高一数学 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 1 给出下列四个命题 其中正确的是 b 在空间若两条直线不相交 则它们一定平行 平行于同一条直线的两条直线平行 一条直线和两条平行直线的一条相交 那么它也和另一条相交 空间四条直线a b c d 如果a b c d 且a d 那么b c a b c d 解析 错 可以异面 正确 公理4 错误 和另一条可以异面 正确 由平行直线的传递性可知 2 空间两条互相平行的直线指的是 d a 在空间没有公共点的两条直线b 分别在两个平面内的两条直线c 在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 d 在同一平面内且没有公共点的两条直线 3 若a和b是异面直线 b和c是异面直线 则 a a c d b a和c是异面直线c a和c相交d a和c或平行或相交或异面 4 一条直线和两条异面直线中的一条相交 则它与另一条 的位置关系是 d a 平行b 相交c 异面d 平行或相交或异面 重点 两直线的位置关系及公理4 1 空间两条直线的位置关系 2 公理4 平行同一条直线的两条直线互相平行 它反映了空间中的平行线也具有传递性 3 等角定理 空间中如果两个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 难点 两异面直线所成的角 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 把a b 所成的锐角 或直角 叫异面直线a b所成的角 或夹角 a b 所成的角的大小与点o的选择无关 为了简便 点o通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围为 0 90 如果两条异面直线所成的角是直角 则叫两条异面直线垂直 记作a b 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步 选点 平移 定角 计算 特别注意 如果已知条件中有中点 应首先考虑三角形的中位线 判断空间两直线的位置关系 例1 下列说法正确的有 平行于同一直线的两条直线平行 垂直于同一直线的两条直线平行 过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条 a 1个c 3个 b 2个d 4个 思维突破 正确 在平面内成立 在空间中不成立 如图1中 a1a ad ab ad 但a1a ab a 故 不正确 在空间中有无数条 图1 答案 b 判断空间两直线的位置关系需紧扣概念 结合平移的思想 发挥空间想象力 借助长方体等几何模型 得出正确答案 1 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是aa1 ab的中点 试判断下列各对线段所在直线的位置关系 1 ab与cc1 2 a1b1与dc 3 a1c与d1b 4 dc与bd1 5 d1e与cf 1 2 一条直线和两条异面直线中的一条平行 则它和另一 d 条的位置关系是 a 平行c 异面 b 相交d 相交或异面 异面 平行 相交 异面 相交 平行公理的应用 例2 空间四边形abcd中 p q r h分别是ab bc cd da的中点 1 求证 四边形pqrh是平行四边形 2 若ac bd 则四边形pqrh是什么四边形 3 若ac bd 则四边形pqrh是什么四边形 4 空间四边形abcd满足什么条件时 pqrh是正方形 解 1 在 abd中 p h分别为ab ad的中点 即ph为中位线 2 1 如图2 已知正方体abcd a1b1c1d1 e f g h分别为ab ad c1b1 c1d1的中点 试判断下列直线是否平行 图2 1 ad1与bc1 2 ef与gh 3 de与hb1 求异面直线所成的角 例3 如图3 在正方体abcd a1b1c1d1中 图3 1 哪些棱所在的直线与直线ba1是异面直线 2 哪些棱所在的直线与直线aa1垂直 3 直线ba1和cc1的夹角是多少 4 直线ba1和b1c的夹角是多少 5 直线bd和ac1的夹角是多少 5 分别取b1b d1d的中点e f 连接ae ec1 c1f fa ef 显然ef bd 四边形aec1f为菱形 ef ac1 即bd ac1 故直线bd和ac1的夹角是90 求异面直线所成角的基本方法就是平移 有时候平移两条直线 有时候只需要平移一条直线 得到两条相交直线 最后在三角形或四边形中解决问题 图4 a 45 b 60 c 90 d 120 解析 连接bc1 a1b a1c1 ef 则ef a1b gh bc1 a1bc1是异面直线ef gh所成的角 在正方体中 a1bc1是等边三角形 a1bc1 60 b 例4 若p是两条异面直线l m外的任意一点 则 a 过点p有且仅有一条直线与l m都平行b 过点p有且仅有一条直线与l m都垂直c 过点p有且仅有一条直线与l m都相交d 过点p有且仅有一条直线与l m都异面 正解 b 错因剖析 由公理4知过点p没有与l m都平行的直线 c d选项中 都有无数条