高考数学总复习 第五单元第四节简单的三角恒等计算课件.ppt

第四节简单的三角恒等计算 由三角变换求值或求角 已知cos cos 且0 1 求tan2 的值 2 求 的值 分析 1 先求sin 再求tan 最后由二倍角公式求tan2 2 先求角 的余弦值 再求角 解 1 2 由0 得0 又 cos 由 得 cos cos cos cos sin sin 规律总结三角恒等变换是实现角与角 三角函数与三角函数 三角函数式之间转化的主要运算 求值或求角正需要这种有效变化 因此 求值或求角的解题途径主要是 角的变化 函数名称的变化和三角函数式的变化 变式训练1求 的值 解析 由三角变换化简三角函数式 已知tan tan 是方程x2 4x 2 0的两个实根 化简 cos2 2sin cos 3sin2 分析先由已知条件找到角 满足的关系式 再根据该关系式与要化简式子的联系 实施恒等变换 解由已知 有tan tan 4 tan tan 2 规律总结该题目是一个有条件的化简问题 化简该三角函数式时 需要借助已知条件 因此 首先要根据已知条件 找到两个角的关系 发现两角和的正切可求 由此想到 将已知式子向正切方向转化 最后使式子得以化简 而且求得值 变式训练2化简 解析 由三角变换证明三角恒等式 1 求证 2 已知5sin 3sin 2 求证 tan 4tan 0 分析 1 两边分别切化弦 通过三角变换进行化简 2 从角入手 进行角的保值变换 出现欲证等式中的角 再由三角变换进行化简 证明 1 左边 右边 原等式成立 2 把5sin 3sin 2 化成5sin 3sin 得5sin cos 5cos sin 3sin cos 3cos sin 移项合并得2sin cos 8cos sin 0 tan 4tan 0 规律总结 1 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异 有目的地化繁为简 左右归一 或变更论证 2 常用方法有 定义法 化弦法 化切法 拆项拆角法 1 的代换法 公式变形法等 3 条件恒等式的证明 需要充分依据已知条件 观察条件与结论中角 名称 次数的差异 从而选择不同的公式 进行三角变换 变式训练3求证 证明 三角恒等变换的综合应用 12分 已知正实数a b满足求b a的值 分析思路一 从方程的观点考虑 将等式左边的分子 分母同时除以a 则已知等式可化为关于的方程 从而可求出 思路二 若注意到等式左边的分子 分母都具有asin bcos 的结构 可考虑引入辅助角求解 思路三 考虑两角和的正切的形式 引入辅助角 解方法一 由题设得 4分 8分 12分 方法二 3分 6分 由题设得 8分 12分 方法三 原式可变形为 4分 8分 10分 12分 规律总结上述解法中 方法一 利用了方程的思想 从方程中求得的表达式 再由三角变换化至最简 方法二 分子分母分别应用了式子asin bcos sin 和acos bsin cos 的形式 方法三 通过式子的恒等变形 类比两角和的正切公式 进行角的代换 从而求得角 再求的值 由本例可以看出 三角恒等交换方法多样 要注意总结各方法的优点 熟练运用 变式训练4已知x r f x sin2x cos2x 1 若0 x 求f x 的单调递减区间 2 若f x 求x的值 解析 f x sin2x cos2x sin2x cos2x sin2x cos2x sin 1 0 x 当 2x 即 x 时 f x 为减函数 故f x 的单调递减区间为 2 sin 2x 2k 或2x 2k x k k z 或x k k z 1 三角恒等变换的几种主要途径 1 角的变换 观察角之间的和 差 倍的关系 减少角的种类 化异角为同角 2 函数名的变换 观察 比较题设与结论之间 等号的左右两边的函数名的差异 化异名为同名 3 常数的变换 常用的方式有1 sin2 cos2 tan sin等 4 次数的变化 常用方式是升次或降次 主要公式是二倍角的余弦公式及其变形 5 结构变化 对条件 结论的结构进行调整 或重新分组 或移项 或变除为乘 或求差等 2 三角函数式的化简方法 1 直接应用公式进行降次 消项 2 切化弦 异名化同名 异角化同角 3 三角公式的逆用等 3 三角函数的求值类型 1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 要观察所给角与特殊角间的关系 利用三角变换消去非特殊角 转化为求特殊角的三角函数值问题 2 给值求值 给出某些角的三角函数式的值 求另外一些角的三角函数值 解题的关键在于 变角 如 2 等 把所求角用含已知角的式子表示 求解时要注意角的范围的讨论 3 给值求角 实质上转化为 给值求值 问题 由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角 4 三角等式的证明 1 三角恒等式的证题思路根据等式两端的特征 通过三角恒等变换 应用化繁为简 左右同一等方法 使等式两端化 异 为 同 2 三角条件等式的证题思路通过观察 发现已知条件和待证等式间的关系 采用代入法 消参法或分析法进行证明 5 形如y asinx bcosx的函数 先转化为y sin 其中 的形式 再研究性质 已知 且tan tan 是方程x2 3x 4 0的两个根 则 的值为 a 或 b c 或d 错解 tan tan 是方程x2 3x 4 0的两个根 tan 在 内正切值等于的角只有和 或 错解分析没有对条件进行深入地分析 扩