高考数学总复习 第五单元 第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件.ppt

第三节两角和与差的正弦 余弦和正切公式 化简三角函数式 化简 sin50 1 tan10 分析式子中有弦有切 化切为弦 通分后 利用两角和公式化简 最后分子分母约分 解原式 sin50 sin50 2sin50 2cos40 1 规律总结化简三角函数式的一般思路为 1 化非特殊角为特殊角 化不同角为相同角 2 化异名为同名 被化简的式子中有切函数和弦函数时 通常化切为弦 3 是整式的消项 是分式的约分 变式训练1化简 解析 原式 1 已知三角函数式求值 已知sin 求的值 分析根据欲求式子与已知式子的联系 先由 x的范围 求cos的值 再利用cos sin 求cos的值 最后将欲求式子用已知式子表示出来 代入求值 解 规律总结 1 解决该类问题 通常有三种途径 一是对题设条件变形 将题设条件中的角 函数名向结论中的角 函数名靠拢 二是对结论变形 将结论中的角 函数名向题设条件中的角 函数名靠拢 以便将题设条件代入结论 三是同时将条件和结论向共同的式子变形 通过代换求值 2 当遇到 x这样的角时 可利用互余角的关系和诱导公式 将条件与结论沟通 如cos2x sin 2sincos cos sin 变式训练 已知 1 求sinx的值 2 求sin的值 解析 已知三角函数式求角 设 都是锐角 且tan tan 求 2 的值 分析根据已知角和待求角的关系 2 先求tan 再求tan 2 最后由角的范围确定角 解 规律总结已知三角函数式求角 其基本步骤如下 1 根据三角函数式的特点 确定求待定角的某一种三角函数值 2 根据已知条件确定角的取值范围 3 根据待定角的三角函数值和角的范围确定角 在确定角的范围时 注意题设条件的等价性 变式训练3 解析 cos sin 又 cos sin cos cos cos cos sin sin 又 0 用两角和差公式证明三角恒等式 12分 已知2cos 3cos 求证 tan 分析依据欲证等式的特点 把已知等式中的 分别用 表示 再用两角和差公式 将角 中的 分离开 向着欲证式的方向整理 证明 2cos 3cos 2cos 3cos 3分 2 cos cos sin sin 3 cos cos sin sin 6分 sin 2sin 3sin cos 3cos 2cos 9分 tan 12分 规律总结已知等式 证明三角恒等式 常用的思路有以下几种 1 从角上分析两个等式的联系 经常利用角的保值变换 如 2 进行整体代换 2 从三角函数名称上分析 如切化弦 异名化同名等 3 从三角函数式的结构上分析 如从整式到分式或从分式到整式等 变式训练4已知 求证 tan tan tan tan tan tan 1 证明 由 得tan tan 即 tan tan tan tan 1 tan tan 即tan tan tan tan tan tan 1 1 会用向量推导两角差的余弦公式 这是新课程标准明确要求的目标之一 两角和差的余弦公式是所有两角和差公式的推理基础 2 整体认识两角和差的正弦 余弦和正切公式 1 两角和差的正弦 和 对应 和 差 对应 差 两公式两边分别求和得 sin sin 2sin cos 同理还可以观察 两边分别对应相减的形式 2 两角和差的余弦 和 对应 差 差 对应 和 两公式两边分别求和得 cos cos 2cos cos 同理还可以观察 两边分别对应相减的形式 3 两角和差的正切 和 对应分子的 和 差 对应分子的 差 分子分母 和 差 相对 公式可以变形为 tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 3 关于二倍角公式 1 正确理解二倍角的相对性 如 4 是2 的二倍角 是的二倍角 3 是的二倍角等 2 公式的变形 主要有 1 sin2 sin cos 2 1 cos2 2cos2 1 cos2 2sin2 cos2 sin2 2tan tan2 1 tan2 3 常用结论 cos2x sin 2sincos cos2x sin 2sincos sin2x cos 2cos2 1 sin2x cos 1 2cos2 4 常用角的保值变换2 等 5 三角函数变换的常见途径 1 角的变换 化非特殊角为特殊角 角的保值变换 化不同角为相同角等 2 名称的变换 切化弦 异名化同名等 3 形式的变换 和化积 积化和 整式化分式 分式化整式等 已知 为第二象限角 cos sin 求sin cos的值 错解由cos sin 平方得1 2sincos 即sin 为第二象限角 k k sin cos 错解分析上述解法中 没有进一步挖掘的取值范围 导致范围扩大 产生了增解 事实上 不能在第一象限 只能在第三象限 而且终边靠近y轴负半轴 正解由cos si