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第四节一维开集 闭集 完备集的构造 第二章n维空间中的点集 定理1中任何非空的有界开集都是有限多个或可数个互不相交的开区间的并 证明 设是有界开集 则存在 使得 对任意 由是开的 知存在开区间 使 定理2设F是一非空的有界闭集 则F中必有一最大点 最大数 和一最小点 最小数 类似可证F有最小点 问题 根据开集与闭集的互余关系 如何构造直线上的闭集 定理3设是非空的有界闭集 则是由一闭区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区间而成 定理3的证明 设 则由定理2知 故是开集 由定理1知 存在有限个或可数个互不相交的开区间 使从而 证毕 问题 直线上什么样的闭集是完备的 所有的完备集都是这样的吗 定理4假设是非空有界闭集 则F是完备集当且仅当F是从一闭区间 a b 中去掉有限个或可数个彼此没有公共端点且与 a b 也无公共端点的开区间而成 定理4的证明 若是完备集 则显然挖去的开区间彼此无公共端点 否则这个公共端将是的孤立点 故必要性是显然的 再证充分性 只需证明任意都是的聚点 若不然 假设是其孤立点 则存在 使 且 由的构造知只能是某些挖去的开区间的公共端点 证毕
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