《机械振动》PPT课件.ppt

第六章振动和波动 大学物理学 山西大学物电学院 Chapter6 VibrationandMotion 机械振动 物体在平衡位置附近作往返的周期性位移 例如 钟摆的摆动 气缸中活塞的运动 人的心脏跳动 机器运转时的振动和一切发声物体 声源 如音叉 内部的运动等 若把机械运动范围内的这一概念推广到分子热运动 电磁运动物质运动形式 则广义而言 对于任一物理量 当它们围绕一定的平衡值作周期性的变化时 都可称该物理量在振动 概述 振动 物理量 位移 电量 电压 电流 电场强度和磁感应强度等 围绕一定的平衡值作周期性的变化 物理量在振动 就具有共同的物理特征 广义 物理量在某一定值附近反复变化即为振动 简谐振动 物理量随时间的变化规律可以用正弦 余弦函数描述 复杂振动 若干个简谐振动的合成 研究目的 利用 减弱或消除 周期振动 物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次 波 振动在空间的传播 声波 水波 地震波 电磁波和光波等都是波 各种各样信息的传播几乎都要借助于波 尽管各类波又各自的特性 但它们大都具有类似的波动方程 具有干涉和衍射等波所特有的普遍的共性 通常把它们称为波动性 振动和波动是紧密联系着的 都是物质的运动形式 振动是波动产生的根源 波动是振动传播的过程 也是能量传播的过程 在科学技术领域 振动和波动理论是声学 地震学 光学 无线电技术及原子物理学等学科的基础 本章以机械振动和机械波为具体内容 讨论振动和波动的共同特征 现象和规律 这些基本规律对各种振动和波一般都是适用的 6 1简谐振动 6 2弹性系统的振动 6 3机械波的产生和传播 6 4驻波 6 5多普勒效应 本章习题 6 1 2 4 5 7 8 10 11 14 17 21 主要内容 右键单击 播放 一 描述简谐振动的特征量 令 6 1简谐振动 质量可忽略的弹簧 一端固定 一端系一有质量的物体 称此系统为弹簧振子 建立如图的坐标系 物体质量m 坐标x 所受回复力为F 此方程的通解为 1 简谐运动或简谐振动 物理量随时间的变化规律可以用正弦 余弦函数描述 称之为简谐振动 上式称之为简谐振动表达式 简谐函数或振动方程 简谐振动的动力学特征方程 简谐振动的动力学条件 2 周期T 物体作一次完全振动所需的时间 频率 在单位时间内物体所作的完全振动的次数 它是周期的倒数 角频率或圆频率 频率 的2 倍 物体离开平衡位置的最大位移或角位移 2 描述简谐振动的特征量 0 初相位 1 振幅A 3 相位 确定振动系统的瞬时运动状态 简谐振动可由振幅A 角频率 或频率 周期T 和相位 这三个特征量完全确定下来 简谐振动的振幅给出了振动的范围或幅度 简谐振动的角频率 频率或周期则给出了振动往复的快慢 简谐振动的各阶导数也都作简谐振动 4 简谐运动的速度和加速度 3 简谐振动的位移时间曲线振幅A的大小决定曲线的高低 角频率 或周期T决定曲线的密集和疏散 而相位 决定曲线在横轴上的位置 5 简谐振动的旋转矢量表示设有一矢量 大小等于振幅A 在平面内绕原点O以角速度 大小等于角频率 逆时针旋转 称为旋转矢量 简谐量x对应于旋转矢量在x轴上的投影 x 参考圆 例 已知简谐振动表达式 x A 0 A 试画出振动曲线 A 解 先画出旋转矢量图 然后再画出振动曲线 x O 6 描述简谐振动瞬时运动状态的特征量 相位振幅和频率不能完全确定振动系统在任意瞬时的运动状态 位移 速度和加速度 当振幅A和角频率 一定时 简谐振动的瞬时位移 速度和加速度都决定于 两个同频率的简谐振动在同一时刻的相位差 恒等于它们的初相位之差 即当 当t 0时 物体的初始位移和速度分别为 则 相位的相对性 对于单个简谐振动来说 总可以选择适当的计时零点 使初相位 0 0 对于多个简谐振动来说 它们之间的相位差 则起了重要的作用 时 有 相位 相位差 有以下几种情况 n 0 1 2 3 2n 两振动步调一致 同相位 2n 1 两振动步调相反 反相位 0 2超前 1 x2 t 振动步调领先 0 2落后 1 x2 t 振动步调落后 实际上 x2比x1领先 与 x2比x1落后 2 这两种说法是等价的 同相 反相 x2 x1 x2 x1 2超前 1 2 x2 x1 2落后 1 2 x2 x1 解 1 0 例 一质点沿x轴作简谐运动 A 0 12m T 2s 当t 0时 质点离开平衡位置的位移x0 0 06m 且向x轴正向运动 求 1 简谐运动表达式 并画出振动曲线 2 t T 4时 质点的位置 速度 加速度 3 第一次通过平衡位置的时刻 A 0 12m 2 t T 4时 质点的位置 速度 加速度 3 第一次通过平衡位置的时刻 振幅矢量旋转角度 问题转化为 已知旋转角速度 问旋转5 6需要多少时间 还可以求 第二次 旋转角度11 6 平衡位置 1 代数方法 解析法或三角函数法 二 简谐振动的合成 同方向同频率的简谐振动的合成设两个振动有不同的振幅和初相位 其中 令 2 几何方法 矢量图解法或旋转矢量法 结论 仍然是同频率的简谐振动 上面得到 讨论 同相 合振幅最大 当 1 2 当 反相 合振幅最小 3 一般情况 2 同方向不同频率的简谐振动的合成 1 分振动 2 合振动 可见 合振动不是简谐振动 随 缓变 随 快变 合振动可看作振幅缓变的角频率为的 准简谐振动 包络线 3 拍 拍频 单位时间内强弱变化的次数 频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振动 合成时所产生的合振幅 时而加强时而减弱作周期性变化的现象 例如用音叉对弦 拍的周期 合振动振幅强弱变化一次所需要的时间 为包络线的周期的一半 例 两个同方向 不同频率谐振动的表达式分别为 则它们合振动的频率为 每秒的拍数 拍频 为 3 相互垂直的同频率的简谐振动的合成 这是一个椭圆方程 质点合振动的轨迹一般是个斜椭圆 具体形状取决于相位差 变形处理 消去t y超前x 2 轨迹顺时针 右旋 y落后x 2 轨迹逆时针 左旋 几种特殊情况 如果两个互相垂直的振动频率成整数比 合成运动的轨道是封闭曲线 运动也具有周期 这种运动轨迹的图形称为李萨如图形 Lissajous figures 反过来 在无线电技术中 利用李萨如图形可以测量频率 在示波器上 垂直方向与水平方向同时输入两个振动 已知其中一个频率 则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较 就可得知另一个未知的频率 4 相互垂直的不同频率的简谐振动的合成 1 2 1 3 2 3 几幅典型的李萨如图形 6 2弹性系统的振动 振动 受迫振动 自由振动 阻尼振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动 简谐振动 无阻尼自由谐振动 欠阻尼振动 临界阻尼振动 过阻尼振动 一 简谐振动的自由振动 1 动力学方程 水平弹簧振子 一个劲度系数为k的弹簧放在水平桌面上 一端固定不动 另一端系着一个质量为m的物体 令 建立如图的坐标系 物体质量m 坐标x 所受回复力为F 此方程的通解为 此即简谐振动的动力学方程 1 弹簧质量不计 2 物体大小不计 3 阻力 摩擦力 不计 2 单摆 数学摆 1 细线质量不计 阻力不计 3 逆时针转动为正 摆角 在作简谐振动 O 质点m在重力和拉力作用下绕O点在竖直平面内作定轴转动 根据定轴转动定理 设初始条件 振幅和初相 3 复摆 物理摆 当复摆 转动惯量为I 离开平衡位置转过 角时 受到一个使其转向平衡位置的净力矩 1 转轴摩擦不计 3 空气阻力不计 约定 4 逆时针转动为正 则 或 方程及其解与单摆形式相同 可认为单摆是复摆的特例 2 固有 圆 频率 弹簧振子 固有频率决定于系统内在性质 单摆 复摆 3 自由振动的谐振子1 谐振子判据 力学系统的振动都是由恢复力 弹性力或重力等 与惯性联合作用造成的 恢复力驱使系统回复平衡位置 而惯性则阻止系统停留在平衡位置 力与位移或角位移之间的线性关系 如 势能与 角 位移之间的平方函数形式 如 大部分稍微偏离平衡状态的稳定系统 都可以看成是谐振子 对于物理学中的许多问题 谐振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型 动能 势能 单摆的能量 4 谐振子的机械能自由振动谐振子的线性恢复力是保守力 系统机械能守恒 以水平弹簧振子为例 2 能量随时间变化 1 能量随空间变化 3 平均动能与平均势能相等 4 由初始能量求振幅 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球 弹簧伸长量为b 用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手 求证 放手后小球作简谐振动 并写出振动方程 静平衡时 自然长度 mg kb 证明 平衡位置 O x x 在任意位置x处 小球所受到的合外力为 可见小球作谐振动 故振动方程 b mg k b x 5 物体在平衡位置附近的运动考虑一维情况下物体的振动 取稳定平衡位置为坐标原点O 则在x 0处势能取极小值 即 与势能相应的作用力 在x 0附近对F x 作泰勒级数展开 有 而 在x 0附近 如果略去x的二阶和更高阶小量 则有 可见 在没有受到阻力的情况下 物体在稳定平衡位置附近的小振动均可以看作简谐振动 k为一正常量 例 两个气体分子之间的相互作用势能可以近似地表示为 称为伦纳德 琼斯势 式中r是分子间的距离 r0是分子间的平衡距离 Ep0是正的常量 试求气体分子在该势能作用下的振动角频率 解 先求出等效劲度系数k 再求角频率 其中 表示相对运动的两个分子的约化质量 二 谐振子的阻尼振动 阻尼振动 物体受到阻碍其运动的力的作用 从而使振动的振幅和能量逐渐衰减的振动 阻尼种类 摩擦阻尼 或粘滞阻尼 辐射阻尼 1 阻尼振动的三种运动方式 对在流体中运动的物体 在运动速度不太大时 物体所受的阻力和速度成正比 为阻力系数 讨论在阻力作用下的弹簧振子 运动方程变为 则运动微分方程 引入阻尼系子 固有圆频率 将形如的解代入上式 得到特征方程 按阻尼度 两个共轭复根 两个不同的实根 只有一个重根 微分方程有代表振动物体三种运动方式的解 或 1 的不同 特征方程有 其特征根是 1 欠阻尼 1 2 过阻尼 1 3 临界阻尼 1 特征方程有两个共轭复根 则微分方程解为 或 越大 振幅 随时间衰减得越快 周期 越长 特征方程有两个不同实根 则 特征方程只有一个重根 弛豫时间 通过控制阻尼的大小 以满足不同实际需要 O 则在切线方向 在 很小时变为 则 铅球密度 空气粘度 20 C 振幅按 衰减 在 内振幅减小10 可见 空气粘性对单摆的振幅的确有显著的影响 而对单摆的频率 空气粘性几乎没有影响 和周期 例 单摆由长度1 0m的细绳和半径5 0 10 3m的铅球构成 试说明空气的粘性对单摆的振幅和周期的影响 解 利用斯托克斯粘滞公式 空气作用在铅球上的粘力为 三 受迫振动与共振 为使振动持久而不衰减 可以利用外界驱动力对系统不断地作功 向系统提供能量 例如荡秋千 受迫振动 系统在外界驱动力作用下的振动 1 系统受力 弹性力 kx 2 振动方程 阻尼力 周期性驱动力Fd Fd0cos dt 其中 或 在欠阻尼情况下 方程的解为 3 稳态解 经过稍长的一段时间后 可认为暂态解已经衰减掉了 只留下稳态解 定态解 特点 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 将稳态解代入受迫振动方程 可求出可求出受迫振动的振幅B和初相 1 频率 等于外界驱动力的频率 d 2 振幅 3 初相 由 共振角频率 可得