2012年考研数学模拟题卷一及答案.pdf

全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 1 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 2012 年考研数学模拟题卷一2012 年考研数学模拟题卷一 本试卷满分 150 考试时间 180 分钟 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上 1 函数 1 1 tan x x eex f x x ee 在区间 上的第一类间断点是x A 0 B 1 C 2 D 2 2 设函数 f x g x任意阶可导 且满足 2 1 0 1 0 0 x fxfx g xf x xeff 则 A 0 1f 为 f x的极小值 B 0 1f 为 f x的极大值 C 点 0 1 为 yf x 的拐点 D 点 0 1 不为 yf x 的拐点 3 数 学 一 数 学 一 设 有 三 元 函 数 222 uxyz 点 0 0 0M与 始 于 点M的 单 位 向 量 cos cos cos n 考虑点M处的偏导数 M u x 与方向导数 M u n 则 A M u x 与 M u n 均存在 B M u x 与 M u n 均不存在 C M u x 存在但 M u n 不存在 D M u x 不存在但 M u n 存在 3 数学二 数学三 数学二 数学三 设 n x与 n y均无界 n z有界 则 A nn xy 必无界 B nn x y必无界 C nn xz 必无界 D nn x z必无界 4 设 f x是以T 0T 为周期且具有连续导数的函数 则下列说法中不正确的是 A fx也以T为周期 B 0 x f t dt 也以T为周期 C 0 x f tftdt 也以T为周期 D 00 xT x f t dtf u du T 也以T为周期 5 12312 都是四维列向量 且四阶行列式 12311223 mn 则四阶行列 2全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 式 32112 A mn B mn C nm D mn 6 对于n元方程组 下列命题正确的是 A 如果0 Ax只有零解 则Axb 有唯一解 B 如果0 Ax有非零解 则Axb 有无穷解 C 如果Axb 有两个不同解 则0 Ax有无穷多解 D Axb 有唯一解的充要条件是 r An 7 数学一 数学三 数学一 数学三 设随机变量X和Y相互独立 且 0 1XN 1 01YBpp 则 0P XY A p B 1 2 p C 1 2 p D 1 2 p 7 数学二 数学二 设 f x在 0 x的某邻域内有定义 并在 0 x的某去心邻域内可导 则下列说法中正确的是 A 若 0 lim xx fxA 存在 则 0 fx存在且等于A B 若 0 fx存在且等于A 则 0 lim xx fxA C 若 0 lim xx fx 则 0 fx不存在 D 若 0 fx不存在 则 0 lim xx fx 8 数学一 数学三 数学一 数学三 设随机变量 X Y均服从标准正态分布 且有XY 设 x 为标准正态分布 的分布函数 则二维随机变量 X Y的联合分布函数 F x y A max x y B min x y C 1min x y D 1max x y 8 数学二 数学二 设 A B C为任意常数 则微分方程 2 2 5cos x yyyex 有特解形式 A cos2sin2 x eABxCx B cos2sin2 x eABxxCxx C cos2sin2 x eAxBxCx D cos2sin2 x eAxBxxCxx 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸分 请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上 9 极限 2 tantan2 lim sinln 1 x x x 全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 3 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 10 设 yy x 由方程 2 1 sin 4 y x xt dt 确定 则 2 2 0 x d y dx 11 数学一 数学一 设L为从点 1 0A 到点 3 0 B的上半圆周 2 22 12 0 xyy 则 22 L xy dxxy dy xy 11 数学二 数学三 数学二 数学三 0 2 1 x x xe dx e 12 设 23y ux e z 其中 zz x y 由方程 333 30 xyzxyz 则 1 0 xy du 13 设A是三阶矩阵 是线性无关的三维列向量 满足0A A 及A 则A相似于 对角矩阵 其中 14 数学一 数学三 数学一 数学三 设随机变量 X Y相互独立 且 0 2 0 3XNYN 则 22 D XY 14 数学二 数学二 设 ln lnfxxx 则 n fx 2n 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 15 数学一 数学一 本题满分 10 分 设 f u为奇函数 且具有连续的一阶导数 S是由锥面 22 zxy 两球面 222 1xyz 与 222 2xyz 所围立体的全表面 向外 试计算 333 S x dydzyf xydzdxzf yzdxdy 15 数学二 数学三 数学二 数学三 本题满分 10 分 设 0 0Dx yxy 试计算 22 sin max D xydxdy 16 本题满分 10 分 假设 zz x y 具有连续的二阶偏导数 试确定常数a与b 使得经变量代换 uxay vxby 可将方程 222 22 430 zzz xx yy 化为 2 0 z u v 17 本题满分 10 分 设 xf在 0 a上可导 且 其它 1 求常数A 2 求条件概率密度 Y X fy x 22 数学二 数学二 本题满分 11 分 设连接两点 0 1 1 0 AB的一条凸弧 P x y为凸弧AB上的任意 点 已知凸弧与弦AP之间的面积为 3 x 求此凸弧的方程 23 数学一 数学一 本题满分 11 分 设总体X的概率密度为 全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 5 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 1 0 2 1 1 2 1 0 x f xx 其他 12 XX n X为来自总体X的简单随机样本 X是样本均值 1 求参数 的矩估计量 2 判断 2 4X是否为 2 的无偏估计量 并说明理由 23 数学三 数学三 本题满分 11 分 设离散型随机变量X服从参数为 01pp 则 0 f x为函数 f x的极小值 如果 21 000 0 n fxfxfx 且 2 0 0 n fx 使得 1nn xzM 又由于 n z也有界 则 2 0M 使得 2n zM 这样 就有 12nnnnnnn xxzzxzzMM 与 n x无界矛盾 故假设不成立 也即 nn xz 必无界 故选 C 其它选项的反例 令 nn xn yn 则有 n x与 n y均无界但 nn xy 有界 可知 A 是错误的 令0 1 0 2 0 3 0 n xn 1 0 2 0 3 0 0 n yn 则有 n x与 n y均无界但 nn x y有界 可知 B 是错误的 直接令0 n z 可知对任意的 n x nn x z必有界 可知 D 是错误的 4 设 f x是以T 0T 为周期且具有连续导数的函数 则下列说法中不正确的是 A fx也以T为周期 B 0 x f t dt 也以T为周期 C 0 x f tftdt 也以T为周期 D 00 xT x f t dtf u du T 也以T为周期 答案 答案 B 解析 解析 B 的反例 令 cos1f xx 以2 为周期 易知 0 sin x f t dtxx 不为周期函数 可知 0 x f t dt 不一定为周期函数 由 f xf xT 求导可得 fxfxT 可知 fx也以T为周期 00 x Tx f tftdtf tftdt 2 2 0 T x T T x f tftdtf tftdt f tft 为奇函数 可知 0 x f tftdt 也 以T为周期 0000 x TTxT xTx f t dtf u duf t dtf u du TT 全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 9 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 0 0 x TT x f t dtf u du 可知 00 xT x f t dtf u du T 也以T为周期 故唯一不正确的选项为 B 注 注 利用周期函数的性质 本题还有如下的解法 假设 f x以T为周期 则 000 x Txx TT x f t dtf t dtf t dtf t dt 可知 0 x f t dt 也以T为周 期的充要条件是 0 0 T f t dt 由于仅从本题的条件无法判断是否有 0 0 T f t dt 可知 0 x f t dt 不一 定为周期函数 易 知 f xfx 以T为 周 期 而 2 0 2 0 T T T f tftdtf tftdt 可 知 0 x f tftdt 也以T为周期 而 0000 1 xTxT x f t dtf u duf tf u du dt TT 易知 0 1 T f xf u du T 以T为周期 而 0000 1 0 TTTT f tf u du dtf t dtf u du T 可知 0000 1 xTxT x f t dtf u duf tf u du dt TT 也以T为周期 5 12312 都是四维列向量 且四阶行列式 12311223 mn 则四阶行列 式 32112 A mn B mn C nm D mn 答案 答案 C 解析 解析 本题考查行列式的性质 3211232113212 而 32111231 m 321232211223 n 可知 32112 nm 故选 C 6 对于n元方程组 下列命题正确的是 A 如果0 Ax只有零解 则Axb 有唯一解 B 如果0 Ax有非零解 则Axb 有无穷解 10全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 C 如果Axb 有两个不同解 则0 Ax有无穷多解 D Axb 有唯一解的充要条件是 r An 答案 答案 C 解析 解析 0 Ax只有零解的充要条件是 r An A列满秩 而 r An 时 r A与 r Ab不一 定相同 故Axb 也有可能无解 事实上 可以令 100 010 001 001 A 1 1 1 2 b 易知0 Ax只有零解 而Axb 的最后两个方程分别为 3 1x 与 3 2x 是相互矛盾的 易知该线性方程组无解 可知 A 错 误 类似地 0 Ax有非零解的充要条件是 r An 而 r An 时 r A与 r Ab不一定相同 故Axb 也有可能无解 事实上 可以令 123 246 A 2 5 b 易知 1r A 故0 Ax有非零解 而 2r Abr A 故Axb 无解 故 B 错误 如果Axb 有两个不同解 可知 r An 故0 Ax有无穷多解 故 C 正确 由 A 的分析过程可知 D 也是错误的 故唯一正确的选项是 C 注 注 考生可以进一步思考 本题如果限定系数矩阵A为方阵 那么哪些选项是正确的 7 数学一 数学三 数学一 数学三 设随机变量X和Y相互独立 且 0 1XN 1 01YBpp 则 0P XY A p B 1 2 p C 1 2 p D 1 2 p 答案 答案 D 解析 解析 本题Y的分布律为 0 1P Yp 1 P Yp 将事件0Y 与1Y 看做一个完备事件组 由全概率公式可得 0000101P XYP YP XYYP YP XYY 由于 00001P XYYP 1 010 0 2 P XYYP X 其中 x 为标准正 态分布的分布函数 全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 11 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 故 1 011 22 p P XYpp 故选 D 7 数学二 数学二 设 f x在 0 x的某邻域内有定义 并在 0 x的某去心邻域内可导 则下列说法中正确的是 A 若 0 lim xx fxA 存在 则 0 fx存在且等于A B 若 0 fx存在且等于A 则 0 lim xx fxA C 若 0 lim xx fx 则 0 fx不存在 D 若 0 fx不存在 则 0 lim xx fx 答案 答案 C 解析 解析 直接证明 C 的结论 当 0 lim xx fx 时 若 f x在 0 x处不连续 则 0 fx自然不存在 故不妨设 f x在 0 x处连续 此时 由拉格朗日中值定理可得 0 0 f xf x f xx 其中 在x与 0 x之间 则 000 0 0 limlim lim xxxxx f xf x ff xx 故 0 fx不存在 故选 C 注 注 由于题目中没有要求 f x在 0 x连续 因此 即使 f x在 0 x的某去心邻域内可导 并且导数的极限 0 lim xx fx 存在 函数在该点也有可能是不可导的 故 A 错误 若 0 fx存在 并且 0 lim xx fx 也存在 那么必有 0 0 lim xx fxfx 但仅由 0 fx存在是推不出 0 lim xx fx 存在的 故 B 也是错误的 8 数学一 数学三 数学一 数学三 设随机变量 X Y均服从标准正态分布 且有XY 设 x 为标准正态分布 的分布函数 则二维随机变量 X Y的联合分布函数 F x y A max x y B min x y C 1min x y D 1max x y 答案 答案 B 解析 解析 由二维随机变量联合分布函数的定义可知 F x yP Xx Yy 由于XY 可知 P Xx YyP Xx Xy 由积事件的定义可知事件XxXy 等于 min Xx y 12全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 故 min min F x yP Xx yx y 故选 B 8 数学二 数学二 设 A B C为任意常数 则微分方程 2 2 5cos x yyyex 有特解形式 A cos2sin2 x eABxCx B cos2sin2 x eABxxCxx C cos2sin2 x eAxBxCx D cos2sin2 x eAxBxxCxx 答案 答案 B 解析 解析 原微分方程可以写成 11 2 5cos2 22 xx yyyeex 其特征方程为 2 250rr 特征 根为12ri 对 应 于 自 由 项 1 2 x e 的 特 解 为 1 x yAe 对 应 于 自 由 项 1 cos2 2 x ex 的 特 解 为 2 cos2sin2 x ye x BxCx 所以原方程有特解形式 12 cos2sin2 x yyeABxxCxx 故选 B 二 填空题 二 填空题 9 极限 2 tantan2 lim sinln 1 x x x 答案 答案 2 sec 2 解析 解析 由洛必达法则可知 2 2 22 tantan2sec limlimsec 2 1 sinln 1 cosln 1 1 xx xx x x x 10 设 yy x 由方程 2 1 sin 4 y x xt dt 确定 则 2 2 0 x d y dx 答案 答案 2 解析 解析 将0 x 代入 2 1 sin 4 y x xt dt 可得 0 1y 对等式 2 1 sin 4 y x xt dt 两边同时求导可得 2 1 1 sin 4 yyx 可得 2 csc1 4 yyx 全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 13 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 再次求导可得 2 2csccot 1 444 yyxyxy 再将0 1xy 代入可得 00 3 2 xx yy 11 数学一 数学一 设L为从点 1 0A 到点 3 0 B的上半圆周 2 22 12 0 xyy 则 22 L xy dxxy dy xy 答案 答案 ln3 解析 解析 2222 xyxy PQ xyxy 易验证 PQ yx 可知该积分在任何不含原点的区域上与路径无 关 为了便于计算 令点C为 1 0 1 L为从点 1 0A 到点 1 0C的上半圆周 22 1 0 xyy 2 L为从 点 1 0C到点 3 0 B的直线段0 13yx 可知 12 2222 LLL xy dxxy dyxy dxxy dy xyxy 将 1 L参数化为 cos sin xt yt 易知点 1 0A 处t 点 1 0C处0t 代入可得 1 0 22 cossin sin cossin cos L xy dxxy dy tttttt dt xy 再将0y 代入可得 2 3 22 1 ln3 L xy dxxy dydx xyx 可知 12 2222 ln3 LLL xy dxxy dyxy dxxy dy xyxy 11 数学二 数学三 数学二 数学三 0 2 1 x x xe dx e 答案 答案 ln2 解析 解析 00 22 1 1 xx xx xexe dxdx ee 14全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 0 0 0 00 1 1 11 ln 1ln2 1 x xx x x x xd e xdx ee e dx e e 注 注 本题不能直接作分部积分 0 000 2 1 1 111 x xxxx xexdx dxxd eeee 这样计算 那么两 部分 0 1 x x e 与 0 1 x dx e 都是发散的 需要将两部分和在一起取极限 广义积分本质上也是极限 运算时 需要遵循极限的运算法则 12 设 23y ux e z 其中 zz x y 由方程 333 30 xyzxyz 则 1 0 xy du 答案 答案 52dxdy 解析 解析 将1 0 xy 代入 333 30 xyzxyz 可得1z 再对等式 333 30 xyzxyz 两边同时取微分可得 222 33330 x dxy dyz dzyzdxxydzxzdy 将1 0 1xyz 代入可解得 1 0 xy dzdxdy 又由于 32322 23 yyy duxe z dxx e z dyx e z dz 代入可得 1 0 52 xy dudxdy 13 设A是三阶矩阵 是线性无关的三维列向量 满足0A A 及A 则A相似于 对角矩阵 其中 答案 答案 1 1 0 解析 解析 由于0A 可知0为矩阵A的特征值 由A 及A 相加可得 A 再由这两式相减可得 A 由于 线性无关 可知 与 均不为零向量 可知1与1 为矩阵A的特征值 可知 三阶矩阵A有三个互不相同的特征值0 1 1 故A可相似对角化 且A可相似于对角矩阵 全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 15 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 1 1 0 注 注 本题答案不唯一 对角矩阵中的特征值排列次序可以任意调换 14 数学一 数学三 数学一 数学三 设随机变量 X Y相互独立 且 0 2 0 3XNYN 则 22 D XY 答案 答案 26 解析 解析 由于 0 2XN 可知 0 1 2 X N 故 2 2 1 2 X 类似地 有 2 2 1 3 Y 由于 X Y相互独立 可知 2222 2222 234926 2323 XYXY D XYDXDYDDDD 注 注 本题用到了 2 分布的方差 设 2 Xn 则2DXn 14 数学二 数学二 设 ln lnfxxx 则 n fx 2n 答案 答案 1 xx xene 解析 解析 令ln x ux xe 得 ln ln u fufxxxue 则 x fxxe 故 1 1 n nxxx fxxexene 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 15 数学一 数学一 本题满分 10 分 设 f u为奇函数 且具有连续的一阶导数 S是由锥面 22 zxy 两球面 222 1xyz 与 222 2xyz 所围立体的全表面 向外 试计算 333 S x dydzyf xydzdxzf yzdxdy 解析 解析 设 为由由锥面 22 zxy 两球面 222 1xyz 与 222 2xyz 所围的立体 容易 检验本题的积分满足高斯公式的条件 故利用高斯公式进行计算 333 S x dydzyf xydzdxzf yzdxdy 16全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 33 3 222 33 3 yf xyzf yz x dxdydz xyz xyxfxyzyfyzdxdydz 由于 f u为奇函数 fu为偶函数 故 xfxy与 yfyz分别为关于x和y的奇函数 由于空间区域 关于坐标平面zox及yoz均对称 故由对称性可知 0 xfxy dxdydzyfyz dxdydz 故原式 222 333xyzdxdydz 利用球面坐标计算三重积分可得 22 2224 4 001 3 3333sin9 210 5 xyzdxdydzddrdr 15 数学二 数学三 数学二 数学三 本题满分 10 分 设 0 0Dx yxy 试计算 22 sin max D xydxdy 解析 解析 设 1 0Dx yyx 2 0Dx yxy 则 121 22222 sin max sinsin2sin DDDD xydxdyx dxdyy dxdyx dxdy 最后一个等式用到了轮换 对称性 1 2222 000 0 1 sinsinsincos1 2 x D x dxdydxx dyxx dxx 可知 原式2 16 本题满分 10 分 假设 zz x y 具有连续的二阶偏导数 试确定常数a与b 使得经变量代换 uxay vxby 可将方程 222 22 430 zzz xx yy 化为 2 0 z u v 解析 解析 由复合函数求导法则可知 zzuzvzz xuxv xuv zzuzvzz ab yuyv yuv 22222222 22222 2 zzzzuzvzuz vzzz xxuxvuxu v xv uxvxuu vv 2 2 zzz ab yyuyv 全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 17 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 2222222 22 2222 2 zuzvzuzvzzz aabbaabb uyu v yv uyvyuu vv 2z zz x yyuyv 2222222 2222 zuzvzuzvzzz aabb uyu v yv uyvyuu vv 代入 222 22 430 zzz xx yy 可得 222 22 22 1 43 24 61 430 zzz aaababbb uu vv 据题意 应取 2 1430aa 及 2 1430bb 得到四组解 1 11 3 3 1 1 1 3 3 aa a b bb 及 1 1 a b 由于取第一组及第四组解时 2z u v 的系数24 6abab 也为0 与题意不符 故有 1 3 1 a b 或 1 1 3 a b 17 本题满分 10 分 设 xf在 0 a上可导 且 1 0 1 x a n nef x dxf aa n 证明 0 a 使0 ff 证明 证明 令 x F xe f x 则 afaF 由积分中值定理 存在 1 1 0a n 使 1 1 0 1 fedxxfen a n ax 再 由 条 件 1 0 x a n nef x dxf a 可 得 1 1 a eff a 整 理 可 得 1 1 a e fe f a 即 1 FF a 对 xF在 1 a 上用 Rolle 中值定理得 0 1 aa 使 18全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 0Feff 即 0ff 18 本题满分 10 分 设k为常数 试讨论函数 23 ln 2 f xxxxk 在它定义域内的零点个 数 解析 解析 231 2ln 2 12ln 2 2 22 xx fxxxx xx 当 1 2x 时 0fx 可知 1 1fk 为函数 f x的最大值 故当1k 时 由于 3 lim lim 23 ln 2 lim2ln 2 1 xxx k f xxxxkxx xx 222 lim lim 23 ln 2 lim ln 2 2 xxx f xxxxkxk 可知函数 f x有两个零点 19 数学一 数学三 数学一 数学三 本题满分 10 分 将 2 2 arctanln 1 1f xxxx 展成x的幂极数 解析 解析 22 22 2arctan2arctan 11 xx fxxx xx 2 2 0 2 2 1 1 nn n fxx x 1 1 x 221 00 00 1 0 2 1 2 21 n xx nnn nn fxfxfft dtt dtx n 1 1 x 而 2122 00 00 1 1 1 0 22 21 21 22 nn xx nn nn f xf xff t dttdtx nnn 1 1 x 故有 222 01 1 1 1212 21 22 2 21 nn nn nn f xxx nnnn 1 1 x 当1x 时 级数 2 1 1 2 2 21 n n n x nn 绝对收敛 可知 2 1 1 12 2 21 n n n f xx nn 1 1 x 全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 19 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 19 数学二 数学二 本题满分 10 分 设 f x具有连续的导数 且有 0 0f 0 0 f 求 2 2 0 1 03 0 lim x x f xt dt xf xt dt 解析 解析 令 2 xtu dtdu 令xtu 1 dtdu x 于是有 22 2 00 1 0033 00 limlim xx x xx f xt dtf u du xf xt dtxf u du 22 002 00 2 2 limlim 2 2 xx xx xf xf x xf u dux f xf u duxf x 22 00 4 4 limlim 0 3 3 xx xfxfx f xf f xxfx fx x 4 0 1 3 0 0 f ff 20 本题满分 10 分 设 A B X均为三阶矩阵 其中 3970105 1117 3 144 757627 AB 问 是否存在X 使得AXABX 若存在 求出所有的X 若不存在 说明理由 解析 解析 方程AXABX 可化为 AB XA 其中 312 433 130 AB 由于AB 不可逆 故 不能用 1 AB XABA 来求X 为 此 将X与A按 列 分 块 123123 XA 则 AB XA 可 化 为 1 2 3 ii ABi 对矩阵 123 AB 作初等行变换得 20全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 让有理想的人更加卓越 精勤求学 自强不息 312397130757 433 11170102 18614 130757015327921 130757 0102 18614 000000 解得 11 AB 的通解为 111 3 1 57 0 9 TT kkR 22 AB 的通解为 222 3 1 55 0 3 TT kkR 33 AB 的通解为 333 3 1 57 0 7 TT kkR 故 123 123 123 735373 953575 kkk Xkkk kkk 其中 123 k k kR 21 本题满分 12 分 设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0 1 1 12 11 1 0 a a 是A的两个不 同的特征向量 且 122 A 1 求参数a的值 2 求方程 2 Ax 的通解 3 求矩阵A 解析 解析 1 假设 111222 AA 则由 122 A 可知 11222 也即 1122 10 由 12 线性无关可知 12 0 1 故 1 是属于特征值 1 0 的特征向量 2 是属于特征值 23 1 的特征向量 根据实对称矩阵的性质 12 必正交 故有 12 1 T a 得 1a 2 因为A可以对角化 且 0 1 1 A 可见 2r A 于是齐次线性方程组0Ax 的基础解系所 含解向量的个数为3 1r A 而 1 0A 因此 1 可作为0Ax 的基础解系 又 2 是 2 Ax 的特解 全国统一服务热线 全国统一服务热线 400 668 2190 21 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 故 2 Ax 的通解为 21 11 11 10 xkk k为任意常数 3 设 23 1 的另一特征向量为 1 32 3 x x x 则 3 与 1 正交 不妨进一步要求 3 与 2 也正交 则 有 1312 0 T xx 23123 0 T xxx 解得 3 1 1 2 由 12323 0 A 得 1 23123 11 0 22 11 0 0 22 001 A 22 数学一 数学三 数学一 数学三 本题满分 11 分 已知随机变量 X Y的概率密度为 0 0 0 x y xy A xyxy exy f x y 其它 1 求常数A 2 求条件概率密度 Y X fy x 解析 解析 1 为了方便后面计算 Y X fy x 先计算 X fx 当0 x 时 0 x y xy X fxA xyxy edy 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 11 xx y x y xxx y x y xx xxx Aexyxy edy e AexyxyAeedy x xe AeAe xx x AeAeAe xx 当0 x 时 0 X fxf x y dy 可知 0 0 0 x X