高考数学 专题突破 第一部分专题三第二讲 数列求和及综合应用课件 理.ppt

专题三数列 第一部分专题突破方略 第二讲数列求和及综合应用 主干知识整合 2 数列求和的方法技巧 1 转化法有些数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将数列通项拆开或变形 可转化为几个等差 等比数列或常见的数列 即先分别求和 然后再合并 2 错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 3 倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法 也就是将一个数列倒过来排列 反序 当它与原数列相加时若有公式可提 并且剩余项的和易于求得 则这样的数列可用倒序相加法求和 4 裂项相消法利用通项变形 将通项分裂成两项或几项的差 通过相加过程中的相互抵消 最后只剩下有限项的和 3 数列的应用题 1 应用问题一般文字叙述较长 反映的事物背景陌生 知识涉及面广 因此要解好应用题 首先应当提高阅读理解能力 将文字语言转化为数学语言或数学符号 实际问题转化为数学问题 然后再用数学运算 数学推理予以解决 2 数列应用题一般是等比 等差数列问题 其中 等比数列涉及的范围比较广 如经济上涉及利润 成本 效益的增减 解决该类题的关键是建立一个数列模型 an 利用该数列的通项公式 递推公式或前n项和公式求解 高考热点讲练 归纳拓展 若 an 是等差数列 bn 是等比数列 则cn an bn的前n项和可利用错位相减法求得 所谓 错位 就是要找 同类项 相减 要注意的是相减后得到部分等比数列的和 此时一定要查清其项数 变式训练2已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 1 2sn n n 1 求数列 an 的通项an 2 求数列 nan 的前n项和tn 已知 an 是公比为q的等比数列 且a1 2a2 3a3 1 求q的值 2 设 bn 是首项为2 公差为q的等差数列 其前n项和为tn 当n 2时 试比较bn与tn的大小 归纳拓展 一般在数列不等式的证明中 解题有个角度 放缩法 但在放缩过程中要注意放缩的方向具有一致性 在放缩的度上始终把待证结果作为放缩的目标 适时调整放缩度 不能放得过大或过小 当然数列与不等式的交汇还有很多 具有数列与不等式的双重角色 蕴涵着两种不同的思想 但在解题时 依然以数列与不等式的基础知识与方法作为解题的依据 综合分析并解答问题 解 1 因为sn 2an n 令n 1 解得a1 1 再分别令n 2 n 3 解得a2 3 a3 7 2 因为sn 2an n 所以sn 1 2an 1 n 1 n 2 n n 两式相减 得an 2an 1 1 所以an 1 2 an 1 1 n 2 n n 又因为a1 1 2 所以 an 1 是首项为2 公比为2的等比数列 则an 1 2n 故an 2n 1 3 因为bn 2n 1 an 2n 1 所以bn 2n 1 2n 所以tn 3 2 5 22 7 23 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2tn 3 22 5 23 2n 1 2n 2n 1 2n 1 得 tn 3 2 2 22 23 2n 2n 1 2n 1 假设某市2011年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2011年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08 n 1 由题意可知an 0 85bn 有250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85 解得满足上述不等式的最小正整数n 6 到2016年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 归纳拓展 1 用数列知识解相关的实际问题 关键是合理建立数学模型 数列模型 弄清所构造的数列的首项是什么 项数是多少 然后转化为解数列问题 求解时 要明确目标 即搞清是求和 求通项 还是解递推关系问题 所求结论对应的是一个解方程问题 解不等式问题 还是一个最值问题 然后进行合理推算 得出实际问题的结果 2 解这类数列问题 在列项时 一般先不算出最后结果 这样便于发现其中的规律 进而写出通项公式 变式训练4某市投资甲 乙两个工厂 2011年两工厂的年产量均为100万吨 在今后的若干年内 甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨 乙工厂第n年比上一年增加2n 1万吨 记2011年为第一年 甲 乙两工厂第n年的年产量分别记为an bn 1 求数列 an bn 的通项公式 2 若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍 则将另一工厂兼并 问到哪一年底其中一个工厂将被另一工厂兼并 解 1 因为 an 是等差数列 a1 100 d 10 所以an 10n 90 因为bn bn 1 2n 1 bn 1 bn 2 2n 2 b2 b1 2 所以bn 100 2 22 2n 1 2n 98 2 当n 5时 a