高中数学第一轮总复习 第2章 第8讲 函数的奇偶性与周期性课件 理 新课标.ppt

第二章 函数 函数的奇偶性与周期性 第8讲 1 函数f x ax2 bx 3a b是区间 a 1 2a 上的偶函数 则a b 0 解析 x0 所以f x f x x 2 x 1 x2 x 1 x 0时 f 0 f 0 得f 0 0 所以x 0时 函数f x 的解析式为 函数奇偶性的判断 点评 在函数奇偶性的定义中 有两个必备条件 一是定义域关于原点对称 这是函数具有奇偶性的必要不充分条件 所以首先考虑定义域对解决问题是有利的 二是判断f x 与f x 是否具有等量关系 在判断奇偶性的运算中 可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 这样能简化运算 如本题中 4 判断f x f x 0是否成立 要方便得多 本题 3 是分段函数判断奇偶性 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数 分段函数奇偶性的判断 要分别从x 0或x 0来寻找等式f x f x 或f x f x 是否成立 只有当对称的两个区间上满足相同关系时 分段函数才具有确定的奇偶性 函数奇偶性的应用 点评 抓住奇函数的定义或特殊性质 是解决此类问题的重要法宝 函数的周期性 例3 偶函数f x 满足f x 3 f x 当x 3 2 时 f x 2x 求f 116 5 的值 解析 因为f x 6 f 3 x 3 f x 3 f x 所以函数f x 的周期t 6 又116 5 19 6 2 5 所以f 116 5 f 2 5 f 2 5 2 2 5 5 点评 求周期函数的函数值 要根据函数的周期性 将自变量的范围转化到已知区间上 利用已知区间上函数的表达式求函数值 变式练习3 已知函数f x x r 的图象经过原点 且f x 2 f x 5 求f 2010 的值 解析 令u x 2 得x u 2 则f u f u 3 所以函数f x 的周期为3 依题意 f 0 0 且2010 670 3 所以f 2010 f 0 0 函数的奇偶性 周期性的综合 点评 在抽象函数讨论中 函数的奇偶性 周期性与函数图象的对称性是紧密联系在一起的 如偶函数具有对称轴x a a 0 则一定是周期函数 因为图象关于x a a 0 对称 则f a x f a x 成立 所以f 2a x f a a x f a a x f x f x 所以周期为2a 变式练习4 f x 是定义在r上的奇函数 满足f x 3 f 3 x 若x 0 3 时 其解析式为y x2 1 求x 6 3 时 函数f x 的解析式 解析 因为f x 在r上是奇函数 所以f 6 x f 3 3 x f 3 3 x f x f x 所以f x f x 6 当x 6 3 时 x 6 0 3 所以f x 6 x 6 2 1 则f x x2 12x 37 x 6 3 1 若函数y x 1 x a 为偶函数 则a 解析 由f 1 f 1 得0 2 1 a 所以a 1 1 2 2011 安徽卷 设f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 解析 f 1 f 1 2 1 2 1 3 2 3 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 2 f x 则f 6 的值为 解析 方法1 因为f x 是奇函数 所以f 0 f 0 f 0 所以f 0 0 所以f 6 f 4 f 2 f 0 0 方法2 因为f x 4 f x 2 f x 所以f x 是以4为周期的周期函数 又因为f 0 f 0 f 0 所以f 0 0 所以f 6 f 2 f 0 0 0 4 已知f x 是r上的奇函数 当x 0时 f x 2x log2x 求函数f x 的解析式 5 已知函数f x 对一切x y r都有f x y f x f y 1 求证 f x 是奇函数 2 若f 3 a 用a表示f 12 1 函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 因此 判断函数的奇偶性 一要看定义域是否关于原点对称 二要看f x 与f x 的关系 2 判断函数奇偶性的方法一般有两种 一是定义法 步骤 看定义域是否关于原点对称 若不对称 则该函数为非奇非偶函数 若对称 则看解析式能否化简 能够化简的 一定要化简解析式 看f x 与f x 的关系 可以直接观察 也可以用定义的变形式 二是图象法 作出图象 根据图象的对称性得出结论 一般分段函数的奇偶性的判断多用图象法 3 奇函数f x 如果在x 0处有意义 则必有f 0 0 即奇函数的图象若与y轴有交点 则交点一定是原点 4 如果一个函数既是奇函数