代入(5)式，且 ，故有 即 所以 (7) 将(7)式代入(6)式，得 解法二 应用动量矩定理及质心运动定理求解。杆AB作平面运动。它所受的力在水平方向投影的代数和等于零，即X = 0，故质心C在水平方向运动守恒，即 ，又因无初速释放，初速度在水平方向的投影等于零，故又有 。即质心C的速度和加速度均沿铅垂方向。由于初瞬时杆AB的角速度为零，质心C的初速度为零，而杆端A的加速度aA水平、质心C的加速度aC铅垂，分别作aA与aC的垂线，其交点P即为AB杆的加速度瞬心范例3(c)图。该瞬时P点的速度为零，加速度也为零，也即该瞬时P点相当于一个固定点。于是可对P点应用动量矩独领，即 (1)式中 于是(1)式成为 所以 应用质心运动定理，有 Y， 所以 解法三 应用相对于动矩心的动量矩定理及质心运动定理求解。动量矩定理应对于固定点取矩，也就是，只对惯性参考系适用。若矩心为有加速度的动点，这相当于对于非惯性参考系应用动量矩定理(非惯性参考系以牵连加速度ae作平动)。根据相对运动动力学基本方程，应在质心上加上牵连惯性力。牵连惯性力的大小等于总质量乘以动矩心的加速度，方向与该加速度方向相反，作用在质心上范例3(d)图。于是，对动点A点应用对于动点的动量矩定理，有 (1)式中， ， 由解法一中求得为 于是有 所以 由质心运动定理，有 Y， 所以 解法四 应用动静法求解。 杆AB作平面运动。应用刚体平面运动中求其上任一点加速度的基点法，以A为基点，C点的加速度范例3(e)图 aC= aA+ a 式中， 。 以杆AB为研究对象。将其惯性力系向质心C简化，惯性力系主矢有两个分量，即 maC=m aA+m a 主矩为 ，与 相反，如图（e）所示。 应用动静法，有 X=0， 式中 所以 (F)=0, 即 解得 Y=0， 所以 解法五 应用动力学普遍方程求解。以杆AB为研究对象。解除约束，代以约束反力，并将其视为主动力。杆AB作平面运动，具有3个自由度。将A点的坐标xA、yA以及转角 取作广义坐标。将惯性力向质点C简化。为此，需要应用刚体平面运动中求其上任一点的加速度的基点法，求质心C的加速度，以A为基点，有 aC= aA+ a 因此，惯性力系的主矢为 maC=m aA+m a 惯性力系的主矩为 杆AB的主动力、约束反力和惯性力如范例3(f)图所示。给虚位移 的方向如图(f)所示。 令 ， ，由动力学普通方程，有 式中 ， 所以 令 ， ，有式中 ， ， ， ，于是解得 令 ， ，有 式中 ，所以有 4、轮子中轴的直径为50mm，无初速地沿 的轨道滚下范例4(a)图,设只滚不滑。5s内轮心滚过的距离s=3m，试求轮子对轮心的回转半径。范例4图解法一 应用平面运动微分方程求解。轮子作平面运动。设其质心的加速度为aC,角加速度为 ,因轮子沿轨道只滚不滑，故有 。设轮子的质量为m，由刚体平面运动微分方程范例4(b)图,有 X， (1)X， (2) MC， (3)(4)由(1)式，有 由(3)、(4)式，有 即 得 (5)由(5)式知，C点加速度为常数，C点的轨迹为直线，故C点作匀变速直线运动。由匀变速直线运动的公式 式中， ，s = 3m，t = 5s，于是有 将 值代入(5)式，有 或 解法二 应用动能定理求解。设轮子的质量为m，轮心C沿轨道移动距离s时的速度为vC，角速度为 范例4(c)图。则系统的动能为 力的功 由质点系动能定理， ，有 （1）(1) (1) 式对时间求导数，有 因C点的轨迹为直线，故有 ， ，又因轮子只滚不滑，故有 ，所有 （2）因为C点的轨迹为直线，C点加速度aC为常数，故C点为匀变速直线运动。由匀变速直线运动的公式 ，s = 3m，t = 5s，故求得C点加速度大小为 由(2)式，有 解法三 应用功率方程求解 设轮子的质量为m，轮心C 的速度为vC，轮子的角速度为 范例4(d)图。则系统的动能为 功率 由功率方程 ，有 (1)因C点的轨迹为直线，故有 ，又因轮子沿轨道只滚不滑，故有 ， ，于是有 即 (2)由(2)式知，C点加速度为常数，故C点为匀变速直线运动。由匀变速直线运动的公式 可求得 的值，式中 ，s = 3m，t = 5s，故 由(2)式有 解法四 应用动力学普遍方程求解。轮子作平面运动。设其质量为m，某一瞬时，质心的加速度为aC,角加速度为 。因轮子沿轨道只滚不滑，故有 。将轮子的惯性力系向质心C简化，其主矢为maC，方向与aC相反，其主矩为 ，其方向与 相反。因为轮子受到了只滚不滑的运动约束，即 。，故系统只有一个自由度。取轮子的转角 为广义坐标，虚位移 ，如图(e)所示。由动力学普遍方程，有 (1)(1) (1) 式中 ， ，故有 即 所以 (2)由(2)式可知C点加速度为常数，C点的轨迹为直线，故C点为匀变速直线运动。根据匀变速直线运动的公式 可求得 的大小。式中 ，s = 3m，t = 5s，故 由(2)式有 所以 解法五 应用动静法求解。轮子作平面运动。设其质量为m，某瞬时质心的加速度为aC,角加速度为 。因轮子沿轨道只滚不滑，故有 。将轮子的惯性力系向质心C简化，其主矢为maC，方向与aC相反，其主矩为 ，其方向与 相反。主动力、约束反力和惯性力如图(f)所示。根据动静法，有 (F)=0, (1)式中， ，于是(1)式成为 所以 (2)由(2)式可知C点 为常数，C点的轨迹为直线，故C点为匀变速直线运动。根据匀变速直线运动的公式 可求得 之值。式中 ，s = 3m，t = 5s，于是 由(2)式有 所以 5、质量为m、半径为R的均质圆盘，在其圆心处与一质量为m1、长为l的均质细长杆AB铰接。A处也为铰接范例5(a)图。系统在铅垂面内，当AB水平时无初速释放。不计摩擦。求当AB到达铅垂位置时，B点的速度和A处的反力。范例5图解法一 分别应用动量矩定理、动能定理和质心运动定理求解。杆AB作定轴转动。圆盘作什么运动？为了说明圆盘的运动，取圆盘B为研究对象。其受力图如图(b)所示。由相对于质心的动量矩定理，有 所以 ，角速度为常数。又因系统初始静止，故圆盘的初始角速度为零，即 ，所以， ，也即圆盘作平动。应用动能定理求B点的速度。设当AB到达铅垂位置时，B点速度为 ，杆AB的角速度为 ，系统的动能为 力的功 由质点系动能定理， ,有式中， ，即 ，故有 为求A处的反力，以整个系统为研究对象，其受力图如图(c)所示。由质点系动量矩定理求，杆AB的角加速度。系统的动量矩 为 外力对A点之矩的代数和为 (F)=0。故由动量矩定理 (F)有 由质心运动定理求A处反力，即X，因为 ，所以 Y, 所以 解法二 分别应用动能定理和动静法求解。设当AB到达铅垂位置时，B点速度为 ，杆AB的角速度为 ，系统的动能为 力的功 由质点系动能定理， ,有式中， ，于是得 设圆盘B的角加速度为 ，杆AB的角速度为 ，则圆盘中心的加速度为 杆AB质心C的加速度将惯性力系分别向圆盘中心和杆AB质心简化，如图(d)、(e)所示。 以圆盘B为研究对象范例5(d)图，其惯性力系向B点简化。由动静法，有 (F)=0, (F)因为 (F)=0，所以 ，又因为圆盘B的初角速度等于零，故圆盘的角速度 ，即圆盘作平动。以整体为研究对象，其受力图如图(e)所示。由动静法，有 (F)=0, 即 上式中， ，故 X = 0, 因已求得 ，故 Y = 0, 所以 解法三 应用动能定理和动力学普遍方程求解。杆AB作定轴转动，设其角加速度为 ，角速度为 ，设圆盘B的角加速度为 。以圆盘B为研究对象，其惯性力系向B点简化。其受力图如图(f)所示。解除约束后圆盘B具有3个自由度。给出虚位移 。令 ， ，由动力学普遍方程，有 (1)但 ，所以 ，又因初值 ，故 也即圆盘B作平动。应用动力学普遍方程求A处的约束反力。为此，解除约束，代以约束反力，并将其视为主动力。杆AB的惯性力系向质心简化。其主矢为 、 ，主矩为 。圆盘的惯性力合力为 ，如图(g)所示。系统具有4个自由度。取AB的转角 和圆盘相对于AB的相对转角 以及xA、yA为广义坐标，虚位移 ，如图(g)所示。令 ， 。由动力学普遍方程，有 即 (2)因 ， 所以 令 ， ，有 (3)， ，所以 。令 ， ，有 (4)，所以 (5)式中 尚为未知。为此，应用动能定理求之。系统的动能 力的功 由质点系动能定理， ,有 (6)将(6)式代入(5)式，有 6、在图示系统中，绳子的一端绕在鼓轮B上，待其跨过不计质量的定滑轮D后，于另一端悬吊一质量为m1的重物A，如图(a)所示。由于重物A的下降，带动了轮C沿水平轨道作纯滚动。若鼓轮B的半径为r，轮C的半径为R，者固连，总质量为m2，对其中心水平轴O的回转半径 。求重物A的加速度。解法一 应用质点动力学基本方程和刚体平面运动微分求解。设某瞬时重物A的加速度为a，则因轮C只滚不滑，它的角加速度为 轮C中心O的加速度为 以重物A为研究对象，其受力图如图(b)所示。由质点动力学基本方程，有 (1)以轮C为研究对象，其受力图如图(c)所示。由平面运动微分方程，有 (2) (3)由(1)式，有 (4)由(2)、(4)式，有 所以 (5)将式(4)、(5)代入式(3)，得 即 由此解得 解法二 应用质点动力学基本方程和相对于瞬心的动量矩定理求解。以重物A为研究对象，其受力图如图(d)所示。由质点动力学基本方程，有 或(1)以轮C为研究对象，其受力图如图(e)所示。由于轮C只滚不滑，故接触点P为其速度瞬心，由运动学知道，P点有加速度 ，指向轮C中心O。如欲对瞬心P应用动量矩定理，而P点有加速度，这将归结为对非惯性参考系应用动量矩定理。在这种情况下，应在轮C的质心O加牵连惯性力 ，其方向与aP相反，通过P点。当对P应用点动量矩定理时，该牵连惯性力对P点之矩为零，对瞬心P写出的动量矩定理在形式上与对固定点的动量矩定理相同，即 (2) 将(1)式代入(2)式，有 或 所以 解法三 应用动能定理求解。设重物下降h时的速度为 ，则因轮C沿轨道只滚不滑，它的角速度为 ，轮心O的速度 。系统的动能为 力的功 由质点系动能定理， ,有 上式对时间求导数，因重物A运动的轨迹为直线，故有 于是有 所以有 解法四 应用功率方程求解。设某瞬时重物A的速度为 ，由于轮C沿轨道只滚不滑，接触点P为速度瞬心范例6(f)图，鼓轮C的角速度 ，轮心O的速度 ，如图(f)所示。系统的动能为 功率 由功率方程 有 因重物A运动的轨迹为直线，故有 ，于是有 所以 解法五 应用动静法求解。设某瞬时重物A下降的加速度为a，由于轮C只滚不滑，接触点P为速度瞬心，它的水平加速度为零，故轮C的角加速度 ，轮心O的加速度为 。以重物A为研究对象，其受力图如图(g)所示。由质点动静法，有 即(1)以轮C为研究对象，其受力图如图(h)所示。由质点动静法，有 (F)=0, (2) 将式(1)代入式(2)，且有 。故有由此解得 解法六 应用动力学普遍方程求解。设某瞬时重物A下降的加速度为a，由于轮C沿轨道只滚不滑，故轮C的角加速度为 轮C中心O的加速度为由于轮C 受只滚不滑的运动约束，故系统具有一个自由度。取轮C的转角 为广义坐标。系统的惯性力系简化结果及所给虚位移 如图(i)所示。由动力学普遍方程，有 式中 ， ， ， 于是有 或 所以 7、在图示系统中，均质轮A和B重量均为P=1000N，半径均为R=0.1m，重物C重P/2。轮A沿水平直线轨道作纯滚动。轮B上作用一力偶矩为M=20Nm的常值力偶范例7(a)图。试求重物C的加速度及1、2两段绳中的张力。范例7图解法一 分别应用动能定理和动量矩定理求解。设重物C下降位移h时的速度为 ，则轮B的角速度为 ，轮A质心的速度 ，如图(a)所示。 系统的动能为 力的功 由质点系动能定理， ,有 因为C点的轨迹为直线，故 ，于是有 代入数据，得 以物块C为研究对象，其受力图如图(b)所示。由质点动力学基本方程，有 (2) 代入数据，得 N以轮B为研究对象，其受力图如图(c)所示。由动量矩定理，有 (F)即 或 代入数据，得 =81.82N解法二 应用功率方程求解。设某瞬时重物C下降的速度为 ，则轮B的角速度为 ，由于轮A作纯滚动，故 ， 。系统的动能为 功率 由功率方程 有 因C点的轨迹为直线，故有 ，于是有 代入数据，得 以轮A为研究对象范例7(d)图，轮A的动能为 功率 由功率方程 有 代入数据，得 N以重物C为研究对象如图(e)，由质点动力学基本方程，有 即 代入数据，得 N解法三 应用动量矩定理求解。设某瞬时重物C下降的速度为 ，加速度为 ，则轮B的角速度为 ，角加速度为 。因轮A只滚不滑，故 ，角加速度为 。以轮A为研究对象如图(f)。如能对轮A的瞬心P应用动量矩定理，则可避免计算P点处的约束反力F、FN。但由运动学知道，P点有加速度 ，指向轮A中心。由此，对瞬心P应用动量矩定理就归结为对于以牵连加速度 平动的非惯性参考系应用动量矩定理。在这种情况下，应在质心上加牵连惯性力 ，其方向与aP相反，通过P点。由于该牵连惯性力通过P点，故对于动点P写出的动量矩定理中，牵连惯性力的矩为零。这样，对瞬心P写出的动量矩定理在形式上与固定点写出的动量矩相同。于是有 (1)式中 ， 于是有 (2)以轮B和重物C为研究对象如图(g)，由动量矩定理 (F)有 或 即 于是有 (3)联解(2) 、(3)两式，得 所以(4)将(4)式代入(2)式，得 代入数据，得 N以重物C为研究对象如图(e)，有 N解法四 应用动静法求解。设某瞬时重物C的加速度为a，则轮B的角加速度为 。由于轮A作纯滚动，故其角加速度为 ，轮A中心的加速度 。以轮A为研究对象。惯性力系向A点简化，其主矢为 ，主矩为 ，如图(h)所述。由动静法，有 (F)=0, 式中 ， ， ，于是有 即 (1)以轮B和重物C为研究对象如图(i)，有 (F)=0, 式中 ， ，于是有即 (2)式(1)、(2)联解，得(3)代入数据，得 将(3)式代入(1)式，有 代入数据，得 N以重物C为研究对象如图(j)，有 代入数据，有 N解法五 应用动力学普遍方程求解。设某瞬时重物C的加速度为a，则轮B的角加速度为 。因轮A作纯滚动，故轮A的角加速度为 ，轮A中心的加速度 。考虑整体系统。将惯性力系分别向轮A、轮B质心简化，简化结果示于图(k)之中。系统所受约束有：光滑轴承B、不可伸长的绳索，属于几何约束，轮A只滚不滑属运动约束，故系统具有一个自由度。以轮B的转角 为广义坐标， ，虚位移 如图(k)所示。由动力学普遍方程，有 式中 ， ， ，于是有 由此解出 (1)以轮A为研究对象如图(l)，由动力学普遍方程，有 ，故 (2)将(2)式代入(1)式，有 代入数据，得 N以重物C为研究对象如图(m)，由动力学普遍方程，有 ，故 所以 代入数据，得 N8、实心圆柱A和薄圆环B的质量均为m，半径均为r，用AB杆将两者铰接一起无滑动地沿斜面滚下范例8(a)图。杆的质量不计，铰链光滑。求杆AB的加速度和其所受的内力。范例8图解法一 应用动静法求解。轮A、B作平面运动，杆AB作平动，故轮心A、B两点的加速度相等，即aA=aB=a。因两轮均作只滚不滑的平面运动，故两轮的角加速度均为 。将两轮的惯性力系分别向其质心A、B简化，其主矢为ma，主矩为 、 。以轮B为研究对象，其受力图如图(b)所示。由动静法有 (F)=0, (1) 即 (2)以轮A为研究对象，其受力图如图(c)所示。由动静法，有 (F)=0, (3)将(2)式代入(3)式，且有 ，则(3)式成为 即 所以 (4)将(4)式代入(2)式，得 (压力)解法二 应用动力学普遍方程求解。轮A、B作平面运动，杆AB作平动，故轮心A、B两点的加速度相等，即aA=aB=a。因两轮均作只滚不滑的平面运动，故轮A、B的角加速度均为 。将系统的惯性力系分别向轮A、B的质心简化，其主矢为ma，主矩为 、 。其受力图如图(d)所示。因系统受到只滚不滑的运动约束，以及杆AB的约束，故系统具有一个自由度。取广义坐标为轮A或轮B的转角 ，给虚位移 。以整个系统为研究对象范例8(d)图由动力学普遍方程，有 式中 ， ， ， ，于是有 即 解得 以轮A为研究对象，其受力图如图(e)所示。由动力学普遍方程，有 式中 ， ， ，于是有 解得 解法三 应用平面运动微分方程求解。轮A、B作平面运动，杆AB作平动，故轮心A、B两点的加速度相等，即aA=aB=a。因两轮均为只滚不滑的平面运动，故轮A、B的角加速度均为 。以轮B为研究对象，其受力图如图(f)所示。由平面运动微分方程有 (1) (2)由(2)式，有 所以 (3)将(3)式代入(1)式，得 (4)以轮A为研究对象，其受力图如图(g)所示。由平面运动微分方程，有 (5) (6)由(6)式，有 所以 (7)将(7)式代入(5)式，得 (8)式(4)、(8)联立求解，得 解得 （9） 式(9)代入式(8)，得 解法四 应用相对于瞬心的