刘老师多元积分11题解析 考研.doc

例1 求是由曲面所围成的区域解答及评述：1）找区域（不等式）：如何得到上面的不等式的注意两个事就可以了：一 区域是不等式；二 要有界的如果你写些其他形式的不等式，要不是矛盾的，要不无界。你可以试一下2）处理区域（本问题本来区域很简单，因为函数有点复杂，故要处理）（找个恰当的方式（坐标系）表示，找界（由有界，找不等式）：，3）微元：（那个1是换元后的那个行列式）4）求简单的三重积分本题是由于函数复杂引起的换元法。这类问题是少见的，一般问题是由于区域复杂引起的换元法。例2 求是由曲面所围解答与评述1）找区域（把原来曲面里的等式变成不等式，联立（有两个，需要同时满足）为什么不是另外一种形式？，因为这个无界2）处理区域，如何得到的？把新表示代入上述不等式解其得到的（注意要考虑完全）3）求微元4）求简单的三重积分=例3设W是由曲面与曲面围成的区域，求解答与评述1)找区域这三个不等式里，最后一个是已知的。前两个如何得到的呢?反正最多有四种可能的形式，但其他的三种都无界或矛盾。2）处理区域由上述不等式的形式，以下两种处理都不错，将来算起积分来也差不多，或，3）求微元或4）求简单的三重积分第二步里选择哪种处理，或许对这步有点影响，但问题不大。=其中前两个积分是零（原因是它们换成大倍角的时候，无常数,在一个周期里积分为零），或许这就是所谓的对称性。这个问题里，如果把这个条件去掉，问题就不是个恰当的问题，因为那个所围的区域不确定。例4 求其中常数a，b0，是由点沿曲线到点的弧解：曲线：这四个积分里，第二个和第四个很容易算下面处理第一个和第三个第一个=和第三相加正好为零。例5 求，其中：上从到解答与评述这个函数或许有些复杂，其实要真复杂，那这问题可不可以搞定还不一定呢，说明这个复杂里必有简单。不管曲线啥形状，我先处理一下函数的形式（当然曲线将来也会变形式的）令，变量由变成要积分的微分形式变为=曲线变为：，以下做法都知道了。只要用Green公式可以化简被积函数的，通过分部积分必可以达到这个目的，因为Green公式求曲线积分的实质就是分部积分（涉及原函数）例6 求，其中为平面曲线解答与评述问题很经典，大意是需要个所谓的对称性，答案是20个此椭圆的周长。因为前三个积分为零。怎么得到的三个零？一个函数太对称，必然非常简单，就这么得到的（看到形式感觉到的）。我用的是定积分的那两个对称性，多元的记不住(情况太复杂)1）找及处理曲线，2）求微元切向量=，=3）求定积分第一个积分 =0原因是这个被积函数：是个偶周期函数，有两个对称。这是定积分里的一个简单的习题，或者求一下也可以（需要分段的（因为要找单调区间），用换元）第二，三个类似。例7 求，其中为，方向：从轴正向看逆时针方向解答与评述这个问题的困难在处理曲线及其中的定向找曲线：（因为）处理曲线：，前面写出形式来不难，后面的范围也容易（因为没有其他的约束，所以要一个周期的）那个定向的事情麻烦一点，首先，题目里所谓的比如上下，从某轴看什么时针，实际上是假定我们用的是我们经常使用的那种坐标系，比如上下，那就是那个轴是垂直于我们的嘴的，一般还是右手系。我们可以取些具体的值（对曲线取三个以上）来确定，这个过程不好描述。计算定积分是容易的，是三角有理函数的积分问题例8 求被所截下部分的面积解答与评述先把粗答案写上：1）找曲面说的曲面是第一个，故第一个是等式；但非其全部(要是全部其面积是无穷)，是被第二个约束的一部分（为什么是上面的那种不等式，因为另外那种不是有界的）2）处理曲面， ；+3）求微元法向量=4）求简单的二重积分在区域上对函数求二重积分例9 求曲面与所围立体的表面积解答与评述1）找曲面：两块曲面:第一块是第一个曲面被第二个所截的部分：（为什么是这个不等式，而不是反向的，若反向的则无界，你验证一下）第二块是第二个曲面被第一个所截的部分：2）处理曲面：第一块： 第二块：3）求微元第一块法向量=第二块法向量=4）求两个二重积分并把结果求和例10 求，其中是平面内的曲线绕轴旋转一周所成的曲面，方向：法线与轴正向的角是锐角（不可以叫内外，因为不闭合）解答及评述1）找曲面2）处理曲面，3）找函数（向量）4）求微元且定向=现在求的这个方向恰好，若不是加负号（那个角度是锐角还是钝角只要看分量符号的正负，本问题是看第一个分量）5）求二重积分原曲面积分记为：，其中是单位法向量=这个二重积分不复杂例11求，其中为圆柱面x2 + y2 = 4，被平面x + z = 2和z = 0所截得部分的外侧（其实严格来说不可以这样说这个定向，因为不是闭合曲面，但我们知道这个是指的什么）解答与评述1）找曲面（为什么不等式是这个，若是反向的那个，是个矛盾不等式，即空集）2）处理曲面，（如果这第二个不等式不是天然就成立，则需要再确定的更小的范围）3）找函数4）求微元及定向=5）求简单的二重积分（做了个函数与微元的内积运算，）总结：以上11例均选自常见的考研辅导书的例题，但这里的处理和常见稍有不同。我们的观点是：不画图，但需要通过解不等式找界；不投影，是指曲面积分的，其实也算是投过了，只不过不是在直角坐标系里投的；不特殊，是指不太强调对称性，但需要你有这个感觉，然后在做成定积分的时候再用；不用公式，是指那三个微积分基本公式，是希望不要太依赖它们，而要关注它们真正的用途