高中数学第一轮总复习 第9章第54讲抛物线课件 理 新课标.ppt

第九章 圆锥曲线与方程 抛物线 第54讲 求抛物线的标准方程 例1 求定点在原点 对称轴为坐标轴 且过点 3 2 的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p 从实际分析 一般需确定p和开口方向两个条件 有时需要相应的讨论 点评 变式练习1 求顶点在原点 对称轴为坐标轴 且焦点在直线x 2y 4 0上的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 抛物线的几何性质 例2 已知a b是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且oa ob o为坐标原点 1 求证 a b这两点的横坐标之积为定值 纵坐标之积也是定值 2 求证 直线ab过定点 3 求线段ab中点m的轨迹方程 p的规律性结论很多 我们都可围绕定义 同时适时运用点差法即可求得 设ab为过抛物线y2 2px p 0 焦点的弦 设a x1 y1 b x2 y2 直线ab的倾斜角为 则 点评 变式练习2 设抛物线y2 2px p 0 的焦点为f 经过点f的直线交抛物线于a b两点 点c在抛物线的准线上 且bc x轴 证明 直线ac经过原点o 抛物线的应用 例3 已知点a 1 0 f 1 0 和抛物线c y2 4x o为坐标原点 过点a的动直线l交抛物线c于m p两点 直线mf交抛物线c于另一点q 如图 变式练习3 如图 设抛物线方程为x2 2py p 0 m为直线y 2p上任意一点 过m引抛物线的切线 切点分别为a b 求证 a m b三点的横坐标成等差数列 4 已知点p 3 2 在抛物线y2 4x的内部 f是抛物线的焦点 在抛物线上求一点m 使 mp mf 最小 并求此最小值 解析 过m作准线l的垂线ma 垂足为a 则由抛物线的定义有 mf ma 所以 mp mf mp ma 显然当p m a三点共线时 mp mf 最小 此时 m点的坐标为 1 2 最小值为4 5 如图 抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 点p 1 2 a x1 y1 b x2 y2 均在抛物线上 1 写出该抛物线的方程及其焦点坐标 2 当直线pa与直线pb的斜率存在且倾斜角互补时 求y1 y2的值及直线ab的斜率 解析 1 由已知条件可设抛物线的方程为y2 2px p 0 因为点p 1 2 在抛物线上 所以22 2p 1 得p 2 故所求抛物线的方程是y2 4x 焦点坐标为 1 0 2 设直线pa的斜率为kpa 直线pb的斜率为kpb 1 由于坐标系建立时 设坐标轴有四种不同的方向 因此抛物线的标准方程有四种形式 这四种标准方程的区别与联系在于 1 p的几何意义 焦参数p是焦点到准线的距离 所以p恒为正数 2 方程右边一次项的变量与所在坐标轴的名称相同 一次项系数的符号决定抛物线开口方向 焦点的非零坐标是一次项系数的1 4 3 在利用抛物线定义解题时应特别注意应用 斜直转换 即将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离互相转换 2 求抛物线的标准方程 需判断焦点所在的坐标轴和确定p的值 当根据已知条件不能判断是抛物线时 用轨迹法 过焦点的直线与抛物线的交点问题有时用焦半径较简单