大学数学 极限.ppt

1 3极限概念 limit 极限概念是微积分的基本概念 极限是一种非初等运算 也是微积分学研究的基本工具 后面将要介绍的函数的连续性 导数 积分等重要概念 都是以极限为基础的 极限是高等数学中的一种重要的研究方法 极限是以发展的眼光分析事物 变量 的变化规律 通过极限我们可以深入到函数的局部去了解函数 并且体会如何在运动的过程中把握变化的事物 从而深化对客观世界的认识 1 3 1数列的极限 limitofsequence 数列的定义 按照一定规律有次序排列的无穷多个数称为数列 记作 称为通项 一般项 数列的极限 数列极限的定义 请同学们回忆一下 中国古代的极限思想 一尺之椎 日取其半 万世不竭 考察当n 时 通项xn的变化趋势 数列极限的实质 例如 趋势不定 数列 数列当项数n无限变大时 的极限定义 数列的各项 数值向一个常数 无限靠近 则称常数 为该数列的极限 记作 或 如果一个数列的极限存在 则称该数列是收敛 converge 如果一个数列的极限不存在 则称该数列是发散 diverge 常数0称为此数列的极限 记作 例如 收敛 趋势不定 发散 记作 例1 已知 证明 证 时 可以无限变小 故 函数 随着自变量的变化而变化 研究函数的极限 就是研究当自变量按照某种 方式变化时所对应的 1 3 2函数的极限 limitoffunction 函数值的变化趋势 二 自变量趋于有限值时函数的极限 自变量变化过程的六种形式 一 自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 1 时 函数f x 的极限 定义 设函数y f x 在x大于某个正数a时有定义 A是某确定常数 如果当自变量x趋于时 f x 与A的距离任意小 则称函数f x 在时以A为极限 1 时 函数f x 的极限 记为 指数函数 如 例如 同理 正弦函数 余弦函数 对数函数 2 时 函数f x 的极限 定义 设函数y f x 在点x0的某空心邻域内有定义 A是某确定常数 如果当自变量x趋近于x0时 f x 与A的距离任意小 则称函数f x 在x趋于x0时以A为极限 2 时 函数f x 的极限 记为 正弦函数 余弦函数 可以证明 以下的极限均成立 3 单侧极限 左极限与右极限 左极限 如果当从 的左侧无限趋近 时 记着 函数f x 无限趋近于一个确定的常数A 则称A为函数f x 当 时的左极限 记作 类似可定义右极限 函数的左极限和右极限统称为单侧极限 对数函数 例如 定理1 1 当时 函数极限存在的充要条件是左 右极限存在且相等 即 例6 设函数 讨论 时 的极限是否存在 解 利用定理 因为 显然 所以 不存在 例7问a为何值时 所给函数x 2处极限存在 解 左极限 右极限 欲函数在x 2处极限存在 必须左极限 等于右极限 即a 8 思考 1 研究函数极限时 是否要考虑f x 在x x0时的性态 为什么 2 若f x0 0 和f x0 0 都存在 当x趋于x0时 f x 的极限存在吗 3 如何利用f x0 0 和f x0 0 来判断当x趋于x0时 f x 的极限不存在 4 若极限 是否一定有 常用的极限结果 极限不存在的有 练习 设 求 作业NO 13 3 分析 的