线代十四讲.ppt

3方阵的相似对角化 设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使P 1AP B 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似 对A进行运算P 1AP称为对A进行相似变换 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 一 相似矩阵与相似变换 因此 B E P 1AP E P 1AP P 1 E P P 1 A E P P 1 A E P A E 即A与B有相同的特征多项式 证明 因为A与B相似 所以有可逆矩阵P 使P 1AP B 二 相似矩阵与相似变换的性质 推论若阶方阵A与对角阵 因为 1 2 n是 的n个特征值 由定理1知 1 2 n也是A的n个特征值 相似矩阵的作用 若n阶矩阵A与 diag 1 2 n 相似 则有关的A计算可以大大简化 因为A与 相似 利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式 三 矩阵A可对角化的条件 2 A可对角化的条件 于是有Api ipi i 1 2 n 可见 i是A的特征值 而P的列向量pi就是A的对应于特征值 i的特征向量 定理2n阶矩阵A与对角阵相似 即A能对角化 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 推论如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角阵相似 如果的特征方程有重根 此时不一定有个线性无关的特征向量 从而矩阵不一定能对角化 但如果能找到个线性无关的特征向量 还是能对角化 例1设 问x为何值时 矩阵A能对角化 解 得 1 1 2 3 1 矩阵A可对角化的充分必要条件是对应重根 2 3 1 有2个线性无关的特征向量 即方程 A E x 0有2个线性无关的解 亦即系数矩阵A E的秩R A E 1 所以当x 1时 R A E 1 此时矩阵A能对角化 因为 问A能否对角化 若能对角化 则怎样化成对角矩阵 解 A E 1 1 2 由于 故A的特征值为 1 1 2 3 1 对于 1 1 解线性方程组 A E x 0 得基础解系p1 1 1 1 T 对于 2 3 1 解线性方程组 A E x 0 得基础解系 p2 0 1 0 T p3 0 0 1 T 因为p1 p2 p3线性无关 三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量 所以它可以化为对角矩阵 取P p1 p2 p2 即 则有P 1AP diag 1 1 1 问A能否对角化 解 A E 2 1 2 由于 故A的特征值为 1 2 2 3 1 对于 1 2 解线性方程组 A 2E x 0 得基础解系p1 0 0 1 T 对于 2 3 1 解线性方程组 A E x 0 得基础解系p2 1 2 1 T 因为A只有两个线性无关的特征向量 因此A不能对角化 由前面的例题可知 并不是任何一个方阵都可对角化的 但是当方阵A为实对称矩阵时 A必可对角化 且实对称矩阵对于我们讨论后面的二次型非常重要 4对称矩阵的相似对角化 定理1对称矩阵的特征值为实数 一 对称矩阵的性质 说明 本节所提到的对称矩阵 除非特别说明 均指实对称矩阵 定理1的意义 证明 于是 证明 它们的重数依次为 根据定理1 对称矩阵的特征值为实数 和定理3 如上 可得 设的互不相等的特征值为 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交 这样的特征向量共可得个 故这个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵 则 根据上述结论 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵 其具体步骤为 二 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 2 1 解 例对下列实对称矩阵 求出正交矩阵 使为对角阵 1 第一步求的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步将特征向量正交化 第四步将特征向量单位化 于是得正交阵 1 对称矩阵的性质 三 小结 1 特征值为实数 2 属于不同特征值的特征向量正交 3 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等 4 必存在正交矩阵 将其化为对角矩阵 且对角矩阵对角元素即为特征值 2 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤 1 求特征值 2 找特征向量 3 将特征向量单位化 4 最后正交化 思考题 思考题解答 5二次型及其标准形 一 二次型及其标准形的概念 称为二次型 2 二次型的矩阵表示 并规定 在二次型的矩阵表示中 任给一个二次型 就唯一地确定一个对称矩阵 反之 任给一个对称矩阵 也可唯一地确定一个二次型 这样 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 解 例 例如 都为二次型 为二次型的标准形 二 化二次型为标准形 标准型的矩阵表示 设 对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变换 将二次型化为标准形 证明 即为对称矩阵 也可按P69矩阵秩的性质 4 说明 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解 1 写出对应的二次型矩阵 并求其特征值 例2 从而得特征值 2 求特征向量 3 将特征向量正交化 得正交向量组 4 将正交向量组单位化 得正交矩阵 于是所求正交变换为 作业 因端午放假停课一周 作业多点 6月23号交 即下下周三 且各专业都要交 P110 30 31 P134 1 2 1 4 5 7 9 解 例3 五 小结 1 实二次型的化简问题 在理论和实际中经常遇到 通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系 将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵 而这是已经解决了的问题 请同学们注意这种研究问题的思想方法 2 实二次型的化简 并不局限于使用正交矩阵 根据二次型本身的特点 可以找到某种运算更快的可逆变换 下一节 我们将介绍另一种方法 拉格朗日配方法 思考题 思考题解答 6用配方法化二次型为标准形 一 拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形 其特点是保持几何形状不变 问题有没有其它方法 也可以把二次型化为标准形 问题的回答是肯定的 下面介绍一种行之有效的方法 拉格朗日配方法 1 若二次型含有的平方项 则先把含有的乘积项集中 然后配方 再对其余的变量同样进行 直到都配成平方项为止 经过非退化线性变换 就得到标准形 拉格朗日配方法的步骤 2 若二次型中不含有平方项 但是则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型 然后再按1中方法配方 解 例1 所用变换矩阵为 解 例2 由于所给二次型中无平方项 所以 再配方 得 所用变换矩阵为 二 小结 将一个二次型化为标准形 可以用正交变换法 也可以用拉格朗日配方法 或者其它方法 这取决于问题的要求 如果要求找出一个正交矩阵 无疑应使用正交变换法 如果只需要找出一个可逆的线性变换 那么各种方法都可以使用 正交变换法的好处是有固定的步骤 可以按部就班一步一步地求解 但计算量通常较大 如果二次型中变量个数较少 使用拉格朗日配方法反而比较简单 需要注意的是 使用不同的方法 所得到的标准形可能不相同 但标准形中含有的项数必定相同 项数等于所给二次型的秩 思考题 思考题解答 7正定二次型 一 惯性定理 一个实二次型 既可以通过正交变换化为标准形 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形 显然 其标准形一般来说是不唯一的 但标准形中所含有的项数是确定的 项数等于二次型的秩 下面我们限定所用的变换为实变换 来研究二次型的标准形所具有的性质 为正定二次型 为负定二次型 二 正 负 定二次型的概念 例如 证明 充分性 故 三 正 负 定二次型的判别 必要性 故 推论对称矩阵为正定的充分必要条件是 的特征值全为正 这个定理称为霍尔维茨定理 定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是 的各阶主子式为正 即 对称矩阵为负定的充分必要条件是 奇数阶主子式为负 而偶数阶主子式为正 即 正定矩阵具有以下一些简单性质 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的 解 二次型的矩阵为