理想流体的旋涡运动

什么是无旋流动和有旋流动 什么是流线 第四章理想流体的旋涡运动 流体的旋涡运动是自然界普遍存在的一种流动现象 例如台风 龙卷风依然在破坏亚洲 澳洲和美洲的海岸 每年吞噬这成千上万人的生命 由于它的特殊性 人们对其认识在早期十分模糊 并且带上一种神秘的色彩 百慕大三角区的旋涡更使人神秘莫测 另外旋涡还伴随有飞机 舰船等的机械能损失 另一方面 旋涡有利于人类 现代生物力学证实主动脉窦内血液流动形成的蜗旋使主动脉瓣在射血结束时关闭 保证了人体血液循环的正常运行 利于三角翼形成的涡旋可增加机翼的升力 在水坝泄水口 为保证坝基不被急泄而下的水流冲坏 采用消能设备人为制造涡旋以消耗水流动能 涡旋运动的一些基本概念和运动学特性 a 图是圆筒中水随圆筒一起绕轴转动形成的涡流 此时水的运动如同刚体一样转动 流体质点速度和离轴距离成正比 b 图是水中插一个旋转的直圆柱面形成的涡流 注意 自由面呈现抛物曲面形状 c 图是面浆中插一个旋转直圆柱形成的涡流 有趣的是面浆会顺着圆柱向上 爬 d 图是流体以一定流速绕过圆柱时 圆柱后面将出现两列交替排列的涡 称为卡门涡街 e 图是柱状涡 旋风就是这一类涡流 通常直径10m 面高达1000m f 图是碟状涡 海洋和大气层中很多为此类涡流 和柱状涡相反 其直径达1000km 而高度约10km g 图是人体主动脉窦内血液在主动脉辩开启时所形成的涡流 正是这个涡的作用使主动脉瓣在射血结束时关闭 涡的这个作用早已由达芬奇指出 h 图是银河系的涡状结构 天文测旦证实了这样的结构 此类结构的星系并不是唯一的 宇宙中成千成万地存在着 无旋流动 有旋流动 在图 a 中 虽然流体微团运动轨迹是圆形 但由于微团本身不旋转 故它是无旋流动 在图 b 中 虽然流体微团运动轨迹是直线 但微团绕自身轴线旋转 故它是有旋流动 在日常生活中也有类似的例子 例如儿童玩的活动转椅 当转轮绕水平轴旋转时 每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动 但是每个儿童始终是头向上 脸朝着一个方向 即儿童对地来说没有旋转 判断流体微团无旋流动的条件是 流体中每一个流体微团都满足 流体的流动是有旋还是无旋 是由流体微团本身是否旋转来决定的 流体在流动中 如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动 则称为有旋流动 如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动 则称为无旋流动 这里需要说明的是 判断流体流动是有旋流动还是无旋流动 仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定 而与流体微团的运动轨迹无关 4 1涡量场以及旋涡的运动学特性 速度的旋度称为流场的涡量 是矢量流场 称为涡量场 1涡线 涡管和涡束1843年H L F赫姆霍茨 1 涡线定义 某一瞬时漩涡场中的一条曲线 曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致 由定义推导出其微分方程 设某一点上流体微团的瞬时角速度为 取过该点涡线上的微元矢量为 根据定义 这两个矢量方向一致 矢量积为0 即 这就是涡线的微分方程 涡面在涡量场中任取一条非涡线的曲线 过该曲线的每一点作同一时刻的涡线 这些涡线将构成一个曲面称作涡面 涡管定义 某一瞬时 在漩涡场中任取一封闭曲线c 不是涡线 通过曲线上每一点作涡线 这些涡线形成封闭的管形曲面 如果曲线c构成的是微小截面 那么该涡管称为微元涡管 横断涡管并与其中所有涡线垂直的断面称为涡管断面 在微小断面上 各点的旋转角速度相同 2涡通量和速度环量 对有限面积 则通过这一面积的涡通量定义为 速度环量定义 某一瞬时在流场中取任意闭曲线 在线上取一微元线段 速度在切线上的分量沿闭曲线的线积分 即为沿该闭合曲线的速度环量 开尔文1869年 速度环量是标量 有正负号 规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向 沿曲线顺时针绕行的方向为负方向 速度环量是旋涡强度的量度 通常用来描述漩涡场 证 流体以等速度v0水平方向流动 先求沿图所示的矩形封闭曲线的速度环量 其次求沿图所示圆周线的速度环量 同样可证 均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量等于零 例题1证明均匀流的速度环量等于零 实际上 速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小 或者说所反映的是流体的有旋性 由Stokes定理 涡通量J与速度环量虽然都能用来表征旋涡的特性 但是在某些时况下 利用速度环量往往更为方便 这是因为速度环量是线积分 被积函数是速度本身 而涡通量则是面积分 被积函数是速度的偏导数 再考虑例1 3 涡管强度守恒定理 内容 在同一时刻 同一涡管的各个截面上 涡通量 涡管强度 都是相同的 称为该瞬时涡管的强度 若A为某瞬时涡管的某一横截面 则涡通量 由Gauss定理 对于微元涡管 近似认为 由涡管强度守恒定理 1 对于同一微元涡管 截面越小的地方 涡量越大 2 涡管截面不可能收缩到零 涡管 涡线 本身首尾相接 形成一封闭的涡环或涡圈 涡管 涡线 两端可以终止于所研究流体的边壁上 固体壁面或自由面 4 2Kelvin速度环量定理 涡管强度守恒定理指出 同一时刻涡管不同截面的涡通量是相同的 然而Stokes定理又指出任一封闭曲线上的速度环量等于以该曲线为周界的任意曲面的涡通量 由此 我们知道 同一时刻绕涡管的任意封闭曲线的速度环量相等 但是 不同时刻的情况如何呢 下面将讨论这个问题 1速度环量随时间的变化率 首先引出流体线 也称为时间线 的概念 与迹线相关 流体线 指在流场中任意指定的一段线 该线段在运动过程中始终是由同样的流体质点所组成 体系 封闭流体线速度环量对时间的变化率等于此封闭流体线的加速度环量 Kelvin方程 t时刻流体线微元 t 时刻流体线微元 2Kelvin环量定理 正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何封闭流体线的速度环量不随时间而变化 即 体力有势 流体是正压的 对于密度函数仅与压力有关的理想流体 当体力有势时 沿任何封闭流体线的速度环量在流体运动的全部时间内将保持不变 由Kelvin方程 1涡线 涡管和涡束 2涡通量和速度环量的关系 3 涡管强度守恒定理 4Kelvin定理 4 3Lagrange定理 在有势的质量力作用下 正压理想流体中 在某一时刻流体内的某一部分内没有旋涡 则在以前或以后的时间内 该部分流体内也不会有旋涡 证明 由条件知 在某一时刻 可认为是初始时刻 在被研究的那部分流体中 处处有 则由Stokes公式知 由Kelvin定理 沿上述任意封闭流体线的速度环量 在以前或以后的时间内将保持为零 A是以封闭流体线L为边界的流体面 再利用由Stokes公式 对于完全位于所讨论的那部分流体中的任何流体曲面A而言 在运动过程中 始终有 由于曲面A选取的任意性 故要使上式成立 则必须处处有 2亥姆霍兹 Helmholtz 方程 理想流体运动中涡量必须满足的方程 公式11 在有势的质量力作用下 正压理想流体 亥姆霍兹方程 它为动力学方程 优点是不出现压力 体力和密度 而只包含速度和涡量 3关于旋涡的形成和消失 由Lagrange定理可知 当流体满足下述三个条件 1 流体是理想的 2 流场是正压的 3 体力是有势的时 若流体在某时刻的运动有旋 则将永远有旋 若流体某时刻的运动无旋 则将永远无旋 即流场中的旋涡既不会产生也不会消失 因此 Lagrange定理是判断流场是否有旋的重要定理 1 无穷远均匀来流绕流物体的流场是无旋流场 2 物体在静止流场中的运动所造成的流场也是无旋流场等等 但要特别指出的是 如果上述三个条件中有一个条件得不到满足 旋涡就既可以产生 也可以消失 这说明等压面与等密度面处处重合 在实际流体的流场中 开始并不存在旋涡 只是流体绕过物体或流体流经特变的边界时才产生旋涡 这表明 旋涡既能在流体中产生也会在流体中消失 粘性是旋涡产生和消失的根本原因 流线不能突然折转 因而在图的物体尾部 必然有一部分流体不能参与主流方向的运动 而被主流带动产生涡旋这样就消耗了主流的能量 或者增大了运动物体的阻力 如果将物体平直的尾部改成圆滑的 流线型 形状 则可以减小尾部的涡旋 改善运动物体的动力性能 所谓 流线型 就是适应流线不能突然折转而采取的减少阻力的措施 在局部装置处经常出现涡旋区和速度的重新分布 涡旋区中 流体不规则地旋转 碰撞 回流 往往给主流运动造成巨大的阻碍 消耗主流运动的能量 导致压强 水头 能量的降低 这种涡旋区的存在是局部阻力的普遍现象 1涡线保持定理在有势的质量力作用下 正压理想流体中 在某一时刻构成涡面 涡线或涡管的流体质点 在运动的全部时间内将仍然构成涡面 涡线或涡管 正压性的理想流体在有势的质量力作用下 涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管 4 4涡线及涡管强度保持定理 亥姆霍兹旋涡定理 在初始时刻流体涡面上 任取一个封闭流体线L为周界的流体曲面A 依据涡面的定义和Stokes公式 由Stokes公式 首先证明涡面的保持性 在初始时刻组成涡面的流体质点 在以后任一时刻也永远组成涡面 因为周线可取任意小 而且它可位于面上的任意位置 因此在面上任一点都应有 即为涡面 涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管 涡面永远保持为由相同流体质点组成的涡面 下面证明涡线保持定理 在初始时刻取一涡线 通过作两个相交的涡面与 以后任一时刻 由涡面保持定理都是涡面 所以是涡线 流体质点冻结在涡线上随涡线一起运动 2涡管强度保持定理 在有势的质量力作用下 正压理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化 永远保持定值 由Kelvin定理 沿上述封闭流体周线的速度环量在运动的全部时间内保持不变 再由涡管表面保持性 涡管强度在运动中永远保持不变 涡管强度守恒定理 例在理想 不可压缩流体的定常流动中 若体力有势 试证明 1 对于平面流动 沿流线涡量保持不变 2 对于的轴对称流动 沿流线保持不变 证明 对于平面流动 存在 在流动平面 xy 上 任取一小流管 宽度为一个单位的流层 在流管中做面积为的微元涡管 根据涡管强度保持定理 根据连续性方程 因为流体不可压缩 所以沿流线 沿流线涡量总与z轴平行 且数值不变 所以涡量沿流线保持不变 2 对于的轴对称流动 存在因此 r1 x r 在流管中做面积为的微元涡管 根据涡管强度保持定理 对于不可压缩流体 根据质量守恒原理 组成上述环形涡管的流体质量应守恒 r2 4 5旋涡的形成 形成旋涡的原因可能是以下三个中的一个 1 流体是非理想的 2 流体是非正压的 3 体力是无势的 1流体是非正压时旋涡的形成 仍考虑流体是理想的 体力是有势的 由Kelvin方程 由此得 比容 为了阐明上述方程右端项放入意义 下面引进等压 等容管概念 p 常量称为等压面 常量称为等容面对于正压情况 等压面和等容面是重合的 对封闭流线L 但对于非正压情况 等压面和等容面彼此相交的 作一系列单位间距的等压面和等容面 将流体空间分为一系列管子 称为单位等压 等容管 在AD BC上 p恒定 dp 0 在AB DC上 恒定 当周线L包含N1个正的单位等压 等容管 当周线L包含N2个负的单位等压 等容管 Bjerknes定理 伯耶克内斯 如果流体是理想的 且体力是有势的 则沿着任何封闭流体线L的速度环量对时间的导数将等于穿过此周线L的正的与负的单位等压 等容管数目之差 对于处在有势体力作用下的理想 非正压流体 通过任何流体面A的涡通量对时间的导数将等于穿过该流体面力的正的与负的单位等压 等容管数目之差 由于速度环量刻划了漩涡的性质 所以 等压面与等容面的相交便是旋涡形成的原因之一 他们发现 每年的11月到第二年的3月 风总是从东北方的大陆上吹来 拂动着海水向西南流去 这时的海上总是晴空万里 积云和雨水都很少 4月至11月则恰恰相反 出现西南风 驱赶着云涛和海流不断驰向东北方 海上的雷雨也比较多 横渡印度洋的办法找到了 说起来道理很简单 只消掌握住风向和海流的变化规律 就能定期扬帆到远方去贸易 并能按时顺风返回故乡 夏 秋两季 可以利用西南风直航印度 冬 春季两行 再顺着东北风返回阿拉伯半岛和非洲 依靠季风的帮助 他们十分顺利地建立起了和非洲 印度的联系 接着 印度和波斯的船只也出现在这条航线上 由于这种按季节而变化的定向风帮了商船队的大忙 所以人们就把它称作贸易风信风 贸易风 假定地球是圆球 在高度相同的地方压力相同 即等压面是以地心为中心的球面 由于太阳对地球表面照射强度不同 同一高度 赤道要比北极温度高 因此 沿球面从北极向赤道温度逐步升高 根据气体状态方程 可以看到 比容由北极向赤道逐步增大 此外 在同一地点 高度越高 空气越稀薄 比容也越大 所以等容面不是球面 而是自赤道到北极向上倾斜 这样 沿到有正的单位等压 等容管 即 从而是空气沿地面从北纬流向南纬 在赤道上升 然后再从上层流回北纬 在北纬处再下降到地面 这种环流就是贸易风 3体力无势的时漩涡的产生 假设理想流体 但不正压 以地球表面上大气运动为例说明体力无势时漩涡的产生 考虑地球自转 在运动坐标系中流体的相对运动方程为 R为所研究的流体质点到地球自转轴的距离 地球引力有势 第一项反映对速度环量变化的影响 将产生贸易风 由于贸易风 在圆周L上每一点将有自北纬到南纬运动的速度 L逆时针为正 所以Coriolis力无势将使即随着时间的增长 将减小 这样 就产生按顺时针方向由东向西的风 因此 贸易风将不是严格地自北向南吹 而是自东北向西南吹 4 6由涡量场和散度场决定速度场 流动区域出现漩涡时 流动状态将发生变化 所以确定漩涡引起的速度场常常是重要的 5 3由涡量场决定速度场 设在流场中 同时存在涡旋场和散度场 1 其中分别为已知的速度散度和涡量函数 现要求这散度和涡量场所决定的速度场V 1基本方程的归结 由流体与物面即不分离又不渗透的条件可知 物面上流体的法向速度应等于物体本身的法向速度 即 将速度V分解为三部分 3 2 将 3 式带入基本方程 1 和边界条件 2 它们可分解为 必存在速度势 以上三组方程和边界条件与原基本方程及边界条件的提法是完全等价的 对而言 相当于求满足Poisson任一特解 第一组方程 若假定稍后说明含义 对而言 也相当于求满足Poisson任一特解 它们可分解为 15式 第二组方程 代入无散度条件 所对应的边界条件 式中的与由第一组和第二组方程的特解给出 因此 求已知散度场和旋度场引起的流动 可以归结为求解两个与散度和旋度有关的Poisson方程的特解 以及一个Laplace方程及其边界条件的解 下面仅讨论给定旋度场的不可压缩流动 第二组方程 Laplace方程 第三组方程 给定旋度场的不可压缩流动 相当于给定旋度场的无散度流动 是矢量型泊松方程 有解 为涡量场 为积分元到所感应点的距离 现在假设点源所在的点M的坐标为 其强度为 要求它在M点以外任一点P x y z 处所定的边度场 第二组方程 对应的诱导速度场为 4 56 的力学含义