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1 2 5解对初值的连续依赖性和可微性定理 考察 的解对初值的一些基本性质 解对初值的连续性解对初值和参数的连续性解对初值的可微性 内容 2 G 解对初值的对称性 Q 当初值发生变化时 对应的解是如何变化的 当初始值微小变动时 方程的解变化是否也是很小呢 初值问题的解不单依赖于自变量 同时也依赖于初值 初值变动 相应的初值问题的解也将随之变动 3 按解的存在范围是否有限 又分成下面两个问题 4 定义2 5 设初值问题 解对初值的连续依赖性 初值问题 5 6 证明 则由解的唯一性知 即此解也可写成 且显然有 7 引理如果函数于某域G内连续 且关于y满足利普希茨条件 利普希茨常数为L 则对方程的任意两个解及 在它们的公共存在区间内成立着不等式 其中为所考虑区间内的某一值 证明 则 8 于是 因此 两边取平方根即得 9 定理2 8 解对初值的连续依赖性定理 条件 I 在G内连续且关于满足局部L 条件 II 是 1 满足的解 定义区间为 a b 结论 对 使得当 时 方程 1 过点的解在 a b 上也有定义 且 方程 10 思路分析 11 记积分曲线段S 显然S是xy平面上的有界闭集 第一步 找区域D 使 且在D上满足Lips 条件 y G 见下图 由已知条件 对 存在以它为中心的圆 使在其内满足Lips 条件 利普希茨常数为 根据有限覆盖定理 存在N 当时 有 对 记 则以为半径的圆 当其圆心从S的左端点沿S运动到右端点时 扫过的区域即为符合条件的要找区域D b a 12 13 第二步 证明在 a b 上有定义 假定利用引理2及的连续性可得 14 第三步 证明 在不等式 中将区间 c d 换成 a b 即得 15 根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性 显然有 解对初值的连续性定理 条件 在G内连续且关于满足局部Lips 条件 方程 16 定理2 9解对初值可微性定理
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