高考数学总复习 第十单元 第二节 直线的交点坐标与距离公式课件.ppt

第二节直线的交点坐标与距离公式 直线的交点问题 求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 分析本题可以先求交点坐标 然后由直线间位置关系求解 也可以先设出直线系方程 后代入点具体求解 解 方法一 由得l1 l2的交点p 1 2 又l3的斜率k3 l的斜率k l y 2 x 1 即5x 3y 1 0 方法二 由l l3 可设l 5x 3y c 0 l1 l2的交点可以求得p 1 2 5 1 3 2 c 0 c 1 l 5x 3y 1 0 方法三 l过l1 l2的交点 故设l 3x 2y 1 5x 2y 1 0 即 3 5 x 2 2 y 1 0 解得 代入上式整理得l 5x 3y 1 0 规律总结三种解法都能比较迅速地解决问题 但方法一 方法二都是在两直线的斜率存在的前提下进行的 如果其中含有字母参数之类的 则要进行分类讨论 运用直线系方程时 则必须对直线系中不包含的直线进行检验 因此 本题的三种解法应该是各有优缺点 变式训练1已知两直线2x my 4 0和2mx 3y 6 0的交点在第二象限 求实数m的取值范围 解析 由解得两直线的交点坐标为 0由交点在第二象限知 m 2 0故实数m的取值范围是 m m 2 距离问题 已知直线l与点a 3 3 和b 5 2 的距离相等 且过两直线l1 3x y 1 0和l2 x y 3 0的交点 求直线l的方程 分析思路一 待求直线l有两种情况 一是l与ab平行 二是a b在l两侧 此时l过ab中点 思路二 直接运用点到直线的距离公式求解 解方法一 解方程组得交点 1 2 依题意直线的斜率存在 设直线l的方程为y 2 k x 1 kab y 2 x 1 即x 2y 5 0 ab的中点为m 且m在直线l上 规律总结 1 上述解法中运用点斜式方程 注意斜率是否存在 2 方法一运用平面几何知识探寻思路可以起到简化运算作用 方法二运用数学公式是求解的通法 变式训练 已知正方形abcd的中心为e 1 0 一边ab所在的直线方程为x 3y 5 0 求其他三边所在的直线的方程 对称问题 求直线a 2x y 4 0关于直线l 3x 4y 1 0对称的直线b的方程 分析根据求直线方程的条件 借助平面几何知识求解 解由解得a与l的交点e 3 2 且点e也在直线上 方法一 在直线a上取一点a 2 0 设点a关于直线l的对称点b的坐标为b x0 y0 则有解得即 直线b的方程即2x 11y 16 0 方法二 设直线b上的动点p x y 关于l的对称点q x0 y0 在直线a上 则解得 q x0 y0 在直线a 2x y 4 0上 化简得2x 11y 16 0 即所求直线b的方程为2x 11y 16 0 规律总结 1 对称问题关键是点的对称 点关于点的对称 主要依据中点公式 点关于线的对称 由 垂直 得一方程 由 平分 得一方程 如已知点a m n 关于已知直线l y kx b的对称点a x0 y0 则由方程组解之 2 其他直线 曲线的对称转化成点的对称 3 常见的对称问题有角平分线问题 入射光线和反射光线问题 变式训练 在 abc中 bc边上的高所在的直线方程为x 2y 1 0 a的平分线所在直线的方程为y 0 若点b的坐标为 1 2 求点a和点c的坐标 解析 由得 a 1 0 y 0是 a的平分线 点b关于y 0的对称点b 1 2 在直线ac上 直线ac的方程为即y x 1 又 bc的方程为y 2 2 x 1 即y 2x 4 解 点c 5 6 综上 点a 1 0 点c 5 6 与直线有关的最值问题 12分 已知点a 3 1 在直线x y 0和y 0上分别有点m和n使 amn的周长最短 求m n的坐标 分析利用图形的几何特征 转化为对称问题去处理 解a 3 1 关于y x的对称点为a1 1 3 关于y 0的对称点为a2 3 1 2分 amn的周长最小值为 a1a2 a1a2 a1a2的方程为2x y 5 0 6分a1a2与x y 0的交点为m a1a2与y 0的交点为n 则 n 0 12分 规律总结有关距离之和的最小值 距离之差的最大值问题都与对称有关 结合三角形中两边之和大于第三边 两边之差小于第三边的知识解决 在直线l 3x y 1 0上的点p到点a 1 7 和b 0 4 的距离之和最小 则点p的坐标是 解析 设点b关于直线l的对称点为b m n 则kbb kl 1 m 3n 12 0 又由于线段bb 的中点坐标为且在直线l上 即3m n 6 0 由得m 3 n 3 b 3 3 ab 的方程为 即2x y 9 0 由 答案 2 5 1 有关对称问题 1 中心对称 若点m x1 y1 和n x y 关于p a b 对称 则由中点坐标公式得 直线关于点的对称 其主要方法是 在已知直线上取两点 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 再由两点式求出直线方程 或者求出一个对称点 再利用l1 l2 由点斜式得到所求直线方程 2 轴对称 点关于直线的对称若两点p1 x1 y1 与p2 x2 y2 关于直线l ax by c 0对称 则线段p1p2的中点在对称轴l上 而且连接p1p2的直线垂直于对称轴l 由方程组可得到点p1关于l对称的点p2的坐标 x2 y2 其中a 0 x1 x2 直线关于直线的对称此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决 若已知直线l1与对称轴l相交 则交点必在与l1对称的直线l2上 然后再求出l1上任一个已知点p1关于对称轴l对称的点p2 那么经过交点及点p2的直线就是l2 若已知直线l1与对称轴l平行 则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等 由平行直线系和两条平行线间的距离 即可求出l1的对称直线 2 一类最值问题的求解方法在直线l上求一点p 使 pa pb 最大 pa pb 最小 a b是l外定点 1 若点a b在l同侧 连接ab交l于p1 p1使 pa pb 有最大值 作b关于l的对称点b1 连ab1交l于p2 p2使 pa pb 有最小值 2 若点a b在l异侧 连ab交l于p1 p1使 pa pb 有最小值 作b关于l的对称点b1 连ab1交l于p2 p2使 pa pb 有最大值 直线l1过点a 5 0 l2过点b 0 1 l1 l2 且l1与l2之间的距离等于5 求l1与l2的方程 错解设所求的直线的斜率为k 由点斜式写出两条直线方程为 l1 kx y 5k 0 l2 kx y 1 0 l1 12x 5y 60 0 l2 12