高考数学总复习 第五单元第五节三角函数的图象和性质Ⅰ课件.ppt

第五节三角函数的图象和性质 求三角函数的定义域与值域 1 求函数f x 的定义域 2 求函数y 的值域 分析 1 分式的分母不能为零 平方根的被开方数大于等于零 对数的真数大于零及底数大于零且不等于1 正切函数本身有意义 2 化为关于sinx的二次函数后 配方求其值域 解 1 要使函数有意义 由已知得即 定义域为 k z 2 1 sinx 1 y 2sinx 1 sinx 2 4 y 故函数y 的值域为 规律总结 1 求三角函数的定义域 实质就是解三角不等式 组 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解 在函数的化简变形中要注意等价转化 求值域时要考虑函数的定义域的影响 2 求三角函数的值域问题 主要有以下几种题型及对应解法 将y asinx bcosx化为y asin x 来求 y asin2x bcosx c型可换元转化为二次函数 sinxcosx与sinx cosx同时存在时可换元转化 y 型 可用分离常数法或由 sinx 1 cosx 1来解决 y 型 可用有界性来解决 变式训练1 1 求函数f x 的定义域 2 求函数y log2的值域 解析 1 由 tanx 0 得tanx k x k k z f x 的定义域为 k z 2 sin 1 1 又 1 2 1 y 1 即y log2的值域为 1 1 画三角函数的图象 画出函数f x sin在一个周期内的图象 分析依据正弦函数作图的三个主要步骤 即列表 描点 连线 解 1 列表如下 2 描点 连线 规律总结五点法作图 是三角函数作图的主要方法之一 函数y sinx y cosx的五个关键点是固定的 其他类型的三角函数 可以类比上述两种函数的作法 找到相应的五个关键点 通过列表 描点 连线 得到函数的大致图象 变式训练 设函数f x sin 2x 0 y f x 图象的一条对称轴是直线x 1 求 2 画出函数y f x 在区间 0 上的图象 解析 1 x 是函数y f x 图象的对称轴 sin 1 k k z 0 2 根据y sin 列表 描点连线得函数y f x x 0 的图象 如图所示 三角函数的周期与最值 设函数f x asin x bcos x 0 的最小正周期为 并且当x 时 有最大值f 4 求a b 的值 分析将三角函数式进行变形 利用周期公式求参数 利用x 时 取最大值4列方程组 解方程组得a b 解由 0得 2 f x asin2x bcos2x 当x 时 f x 的最大值为4 得即解得 规律总结明确三角函数的周期t与 的关系 是求三角函数周期或利用周期的关键 充分理解正 余弦函数的有界性 不仅可以求最值 而且可以应用最值得方程组 求其他量 变式训练3已知向量a 2 b sin2 x cos2 x 0 若f x a b 且f x 的最小正周期为 求f x 的最大值 并求f x 取得最大值时x的集合 解析 f x a b sin2 x 2cos2 x sin2 x 2 sin2 x cos2 x 1 2sin 1 t 1 f x 2sin 1 ymax 1 此时x的集合为 三角函数的奇偶性 单调性和对称性 12分 已知函数f x cos2 g x 1 sin2x 1 设x x0是函数y f x 图象的一条对称轴 求g x0 的值 2 求函数h x f x g x 的单调递增区间 分析 1 由对称轴的性质求g x0 即求y f x 的最大和最小值 2 把h x f x g x 通过恒等变换化为一个角的一种三角函数的形式 再求单调区间 解 1 由题设知f x x x0是函数y f x 图象的一条对称轴 2x0 k k z 即2x0 k k z g x0 1 sin2x0 1 sin k z 2分当k为偶数时 g x0 1 sin 1 4分当k为奇数时 g x0 1 sin 1 6分 2 h x f x g x 1 sin2x sin 9分当2k 2x 2k k z 即k x k k z 时 函数h x sin 是增函数 11分故函数h x 的单调递增区间是 k z 12分 规律总结求函数y asin x 的单调区间时 可先把相位 x 中的 化成正数 再将化简后的 x 视为一个整体 结合基本初等函数y sinx的单调性和复合函数单调性的判定方法去求解最为方便 变式训练4已知函数f x cos 2sin sin 1 求函数f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 2 判断函数f x 在区间上的单调性 解析 1 f x cos 2sin sin cos2x sin2x sinx cosx sinx cosx cos2x sin2x sin2x cos2x cos2x sin2x cos2x sin 周期t 由2x k k z 得x k z 函数图象的对称轴方程为x k z 2 x 2x f x sin在区间上单调递增 在区间上单调递减 1 三角函数图象的作法 1 利用三角函数线作图 正弦函数 余弦函数图象的作法利用正弦线 余弦线分别作出y sinx y cosx在区间 0 2 上的图象 然后利用诱导公式 将其扩展到整个定义域上 得到正 余弦函数曲线 亦可以先作出正弦函数曲线 再通过平移得到余弦函数的图象 正切函数图象的作法先利用正切线作出y tanx x 的图象 再将该图象左右平移得到正切函数曲线 2 利用特殊点法 正弦函数 余弦函数图象 在平面直角坐标系中 用光滑的曲线分别连接 0 0 0 2 0 和 0 1 1 2 1 五个关键点 即得y sinx y cosx在区间 0 2 上的图象 然后左右平移可以得到整个定义域上的图象 正切函数图象 利用一点两线作一个周期上的正切图象 一点即图象与x轴的交点 两条直线即图象的渐进线 画出草图 再左右平移得正切曲线 2 三角函数图象的对称轴与对称中心y sinx的对称轴为x k k z 对称中心为 k 0 k z y cosx的对称轴为x k k z 对称中心为 k z y tanx的对称轴为x k k z 对称中心为 k z 3 三角函数的性质 1 求三角函数的定义域本质上就是解三角不等式 组 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解集 列三角不等式时 既要考虑分式的分母不能为零 偶次方根被开方数大于等于零 对数的真数大于零及底数大于零且不等于1 又要考虑三角函数本身的定义域 2 求三角函数的值域的常用方法 化为求代数函数的值域 化为求y asin x b的值域 化为关于sinx 或cosx 的二次函数式 3 三角函数的单调性求三角函数的单调区间 一般先将函数式化为基本三角函数的形式 要特别注意a 的正负对单调性的影响 函数y asin x a 0 0 的单调区间的确定 基本思路是把 x 看作一个整体 运用复合函数的单调性求解 利用单调性比较大小 利用奇偶性或周期性转化为同一单调区间上的同名函数值 在同一单调区间利用函数的单调性进行比较 4 求三角函数的周期的常用方法 经过恒等变换 把三角函数式化成 y asin x y acos x 的形式 再利用周期公式求解 另外还可以结合图像和定义等 5 三角函数的奇偶性的判断方法 首先判定函数的定义域是否关于原点对称 当函数的定义域关于原点对称时 再运用奇偶性定义进行判断 已知sinx siny 求siny cos2x的最大值 错解由已知得siny sinx 故siny cos2x sin2x sinx 1 sinx 1 令t sinx 故有f t t2 t 1 t 1 配方得f t 当t 1时 原式取得最大值 错解分析上述错解极为普遍 虽然考生注意到了换元前后的等价性 但有考生易忽视也是解答过程中易错的一个方面 但却忽视了已知等式sinx siny 中的两个变量是相互约束的 即 由于 1 siny 1 故sinx必须满足 1 sinx 1