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简单曲线的极坐标方程 复习 1 极坐标系的四要素 2 点与其极坐标一一对应的条件 极点 极轴 长度单位 角度单位及它的正方向 3 极坐标与直角坐标的互化公式 复习 极坐标化直角坐标 直角坐标化极坐标 1 圆的极坐标方程 曲线的极坐标方程定义 如果曲线C上的点与方程f 0有如下关系 1 曲线C上任一点的坐标 所有坐标中至少有一个 符合方程f 0 2 方程f 0的所有解为坐标的点都在曲线C上 则曲线C的方程是f 0 二求曲线的极坐标方程的步骤 与直角坐标系里的情况一样 建系 适当的极坐标系 设点 设M 为要求方程的曲线上任意一点 列等式 构造 利用三角形边角关系的定理列关于M的等式 将等式坐标化 化简 此方程f 0即为曲线的方程 探究1 如图 半径为a的圆的圆心坐标为 a 0 a 0 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 满足的条件 探究1 如图 半径为a的圆的圆心坐标为 a 0 a 0 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 满足的条件 探究2 如图 半径为a的圆的圆心坐标为 a 0 a 0 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 满足的条件 探究2 如图 半径为a的圆的圆心坐标为 a 0 a 0 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 满足的条件 0 例1 已知圆O的半径为r 建立怎样的坐标系 可以使圆的极坐标方程更简单 x O r M 1 圆心在极点 半径为2 2 圆心在C 1 0 半径为1 3 圆心在 1 2 半径为1 4 圆心在C 1 3 半径为1 练习1 求下列圆的极坐标方程 2 2cos 2sin 3 以极坐标系中的点 1 1 为圆心 1为半径的圆的方程是 C 2 极坐标方程分别是 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是多少 C 小结 1 曲线的极坐标方程概念2 怎样求曲线的极坐标方程3 圆的极坐标方程 2 直线的极坐标方程 1 负极径的定义说明 一般情况下 极径都是正值 在某些必要情况下 极径也可以取负值 1 负极径的定义对于点M 负极径时的规定 1 作射线OP 使 XOP 2 在OP的反向延长线上取一点M 使 OM 2 负极径的实例在极坐标系中画出点M 3 4 的位置 1 作射线OP 使 XOP 4 2 在OP的反向延长线上取一点M 使 OM 3 1 过点 3 0 且与x轴垂直的直线方程为2 过点 2 3 且与y轴垂直的直线方程为 x 3 y 3 思考 例1 求过极点 倾斜角为的射线的极坐标方程 2 求过极点 倾斜角为的射线的极坐标方程 3 求过极点 倾斜角为的直线的极坐标方程 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来 极坐标系里的直线表示起来很不方便 要用两条射线组合而成 原因在哪 为了弥补这个不足 可以考虑允许极径可以取全体实数 则上面的直线的极坐标方程可以表示为 或 练习1 求过极点 倾斜角为的直线的极坐标方程 例2 求过点A a 0 a 0 且垂直于极轴的直线l的极坐标方程 解 如图 建立极坐标系 设点 在中有 即 可以验证 点A的坐标也满足上式 为直线l上除点A外的任意一点 连接OM 求直线的极坐标方程步骤 1 据题意画出草图 2 设点是直线上任意一点 3 连接MO 4 根据几何条件建立关于的方程 并化简 5 检验并确认所得的方程即为所求 练习2求过点A a 2 a 0 且平行于极轴的直线l的极坐标方程 解 如图 建立极坐标系 设点为直线l上除点A外的任意一点 连接OM 在中有 即 可以验证 点A的坐标也满足上式 sin a IOMIsin AMO IOAI 例3设点A的极坐标为 直线过点A且与极轴所成的角为 求直线的极坐标方程 解 如图 建立极坐标系 设点 为直线上异于A点的任意一点 连接OM 在中 由正弦定理得 即 显然A点也满足上方程 化简得 练习3求过点P 4 3 且与极轴夹角为 6的直线的方程 例3 设点P的极坐标为 直线过点P且与极轴所成的角为 求直线的极坐标方程 解 如图 设点 的任意一点 连接OM 则 为直线上除点P外 由点P的极坐标知 设直线L与极轴交于点A 则在中 由正弦